2026年上海市普陀区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市普陀区中考数学二模试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列关于计算所得的结果中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知是的相反数，且，那么下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么下列各数中，可以取的值是（ ）
A．B．C．D．0
4．某校举办校园歌手大奖赛，在评委评定的十个分数中，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余的八个分数与原来的十个分数相比，一定不会变化的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
5．已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ）
A．边数为6
B．每个外角都等于
C．边长与半径长的比为
D．既是轴对称图形也是中心对称图形
6．如图，在矩形中，，．正方形的顶点在的延长线上，，点在边上，为正方形的中心．如果过点的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点、，那么线段的长为（ ）
A．B．C．D．13
二、填空题（共11题，每题4分，满分44分）.
7．计算： ．
8．方程的解是 ．
9．函数的定义域是 ．
10．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，点，、，在该正比例函数的图象上，如果，那么 ．（填“”、“ ”或“”
11．已知点、在同一反比例函数的图象上，那么 ．
12．有3张分别写有数字2、3、5的卡片，如果从这三张卡片中任意抽取两张卡片，卡片上的数字的积恰好为偶数的概率是 ．
13．近年来，工具逐渐融入学生学习生活中．某校为了了解本校学生使用工具的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查所得数据整理后绘制成如图的条形统计图．如果该校共有1000名学生，那么根据调查结果，估计该校学生中使用两种及以上工具约有 人．
14．2025年中国国内生产总值约为元，预计2026年将比2025年增长，那么预计2026年比2025年增长 元（结果用科学记数法表示）．
15．如图，菱形的对角线、相交于点．如果，那么的值为 ．
16．如图，已知是△的重心，点在边上，，是中点，联结，如果，，那么点到直线的距离是 ．
17．在△中，，，（如图所示）．点在边上（不与点、重合），，，垂足分别为、，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分82分）
18．（10分）计算：．
19．（10分）解方程：．
20．（10分）如图，在四边形中，，点在边上，，，．
（1）求的长；
（2）如果，求的值．
21．（12分）已知：如图，在四边形中，，点在边上，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结交于点，联结．如果，求证：．
22．（12分）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜．
【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图1是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用表示），平时说的眼镜镜片的度数关于透镜焦度的函数解析式为．
（1）根据图1验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数．
【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）．
（2）根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距的函数解析式．
（3）根据材料三抽象出数学模型（如图，镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由．
23．（14分）在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为．沿着轴的正方向看，点在抛物线的上升部分，设直线与轴的夹角为．
（1）如果，求该抛物线的表达式；
（2）已知点在抛物线的下降部分，且．
①求的值；
②平移抛物线，使新抛物线的顶点落在线段上，且新抛物线与轴交于点．已知点的纵坐标为1，当四边形是以为腰的等腰梯形时，求点的坐标．
24．（14分）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点、分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为与．
（1）已知的长与的长相等，，求这个图形的面积（结果保留；
（2）联结，作关于直线的对称图形．
①联结，如果与交于点、（点在点的左侧），且，求与之间的数量关系；
②如果所在的圆与所在的圆内切于点（如图2所示），点是上一点，联结并延长交于点，当时，求的度数．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列关于计算所得的结果中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用幂的乘方底数不变指数相乘进行计算．
解：，
故选：．
2．已知是的相反数，且，那么下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
解：是的相反数，且，
，
故选：．
3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么下列各数中，可以取的值是（ ）
A．B．C．D．0
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式△，计算得到的取值范围后，即可结合选项选出正确答案．
解：由条件可得：△，
解得，
只有，符合要求，
因此可以取的值是0．
故选：．
4．某校举办校园歌手大奖赛，在评委评定的十个分数中，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余的八个分数与原来的十个分数相比，一定不会变化的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．
解：根据题意，将10个数据从小到大排列，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．
8个有效评分与10个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
即不变的数据特征是中位数．
故选：．
5．已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ）
A．边数为6
B．每个外角都等于
