数学八年级上册（2024）2. 两数和(差)的平方教案

这是一份数学八年级上册（2024）2. 两数和(差)的平方教案，共12页。教案主要包含了知识维度，素养维度，能力维度等内容，欢迎下载使用。
8课题名称
乘法公式（2）
课 型
新授课
教学资源
课件
教学内容解析
内容
乘法公式第二课时“两数和的平方”，是在学生掌握多项式乘多项式、两数和乘以这两数的差的基础上学习的.
内容解析
“两数和的平方” 本质是把两个相同多项式相加后再平方的运算，通过多项式乘法展开合并，提炼成简洁公式，核心是简化重复运算，并非全新运算.它承接乘方定义、多项式乘法法则和幂的运算这些前置知识 —— 乘方定义明确其是两个相同多项式相乘，多项式乘法法则是展开运算的核心工具，幂的运算保证平方项书写正确；同时支撑后续的因式分解、二次函数配方和代数式求值，比如因式分解中逆用公式识别相关式子，二次函数配方时将一般式化为顶点式，代数式求值时直接用公式简化计算.学生学习时要注意三个关键要点：防止遗漏中间项，避免把两数和的平方错写成两数平方和，明确展开后会有两个相同的积相加；正确处理符号，将两数差的平方转化为两数和的平方来推导，强调负数平方的结果为正；运用整体思想，知道公式中的字母可以表示多项式，比如把三项和的平方转化为两数和的平方来计算.实际应用中，既可以用它进行简便计算，比如把接近整十整百的数转化为两数和或差的平方来算，也能用几何方式解释，通过边长为两数和的正方形面积等于各部分面积之和，结合图形理解公式.
目标与目标解析
单元整体目标
一、知识维度
1. 掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，并能熟练进行运算.
2. 理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能准确进行整式乘法运算；掌握平方差公式和完全平方公式，能运用公式简化运算.
3. 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，能规范进行整式除法运算.
4. 了解零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握其运算性质，能进行相关计算.
二、素养维度
1. 数学抽象：通过对整式乘除运算法则的推导，抽象出幂的运算及整式运算的本质规律，建立符号意识.
2. 逻辑推理：在推导运算法则（如平方差公式、完全平方公式）的过程中，运用合情推理提出猜想，通过演绎推理证明结论，发展推理能力.
3. 数学运算：在整式乘除的运算练习中，养成严谨的运算习惯，提升运算的准确性、规范性和灵活性.
4. 数学建模：能运用整式乘除知识解决简单的实际问题（如面积计算、数量关系表达），体会数学与实际生活的联系.
三、能力维度
1. 运算能力：能根据运算法则和公式，合理选择运算方法，快速、准确地完成整式的乘除运算及混合运算.
2. 探究能力：通过观察、类比、归纳等方式，自主探究幂的运算及整式乘除的规律，培养自主学习和探究的能力.
3. 应用能力：能将实际问题转化为整式乘除的数学问题，运用所学知识解决问题，提升知识的实际应用能力.
4. 迁移能力：能将整式乘除的运算法则和思想方法迁移到后续数学知识（如分式运算）的学习中，形成知识的连贯性和系统性.
课时目标
1.理解并掌握 “两数和的平方” 公式的内容、推导验证方法（代数 + 几何），明确公式中字母的含义及适用场景.
2.能熟练运用公式进行计算、简便运算与简单逆用，具备识别纠正典型错误及用整体思想解决复杂运算的能力.
3.感受数学的严谨性与实用价值，在合作探索中激发学习兴趣，克服难点后增强数学学习自信心.​
课时目标解析
达成目标1的标志是：能准确口述 “两数和的平方” 公式的文字表述与符号形式，独立用多项式乘法展开推导公式，并用 “边长为a+b的正方形面积分割”解释公式；面对a、b为单项式（如2x、3y）或多项式（如x+y）的情况，能正确判断是否适用公式，明确公式的应用场景.
达成目标2的标志是：能独立完成直接计算、简便计算（如）；看到等错误时，能快速指出问题并修正；面对这类复杂运算，能主动将x+y看作整体套用公式解决.
达成目标3的标志是：课堂中能主动参与公式推导的讨论，提及公式时能说出 “用几何验证让公式更直观”、“简便计算能省时间” 等体现数学严谨性与实用价值的表述；小组合作时能积极分享思路，遇到符号处理、整体思想应用等难点时不轻易放弃，解决后能表现出成就感，如主动展示解题过程.​
学情分析
已有的知识、认知水平
已掌握乘方定义、多项式乘法法则及幂的运算，能进行简单整式乘法计算，具备从具体例子归纳规律的初步能力，但对字母表示任意数 或式的抽象理解有限，符号运算易出错.
