2026年广东省潮州市湘桥区中考数学一模试卷（含答案+解析）

这是一份2026年广东省潮州市湘桥区中考数学一模试卷（含答案+解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.5的相反数是( )
A. −5B. 0C. 1D. 5
2.在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是( )
A. 铁B. 酒精C. 液态氧D. 水
3.下列图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米.数据12500000可用科学记数法表示为( )
A. 0.125×108B. 1.25×107C. 1.25×108D. 12.5×108
5.下列运算正确的是( )
A. 3a+2a=5B. 3a⋅2a=6aC. (3a)2=9aD. 3a2÷a=3a
6.下列各点中，在第三象限的点是( )
A. (−1,−4)B. (1,−4)C. (−1,4)D. (1,4)
7.将二次函数y=x2的图象向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )
A. y=x2+8B. y=x2−8C. y=(x+8)2D. y=(x−8)2
8.如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为( )
A. 2 23B. 3C. 24D. 13
9.如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答.经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程1500x−1000x−10=5进行解答.则被墨水污染部分的文字为( )
A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
10.如图，一次函数y=x(x≥0)与反比例函数y=9x(x>0)的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y=x的图象于点B，点A的横坐标为1.有以下结论：
①线段AB的长为8；
②点C的坐标为(3,3)；
③当x>3时，一次函数的值小于反比例函数的值.
其中结论正确的个数是( ).
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2+6x=______.
12.计算：|−2|+20−(13)−1= .
13.如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 ，使得AE//BC.(写出一种情况即可)
14.若关于x的一元二次方程14x2+x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
15.一个矩形如果满足宽和长的比等于 5−12，那么这个矩形叫做“黄金矩形”.如图，黄金矩形ABCD中ABAD= 5−12，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到的四边形CDEF也是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E，G，L为圆心作AF，FH，HK，曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2，则“黄金螺线”AFHK的长为 .(结果用π表示)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解不等式组{5+2x⩾3①x+13>x2②，并把该不等式组的解集表示在数轴上.
17.(本小题7分)
某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”(即每买3杯只需付2杯的钱)，B饮料满5杯按8折销售.小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元.A，B两种饮料每杯分别是多少元？
18.(本小题7分)
如图，直线y=−x+4交x轴于点B(4,0)，交y轴于点C；抛物线y=−x2+bx+c过B，C两点，与x轴相交于另一点A，求点A的坐标.
19.(本小题9分)
为了让学生体验潮州民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.锣鼓，B.陶瓷，C.剪纸，D.英歌舞.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一个课程)，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中a=______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名？
(4)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，则两人恰好选到同一个课程的概率为______.
20.(本小题9分)
综合与实践：折纸.
素材：一张正方形纸片.
步骤：
(1)如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形ABCD，将矩形ABCD对折，使边AB与CD重合，折痕交BC于点M，展开；
(2)分别将BM、CM沿过点M的直线折叠，点B，C重合于点H处，折痕分别交AB、AD于点E、F.
猜想与证明：
(1)直接写出EM与FM的位置关系和数量关系；
(2)证明(1)中你发现的结论.
21.(本小题9分)
数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆.
(1)线段的最小覆盖圆
线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆.
理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B.如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作⊙O′(O′与O不重合)，连结O′A，O′B.在△O′AB中，有O′A+O′B>AB(______).
∴2O′A>AB，即⊙O′的直径大于⊙O的直径
∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆.
“▲”处应填写的推理依据为______.
(2)直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为(1)中线段的最小覆盖圆问题.这样就可以先确定直角三角形最长边(斜边)的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆.如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘.⊙O是以AB为直径的圆.请你判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由.
又由(1)可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆.
(3)作矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形ABCD中，用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆：(不写作法，保留作图痕迹，)
22.(本小题13分)
(1)【新知探究】
对于正数a，b，我们称a+b2为a，b的算术平均数，称 ab为a，b的几何平均数.请观察下面的表格，并解答下面的问题：
①表格中的m=______；
②根据表格，猜想a+b与2 ab的大小关系______；
A.a+b>2 ab
B.a+b−1.
故答案为：k>−1.
由根的判别式Δ>0，可得出1+k>0，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δx2②，
解方程①得：x≥−1，
解不等式②，得：xAB，
即⊙O的直径大于⊙O的直径．
∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．
“▲”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
(2)C在⊙O上；
理由：∵∠ACB=90∘，O为AB的中点，
∴OC=OA=OB，
∴C在⊙O上；
(3)如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆．
(1)根据三角形的三边关系可得答案；
(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质证明OC=OA=OB即可得到答案；
(3)连接AC，BD，交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可．
本题主要考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，点与圆的位置关系，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键．
22.【答案】2 3;C;a=b 20;100
【解析】解：(1)①m= 6×2=2 3；
故答案为：2 3；
②当a=2，b=8时，a+b=10，2 ab=8，
∴a+b>2 ab，
当a=b=4时，a+b=8，2 ab=8，
∴a+b=2 ab，
∴a+b≥2 ab，
故选：C；
③当a=b时，a2+b2=2a2，2ab=2a2，
∴当a，b满足条件a=b时，a2+b2=2ab，
故答案为：a=b；
(2)①∵100，
结合(1)中结论可得，当x−10=30−x时，代数式(x−10)(30−x)取得最大值，
∴x=20，最大值为(20−10)×(30−20)=100，
故答案为：20，100；
②在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=6，
∴AC2+BC2=36，
∵AC+BC= (AC+BC)2= AC2+BC2+2AC⋅BC= 36+2AC⋅BC，
当AC⋅BC最大，则AC+BC最大，
∵AC2+BC2=36，结合(1)中结论可得，2AC⋅BC≤AC2+BC2，
∴当AC=BC时，AC+BC最大，
此时，AC+BC= 36+2×18=6 2，
∴△ABC周长的最大值为：6+6 2.
(1)①由m= ab，再代入计算即可；
②由表格信息总结归纳可得答案；
③由表格信息总结归纳可得答案；
(2)①由(1)的结论可得当x−10=30−x时，代数式(x−10)(30−x)取得最大值；
②由AC+BC= (AC+BC)2= AC2+BC2+2AC⋅BC= 36+2AC⋅BC，可得当AC⋅BC最大，则AC+BC最大，结合AC2+BC2=36，2AC⋅BC≤AC2+BC2，可得当AC=BC时，AC+BC最大，最大值为6 2，从而可得答案．
本题考查的是新定义的含义，熟练掌握算术平均数和几何平均数的含义，算术平均数和几何平均数的大小关系，二次根式的运算，完全平方公式变形，勾股定理，新定义在几何中的应用，是解本题的关键．
23.【答案】(1)如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90∘，∴AB2=AD2+BD2①．
在Rt△APD中，∵∠ADP=90∘，∴AP2=AD2+DP2②．
由①-②得：AB2−AP2=BD2−PD2=(BD+PD)⋅(BD−PD).
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BD−PD=CD−PD=CP.
∵BD+PD=BP，
∴AB2−AP2=BP⋅CP，
故答案为：AD2+DP2；CD；AB2−AP2=BP⋅CP；
(2)∵等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，
∴AB= 2AC=2 2，
∵AD=2，
∴BD=AB−AD=2 2−2，
由(1)中结论可知：AC2−CD2=AD⋅BD，
即：22−CD2=2×(2 2−2)，CD2=22−2×(2 2−2)=8−4 2，
∴正方形CDEF的面积=CD2=8−4 2；
(3)如图，延长BD交⊙O于点E，连接CE，OE，则OE=OB=9，