C．边长与半径长的比为
D．既是轴对称图形也是中心对称图形
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
解：设这个正多边形的边数是，
由题意得：，
解得：，
这个正多边形是正六边形，
正六边形每个外角都等于，正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形，
正六边形边长与半径长的比为：，
故错误的是．
故选：．
6．如图，在矩形中，，．正方形的顶点在的延长线上，，点在边上，为正方形的中心．如果过点的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点、，那么线段的长为（ ）
A．B．C．D．13
【分析】连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于，由三角形中位线定理可求，，，，，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
解：如图，连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，直线与交于点，取中点，取中点，连接，，过点作于点，
四边形是矩形，
，
是中点，
，，，
四边形是正方形，，
，
同理可求．，，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故选：．
二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）
7．计算： ．
【分析】根据单项式与单项式的乘法运算，系数与系数相乘作为系数，相同的字母相乘，同底数的幂相乘，底数不变指数相加，计算即可．
解：．
8．方程的解是 ．
【分析】根据解无理方程的方法可以解答本题．
解：，
两边平方，得
，
解得，
检验：当时，，
故原无理方程的解是．
故答案为：．
9．函数的定义域是 ．
【分析】根据函数自变量取值范围解答即可．
解：依题意得，解得．
故答案为：．
10．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，点，、，在该正比例函数的图象上，如果，那么 ．（填“”、“ ”或“”
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
解：正比例函数的图象经过第二、四象限，
，
一次函数随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
11．已知点、在同一反比例函数的图象上，那么 2 ．
【分析】先利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，再将点的横坐标代入，即可求出的值．
解：设反比例函数的解析式为，则，
反比例函数的解析式为，
将代入得．
故答案为：2．
12．有3张分别写有数字2、3、5的卡片，如果从这三张卡片中任意抽取两张卡片，卡片上的数字的积恰好为偶数的概率是 ．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出卡片上的数字的积恰好为偶数的概率．
解：树状图如下所示，
由上可得，一共有6种等可能性，其中卡片上的数字的积恰好为偶数的可能性有4种，
卡片上的数字的积恰好为偶数的概率为，
故答案为：．
13．近年来，工具逐渐融入学生学习生活中．某校为了了解本校学生使用工具的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查所得数据整理后绘制成如图的条形统计图．如果该校共有1000名学生，那么根据调查结果，估计该校学生中使用两种及以上工具约有 400 人．
【分析】用学生总人数乘以随机抽取的100名学生中使用两种及以上工具学生的百分比即可．
解：根据条形统计图可知，抽取了的学生人数为：（人，
在100名学生中使用两种工具的有24人，使用三种及以上工具的有16人，
在1000名学生中使用两种及以上工具约有：（人，
故答案为：400．
14．2025年中国国内生产总值约为元，预计2026年将比2025年增长，那么预计2026年比2025年增长 元（结果用科学记数法表示）．
【分析】求出2026年比2025年增长的钱数，再用科学记数法表示即可．
解：根据题意可知，预计2026年比2025年增长的为：
．
故答案为：．
15．如图，菱形的对角线、相交于点．如果，那么的值为 ．
【分析】根据平面向量的平行四边形法则推出，据此解答．
解：四边形是菱形，
，即，，，
，
，
，
，
的值为，
故答案为：．
16．如图，已知是△的重心，点在边上，，是中点，联结，如果，，那么点到直线的距离是 ．
【分析】延长交于，过作于，连接，由三角形重心的性质得到，判定△△，推出，求出，同理，得到，求出，，，，得到，推出，，由三角形内角和定理得到，由平行线等分线段定理推出，判定是△的中位线，得到．
解：延长交于，过作于，连接，
是的中点，是△的重心，
在上，，
，
，
△△，
，
，
同理：，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是△的中位线，
．
故答案为：．
17．在△中，，，（如图所示）．点在边上（不与点、重合），，，垂足分别为、，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长的取值范围是 ．
【分析】连接，，由勾股定理求出，判定四边形是矩形，得到，由三角形的面积公式求出，得到，即可求出的取值范围．
解：连接，，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
的半径长为2，与外切，
，
当时，
△的面积，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分82分）
18．（10分）计算：．
【分析】分母有理化，负整数指数幂，绝对值的化简，．
解：原式
．
19．（10分）解方程：．
【分析】先把原分式方程变形为：，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可．
解：把原分式方程变形为：，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
整理，得，
，
或，
解得：，，
检验：把代入，把代入，
是分式方程的增根，是分式方程的解．
20．（10分）如图，在四边形中，，点在边上，，，．
（1）求的长；
（2）如果，求的值．
【分析】（1）结合三角形外角性质求出，利用证明△△，最后根据全等三角形的性质即可得解；
（2）过点作于点，根据锐角三角函数定义求出，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质、线段的和差求出，再根据锐角三角函数定义求解即可．
解：（1），，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
；
（2）如图，过点作于点，
在△中，，，
，
，
由（1）知，△△，
，
，
．
21．（12分）已知：如图，在四边形中，，点在边上，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结交于点，联结．如果，求证：．
