2026年上海市虹口区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市虹口区中考数学二模试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
2．已知氧原子的直径大约是0.00000014毫米，那么数据0.00000014用科学记数法表示是（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，函数值随着增大而减小是（ ）
A．B．C．D．
4．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．在△中，，，利用尺规作图，把它分成两个三角形，使其中一个三角形是等腰三角形．下列作图中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在△中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．2的相反数是 ．
8． ．
9．将二元二次方程化为两个一次方程是 ．
10．请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是 ．
11．如果将抛物线向左平移个单位后经过原点，那么的值是 ．
12．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是 ．
13．如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有 人．
14．如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是 ．
15．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是 ．
16．如图，在中，对角线、交于点，为△的重心，联结并延长交交于点，设，，那么用向量、表示是 ．
17．如图，在△中，，，．点在边上，点在边上，联结，把△沿翻折得到△，联结、，如果四边形为平行四边形，那么的长是 ．
18．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值，其中．
20．（10分）解不等式组：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过△顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且．
（1）求双曲线的表达式；
（2）如果轴，求点的坐标．
22．（10分）根据以下素材，完成任务．
23．（12分）如图，△和△都是等腰直角三角形，，，，联结、，，延长交于点，交于点．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）如果，求证：．
24．（12分）已知抛物线．
（1）画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系；
（2）已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，联结、、和．
①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ；
②如图，当时，已知四边形为菱形，，点在抛物线上且横坐标为2，联结、，如果△的面积为12，求抛物线的表达式．
25．（14分）如图，在扇形中，，点是弧上一点，点是半径上的点，联结，的平分线和的平分线相交于点，联结．
（1）如图1，求证：；
（2）联结（如图．如果，，△的外接圆与扇形所在的圆相交．
①当时，求与的公共弦的长；
②联结和，交于点，当时，求的值和的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列各式中，的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】只需找到与相乘后积不含根号的选项．
解：根据题意可知，，结果不含根号，符合有理化因式的定义，
其余选项与相乘后，结果仍含有根号，不符合要求．
故选：．
2．已知氧原子的直径大约是0.00000014毫米，那么数据0.00000014用科学记数法表示是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据形式为，其中，为整数进行计算．
解：数据0.00000014用科学记数法表示为：．
故选：．
3．下列函数中，函数值随着增大而减小是（ ）
A．B．C．D．
【分析】只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到结果．
解：只需根据各类函数的性质，逐一判断选项可得：
是开口向下的二次函数，对称轴为，当时，随增大而增大，不符合要求；
是反比例函数，，在每个象限内随增大而增大，且在整个定义域不满足随增大而减小，不符合要求；
是一次函数，比例系数为，在全体实数范围内，随增大而减小，符合要求；
是常函数，函数值不随变化而改变，不符合要求．
故选：．
4．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设红球个数为，根据摸到白球的概率列方程求解即可．
解：设红球的个数为，则袋子中总球数为个，由题意可得：
，
解得，经检验，是原方程的解，
红球的个数为2．
故选：．
5．在△中，，，利用尺规作图，把它分成两个三角形，使其中一个三角形是等腰三角形．下列作图中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据作图痕迹一一判断即可．
解：选项中，△，△都是等腰三角形；
选项中，△是等腰三角形；
选项中，△是等腰三角形．
选项中，没有等腰三角形．
故选：．
6．如图，在△中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由，，，根据勾股定理求得，因为以点为圆心，为半径作圆，点在内且点在外，所以，则，可知的值可能是4，而不可能是2或3或5，于是得到问题的答案．
解：在△中，，，，
，
以点为圆心，为半径作圆，点在内且点在外，
，
，
的值可能是4，而不可能是2或3或5，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．2的相反数是 ．
【分析】根据相反数的定义可知．
解：2的相反数是．
故答案为：
8． ．