困惑点或探索点
易漏公式中间项2ab，难以用整体思想将a、b拓展到多项式进行运算；​
可探索公式的几何意义、灵活变形及与平方差公式的区别，以深化理解、避免混淆并为后续学习铺垫.
教学
重难点
教学重点
理解并掌握 “两数和的平方” 公式的推导过程（依托已有多项式乘法等知识），能准确运用公式进行计算，避免遗漏中间项2ab.
教学难点
帮助学生突破整体思想应用障碍（如将多项式作为a、b代入公式），实现公式的灵活运用.
教学策略分析
为什么学：两数和的平方是多项式乘法的 “特殊化优化”，解决 “相同多项式相乘” 的繁琐运算，提升效率；为后续二次函数配方、因式分解等奠基，是代数运算的 “关键枢纽”.关联公式几何意义，降低抽象感..
学什么：双重理解公式：代数上用多项式乘法推导，明确a、b可表示数、单项式、多项式；几何上用 “正方形面积分割” 直观记忆，避免漏中间项2ab.延伸推导，对比平方差公式（结构、项数差异），防混淆;用 “平方非负性” 简化等题的符号判断；将三项和（如）拆为 “两数和” 套用公式.
怎么学：、等，练 “定a、b→代公式→算系数符号”；讨论等典型错因，总结 “三查”（查中间项、符号、系数）.​
教学过程
教学环节
学习任务设计
师生活动
评价要点
设计意图
回顾旧知
多项式与多项式相乘的法则是什么
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
准确说出多项式与多项式相乘法则
通过对旧知 的回顾，引出新知.
新课探究
探究：
利用多项式与多项式相乘的法则计算下列式子
思考：这三个式子有什么共同之处？
引导学生猜想两数和的平方的公式会是什么样的形式.
通过已学知识验证学生的猜想
你能用文字语言叙述两数和的平方的运算吗?
思考：
公式结果当中三项是如何得到呢？从几何角度式进行验证.
思考：
两数和的平方与平方差公式的差异.
例1：
例2：
；
例3：
按多项式与多项式相乘的房子计算:
生：都是的形式，计算结果都是二次三项式.
借着学生的思考结果引出本节课课题：两数和的平方.
请同学们大胆猜想一下，两数和的平方的结果会是什么样的形式
生：是一个二次三项式，三项当中会有两个平方项.还有一项是两项乘积的2倍.
师：如果用字母来表示，同学们会如何表示.
生：
请同学们验证一下我们的猜想
你们想要如何验证猜想？
利用多项式与多项式相乘法则进行验证，最终得到
两数和的平方，等于这两数的平方和加上他们的积的2倍.
这个公式就是两数和的平方，利用这个公式我们可以直接计算两数和的平方.
是根据多项式与多项式相乘的法则得到的.
1.
2.
3.
一个是三项式，一个是二项式.
一个是加，一个是减.
3.公式结构上不同，几何意义也不同.
教师板书第一问；
学生自行写后面一问，及时下去观察，有问题及时纠正，注意观察学生在计算时是否遗漏公式中的2ab.
在课上安排小游戏，小组之间由一人写出两数和的平方，另一人计算并随机扣除二到三个数，其余人进行填空，先有教师利用例2进行简单示范.
例2：
学生开始写之前先组织讨论，分享大家对于这三个题的想法，从何处开始着手，并思考这三个例题当中a是谁，b是谁，分析清楚后在计算，并分享结果.现进行如下预设：
；
准确说出计算结果
学生能够大胆提出自己的猜想并积极进行验证
强调中间项乘积的2倍
数形结合理解公式
通过复习导入让学生回顾复习旧知识，有助于新知的引入和学习.
通过发现、归纳、猜想、验证的过程让学生更加深刻理解公式
让学生尝试用自己的语言说出两束和的平方,提高学生语言表述能力.
加强学生对于公式的掌握情况，避免混淆
规范学生写题步骤，避免出现过程性错误
通过三个例题的计算让学生明确a、b可表示数、单项式、多项式
检验学生对于公式的掌握情况
课堂小结
这节课收获
两数和的平方公式
板书设计
乘法公式（2）——“两数和的平方”

结论:两数和的平方，等于这两数的平方和加上他们的积的2倍.
作业设计
作业目标
作业类型
作业内容
作业难度
作业时长
夯实基础
基础性作业
计算 （1） （2） （3）
（4）
简单
5分钟
灵活运用
提升作业
2.已知a+b=4，ab=3，求.
3.计算.
4.计算.
5.计算.
6.实际应用题：一个正方形边长为(x+2)厘米，若边长再增加3厘米，求新正方形的面积比原正方形大多少平方厘米（用含x的代数式表示）.
中等
15分钟
灵活运用
拓展作业
计算:;;;;;,你能发现什么规律，并尝试总结出来.
利用贾宪三角计算，，
中等
10分钟