【分析】（1）根据题意推出，结合，推出△△，根据相似三角形的性质求出，则，即可判定，最后根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）根据相似三角形的性质求出，结合平行四边形的性质推出，结合题意求出，最后根据等腰三角形的性质即可得证．
【解答】证明：（1），
，
又，
△△，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）如图，
△△，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
又，
．
22．（12分）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜．
【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图1是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用表示），平时说的眼镜镜片的度数关于透镜焦度的函数解析式为．
（1）根据图1验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数．
【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）．
（2）根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距的函数解析式．
（3）根据材料三抽象出数学模型（如图，镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由．
【分析】（1）根据所给公式计算即可；
（2）设出反比例函数解析式，根据400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米可得反比例函数解析式，进而结合可得透镜焦度关于镜片焦距的函数解析式；
（3）延长，交于点，易得△△，根据相似三角形的性质求得的长度，代入（2）中得到的函数解析式，求得的值，看与5是否相等即可．
解：（1）右眼度数为：；左眼视力为：；
（2）设，
度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
，
，
，
，
；
（3）这副近视眼镜的度数与这张验光单匹配．
理由：延长，交于点，则点为虚焦点，
，
△△，
，
，
解得：，
，
这副近视眼镜的度数与这张验光单匹配．
23．（14分）在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为．沿着轴的正方向看，点在抛物线的上升部分，设直线与轴的夹角为．
（1）如果，求该抛物线的表达式；
（2）已知点在抛物线的下降部分，且．
①求的值；
②平移抛物线，使新抛物线的顶点落在线段上，且新抛物线与轴交于点．已知点的纵坐标为1，当四边形是以为腰的等腰梯形时，求点的坐标．
【分析】（1）设，根据题意可得，则，再由，求出，则，将点代入函数解析式即可求的值；
（2）①过点作轴，过点作交于点，可得，设，再由，得到，则，分别求出，，即可求；
②由题意可得，，则直线的解析式为，设，则平移后的函数解析式为，得到，再由，，分别得到①，②，联立求出的值即可求解．
解：（1）设，
，
，
，
，
，
解得，
点在抛物线的上升部分，
，
，
，
；
（2）①过点作轴，过点作交于点，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，，
；
②点的纵坐标为1，
，，
直线的解析式为，
设，
，
，
四边形是以为腰的等腰梯形，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
①，
，
②，
联立①②得，，，或，
当时，，；
当，时，，．
24．（14分）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点、分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为与．
（1）已知的长与的长相等，，求这个图形的面积（结果保留；
（2）联结，作关于直线的对称图形．
①联结，如果与交于点、（点在点的左侧），且，求与之间的数量关系；
②如果所在的圆与所在的圆内切于点（如图2所示），点是上一点，联结并延长交于点，当时，求的度数．
【分析】（1）根据的长与的长相等和扇形弧长公式，求出，，再利用扇形面积公式求解；
（2）①记的对称点为，与交点为，延长交于，连接，关键是表示出△各边的长，再利用勾股定理求解；
②记的对称点为，与交点为，连接，，作于，这样就构造出等腰直角三角形和直角三角形，解三角形可求得，，再利用等腰三角形求出，根据平行线分线段成比例知
【解答】（1）解：由题可知，
，
，
，
，
，
解得，故，
；
（2）①如图，记的对称点为，与交点为，延长交于，连接，
由对称性可知是中点，由△是等腰直角三角形，，
，且，
再由对称性可知，
△同样是等腰直角三角形，，，
，
，
是中点也是中点，
由已知得，
，
且，
在△中，
由勾股定理得：，
即，
解得或，
由题可知，
故；
②如图，记的对称点为，与交点为，连接，作于，
由于所在的圆与所在的圆内切于点，
，
由①知，
，
，
，
，
，
，
再由知△是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
由△是等腰三角形，
，
．
材料一：摘自数学八上教材页
近视眼镜镜片的度数（度与镜片焦距（米成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米．
材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图2，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴的光线射向镜片，镜片光心为点，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑．
材料二：摘自物理八上教材页
如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点，点叫做凹透镜的虚焦点，凹透镜的光心是主轴上一个特殊的点．虚焦点到光心的距离叫做凹透镜的焦距，用字母表示．
材料一：摘自数学八上教材页
近视眼镜镜片的度数（度与镜片焦距（米成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米．
材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图2，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴的光线射向镜片，镜片光心为点，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑．
材料二：摘自物理八上教材页
如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点，点叫做凹透镜的虚焦点，凹透镜的光心是主轴上一个特殊的点．虚焦点到光心的距离叫做凹透镜的焦距，用字母表示．