【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．
解：原式．
故答案为：．
9．将二元二次方程化为两个一次方程是， ．
【分析】二元二次方程的中间项，根据十字相乘法分解即可．
解：，
，
，．
故答案为：，．
10．请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是 0（答案不唯一，满足即可） ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，即可得到符合要求的的值．
解：由题意可得：
△，
解得，
那么的值可以是：0（答案不唯一，满足即可）．
11．如果将抛物线向左平移个单位后经过原点，那么的值是 3 ．
【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可．
解：将二次函数的图象向左平移个单位后，新函数解析式为．
平移后函数图象经过原点，
，即，
或，
或，
，
．
故答案为：3．
12．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是 8 ．
【分析】根据中位数的定义，先确定20个数据从小到大排列后中位数的位置，再找到对应位置的数据计算即可得到结果．
解：将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数，由图可得：
分享4本的累计人数为3，
分享6本的累计人数为，
分享8本的累计人数为，
因此第10个和第11个数据都为8，
则．
故答案为：8．
13．如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有 22 人．
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中蓝色部分的数据求出调查的总人数，再计算出红色部分的人数，最后用总人数减去绿、红、蓝三部分的人数即可得出喜欢黄色的人数．
解：根据条形统计图和扇形统计图中蓝色部分的数据求出调查的总人数可知：
喜欢蓝色的有15人，占总人数的，则调查的总人数为（人．
喜欢红色的人数为（人．
喜欢黄色的人数为（人．
故答案为：22．
14．如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是 5 ．
【分析】过点作于，于，连接，根据垂径定理得到，，根据矩形的性质求出，进而求出．
解：如图，过点作于，于，连接，
则，，
由勾股定理得：，
四边形为矩形，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：5．
15．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是 3 ．
【分析】根据正多边形内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．
解：正六边形的内角是，阴影部分的面积为，
设正六边形的边长为，
，
解得．
则正六边形的边长为3，
故答案为：3．
16．如图，在中，对角线、交于点，为△的重心，联结并延长交交于点，设，，那么用向量、表示是 ．
【分析】根据向量的基本运算法则及重心的性质进行计算即可．
解：由题知，
因为四边形是平行四边形且，，
所以，
所以．
因为为△的重心，
所以点为的中点，
所以．
故答案为：．
17．如图，在△中，，，．点在边上，点在边上，联结，把△沿翻折得到△，联结、，如果四边形为平行四边形，那么的长是 2 ．
【分析】设与交于点，根据正切的定义得到，求出，根据勾股定理得到，根据翻折的性质得到，，设，根据平行四边形的性质得到，，，通过证明△△，得到，列出关于的方程，求出的值，得到，最后在△ 中利用勾股定理即可求解．
解：如图，设与交于点，
在△中，，
，
，
△沿翻折得到△，
，，
设，则，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
又，
△△，
，即，
整理得：，
解得，（舍去），
，
在△中，，即的长是2，
解法二：先证，设，则，因为，所以，再利用勾股求出．
故答案为：2．
18．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是 2或3 ．
【分析】依据题意，由抛物线可得其顶点为，结合抛物线和互为“反顶点抛物线”，从而为，结合的顶点在上，可得，进而计算可以得解．
解：由题意，抛物线，
其顶点为．
抛物线和互为“反顶点抛物线”，
为，
又的顶点在上，
．
或3．
故答案为：2或3．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值，其中．
【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，分式的分子、分母能分解因式的先分解因式，进行约分，然后进行减法运算，最后代值计算．
解：原式
当时，原式．
20．（10分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
解：．
解不等式①得：，
，
，
解不等式②得：，
不等式两边同乘2得，
，
，
，
不等式组的解集为．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过△顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且．
（1）求双曲线的表达式；
（2）如果轴，求点的坐标．
【分析】（1）依据题意，设双曲线的表达式为，过作轴于，可得，结合，则，故，从而，进而计算可以得解；
（2）依据题意，过作轴于，则，可得，结合，故，从而，可得的纵坐标为，进而计算可以得解．
解：（1）设双曲线的表达式为，
过作轴于，
．
，
．
．
，
．
双曲线的表达式为；
（2）过作轴于，
，
．
，
．
．
的纵坐标为．
又在反比例函数，
，．
22．（10分）根据以下素材，完成任务．
【分析】任务一：依据题意得，，，结合，可得，由米，故（米，从而（米，即可得解；
任务二：依据题意得，旋转后镜子，由任务一，米，从而米，故平移的距离为（米，进而得解．
解：任务一：由题意得，，
，
，
，
米，
（米，
（米．
答：邻居到墙角的距离为3.2米；
任务二：向左平移1.4米，理由如下：
由题意得，旋转后镜子，
由任务一，米，
米，
平移的距离为（米．
答：水盆应向左平移，平移1.4米．