由(1)中结论可知：OB2−OD2=BD⋅DE，
即92−52=BD⋅DE，
∴BD⋅DE=56；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠CBD=∠DCE，
又∵∠CED=∠CEB，
∴△BEC∽△CED，
∴CEBE=DECE=CDBC=12，
∴DE=12CE，BE=2CE，
∴BE=4DE，
∴BD=3DE，
∵BD⋅DE=56，
∴BD⋅13BD=56，
解得BD= 3×56=2 42；
(4)∵AD=DE=BE，
∴∠DAE=∠DEA，∠DBE=∠EDB，
设∠DAE=∠DEA=α，∠DBE=∠EDB=β，
则∠CDE=∠DAE+∠DEA=2α，∠CED=∠DBE+∠EDB=2β，
∵∠C=120∘，
∴2α+2β=180∘−∠C=60∘，
∴∠DPA=∠EPB=∠DEA+∠BDE=α+β=30∘，
如图，作DH⊥AE，EG⊥BD，垂足分别为H，G，

则AH=EH，DG=BG，
∵tan∠CAE=DHAH=15，
∴设DH=x，则EH=AH=5x，
在Rt△DHP中，∠DPH=30∘，
∴DP=2DH=2x，PH= 3DH= 3x，
∴EP=EH−PH=5x− 3x，AP=AH+PH=5x+ 3x，
同理：EG=12EP=12(5x− 3x)，PG= 3EG= 32(5x− 3x)，
∴BG=DG=DP+PG=2x+ 32(5x− 3x)=5 32x+12x，
∴BP=BG+PG=5 32x+12x+ 32(5x− 3x)=5 3x−x，
∴PB−PDPA−PE=5 3x−x−2x5x+ 3x−5x+ 3x=5 3−32 3=5− 32.
故答案为：5− 32.
【解析】(1)根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可；
(2)利用(1)中结论得到AC2−CD2=AD⋅BD，进而求出CD2，即可得出结果；
(3)延长BD交⊙O于点E，连接CE，OE，利用(1)中结论得到BD⋅DE=56，证明△BEC∽△CED，得到CEBE=DECE=CDBC=12，推出BD=3DE，代入BD⋅DE=56中，进行求解即可；
(4)设∠DAE=∠DEA=α，∠DBE=∠EDB=β，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出∠DPA=∠EPB=∠DEA+∠BDE=α+β=30∘，作DH⊥AE，EG⊥BD，垂足分别为H，G，则AH=EH，DG=BG，根据tan∠CAE=DHAH=15，设DH=x，则EH=AH=5x，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出PA，PE，PB，PD的长，进行求解即可．
本题考查圆的综合应用，主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握(1)中得到的结论是解题的关键．物质
铁
酒精
液态氧
水
凝固点(单位： ∘C)
1535
−117
−218
0
a，b的值
a+b2的值
ab的值
a=2，b=8
5
4
a=4，b=4
4
4
a=6，b=2
4
m
a=5，b=1
3
5
如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90∘，∴AB2=AD2+BD2.①
在Rt△APD中，∵∠ADP=90∘，∴AP2= ______ .②
由①-②得：AB2−AP2=BD2−PD2=(BD+PD)⋅(BD−PD).
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD= ______ .
∴BD−PD=CD−PD=CP.
……