23．（12分）如图，△和△都是等腰直角三角形，，，，联结、，，延长交于点，交于点．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）如果，求证：．
【分析】（1）判定△△，推出，得到，推出四边形是矩形，而，即可证明四边形为正方形；
（2）连接，由正方形的性质得到，由△是等腰直角三角形，得到，求出，由，推出，由勾股定理得到，因此，判定△△，推出，即可证明．
【解答】证明：（1）△和△都是等腰直角三角形，
，，
，
，
△△，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形；
（2）连接，
四边形是正方形，
，
△是等腰直角三角形，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
，，
△△，
，
，
．
24．（12分）已知抛物线．
（1）画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系；
（2）已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，联结、、和．
①如果四边形为正方形，那么的值是 0 ，和之间的数量关系是 ；
②如图，当时，已知四边形为菱形，，点在抛物线上且横坐标为2，联结、，如果△的面积为12，求抛物线的表达式．
【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点和，并且这两点对称，所以可知对称轴为；
（2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是，所以；根据正方形的对角线互相平分且相等，把点、的坐标表示出来，并表示出的长度，根据找出和的关系；
（3）根据菱形的性质，可知点的坐标，把点的坐标代入抛物线的解析式，可得抛物线的解析式为，点的坐标，点的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，从而可知，根据△的面积为12，可得，解方程求出的值，再根据求出的值，从而得到抛物线的解析式．
解：（1）由表可知，抛物线经过点和，
抛物线的对称轴是，
，
抛物线的解析式是，
把点的坐标代入可得：；
（2）①当时，可得：，
点的坐标为，
四边形是正方形，是正方形的对角线，
点、关于对称，
抛物线的对称轴是，
；
，点、的纵坐标是，
可得：，
整理得：，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
，
可得：，
，
解得：或（不符合题意，舍去）；
故答案为：0，；
②如图，连接交于点，连接交于点，连接，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，，
点的坐标是，
把点的坐标代入可得：，
解得：，
抛物线的解析式为，点的坐标，
点的横坐标为2，
，
点的坐标为，
设直线的解析式是，
则有，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
抛物线的解析式为．
25．（14分）如图，在扇形中，，点是弧上一点，点是半径上的点，联结，的平分线和的平分线相交于点，联结．
（1）如图1，求证：；
（2）联结（如图．如果，，△的外接圆与扇形所在的圆相交．
①当时，求与的公共弦的长；
②联结和，交于点，当时，求的值和的长．
【分析】（1）连接，由平分，平分，得，；由，，，证△△，得；在△中由内角和定理得，在△中得，即；
（2）①由得，由（1）知，△△得，，△是等腰直角三角形，；由在△中求、，再在△中求圆半径设两圆另一交点为，由得劣弧圆心角，又垂直平分公共弦，故、、共线，为圆直径，由等腰△求，；
②延长交圆于点，由垂径定理得，；由得（垂径定理），三线合一得；证△△得，，从而；延长交于，由三线合一得为中点，，，在△中，，即，再证明，进而即可求解．
【解答】（1）证明：平分，平分，
，，
，，，
△△，
，
在△中，，
即，
，
在△中，，
；
（2）解：①，
，即，
由（1）问结论，，
△△，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
在△中，，
设，则，
，即，
，
设圆半径为，则，，
在△中，，
，
，
解得，，
设圆与圆的另一个交点为，连接、，
是两圆的公共弦，
，优弧所对的圆心角为，
劣弧所对的圆心角，
，
又垂直平分公共弦，
，
，，且为公共点，
、、三点共线，
过圆心，即是圆的直径，
、都在圆上，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
与的公共弦长为40；
②延长交圆于点，
，
垂直平分弦，
，，
，
，
，
，是圆心，是圆的弦，
，即是的垂直平分线，
，
平分，即，
，，，，
，
，即，
，
，
在△和△中，
，，，
△△，
，
由△△，，
，
延长交于，
平分，，
，为中点，
，
，
在△中，，
；
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
书籍数量本
4
6
8
10
12
人数人
3
4
5
6
2
素材一
如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即．
素材二
汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示．
素材三
图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点．已知于点，，，水盆到墙角的距离米．
素材四
参考数据：，，．
问题解决
任务一
求邻居到墙角的距离；
任务二
如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？
1
2
2
书籍数量本
4
6
8
10
12
人数人
3
4
5
6
2
素材一
如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即．
素材二
汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示．
素材三
图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点．已知于点，，，水盆到墙角的距离米．
素材四
参考数据：，，．
问题解决
任务一
求邻居到墙角的距离；
任务二
如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？
1
2
2