2026年上海市松江区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市松江区中考数学二模试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦．下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①和②都是真命题D．①和②都是假命题
6．如图，已知△中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等．点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．不等式组的解集是 ．
8．分解因式 ．
9．函数的定义域是 ．
10．统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约 张．（用科学记数法表示）
11．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么 ．
12．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是 ．
13．已知点为△的重心，，，那么 ．（用、表示）
14．小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米小时，可列方程为 ．
15．为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有 名．
16．一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是 ．
17．已知△中，，，，点、分别在边、上，如果△是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是 ．
18．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在△中，，．
（1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使△△，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，求线段的长．
22．（10分）【问题提出】把一个长、宽分别为、的长方形（如图，剪拼成一个正方形．（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计）
【方案设计】某学习小组提出以下设计思考：
（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为 ．（用含、的代数式表示）
（2）如图2，延长至点，使，以为直径作半圆．延长交于点，联结、，可得（后续说理如需用到这一结论，可直接使用）．他们认为：“就是所求正方形的边长”．
（3）如图3，以为边，在左侧作正方形，分别与、交于点、，沿虚线、裁剪，△、△可以通过适当的图形运动分别与△、△叠合，拼成正方形．
【论证说明】
（1）如图2，该学习小组认为：“是所求正方形的边长”，试说明理由；
（2）△可以通过怎样的图形运动与△叠合，并说明它们能够叠合的理由．
23．（12分）已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足．
（1）求证：；
（2）如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形．
24．（12分）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积；
（3）点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果△与△相似，且边与边对应，求点的坐标．
25．（14分）已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点．
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如图2，如果，且，求的正切值；
（3）以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据对应运算法则和性质逐一判断即可．
解：根据整式运算、同底数幂乘法、二次根式与立方根的性质逐项分析判断如下：
、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
、，该选项不符合题意；
、，该选项不符合题意；
、，该选项符合题意．
故选：．
2．下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用△判断方程是否对任意实数恒有实数根，若△对任意恒成立，则符合要求．
解：由题知，
对于方程，
当时，方程为，有实数根；
当时，△，
因为△不一定恒大于等于0，
所以方程不一定有实数根，
故选项不符合题意；
对于方程，
△，
所以不论取何实数值，方程都有实数根，
故选项符合题意；
对于方程，
△，
因为△不一定恒大于等于0，
所以方程不一定有实数根，
故选项不符合题意；
对于方程，
△，
因为△不一定恒大于等于0，
所以方程不一定有实数根，
故选项不符合题意．
故选：．
3．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论．
解：根据反比例函数的定义逐项分析判断如下：
、是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意；
、的分母不是的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意；
、，符合反比例函数定义，该选项符合题意；
、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意．
故选：．
4．已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据方差和平均数的计算公式求解即可．
解：根据方差和平均数的计算公式可知：
，即，，
那么数据，，，的平均数为：；
方差为：
．
故选：．
5．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦．下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①和②都是真命题D．①和②都是假命题
【分析】根据垂径定理及其推论求解即可．
解：根据垂径定理及其推论逐项分析判断如下：
由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题；
对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题，
综上，①是真命题，②是假命题．
故选：．
6．如图，已知△中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等．点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点分别作，，垂足为点，，延长交于点，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围．
解：过点分别作，，垂足为点，，延长交于点，
在边、上截得的弦长相等，
，
平分
，，
，，
，
，
当与外切时，连接，设，则，，，
，
，
解得；
当与内切时，连接，
设，则，，，
在△中，由勾股定理得，，
，
解得；
与相交时，，
符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．不等式组的解集是 ．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组进行求解即可．
解：解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为．
故答案为：．
8．分解因式 ．
【分析】前三项一组，利用完全平方公式分解因式，然后再与第四项利用平方差公式进行因式分解．
解：，
，
，
．
9．函数的定义域是 ．
【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得的范围．
解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
10．统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约 张．（用科学记数法表示）
【分析】先将总票房统一单位为元，再根据售票张数等于总票房除以平均票价计算结果，最后将结果用科学记数法表示即可．
解：44亿元元元，
根据题意计算售出电影票的张数：．
故答案为：．
11．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么 52 ．
【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
解：如图，
根据题意得，，，
，，
，
，
故答案为：52．
12．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是 ．
【分析】先列举出随机抽取两张卡片所有等可能的结果．再找出其中满足较大数能被较小数整除的结果个数．最后根据概率公式计算即可．
解：从写有2，3，6的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共3种等可能的结果，
其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共2种，
可得概率为．
故答案为：．
13．已知点为△的重心，，，那么 ．（用、表示）
【分析】如图，延长到，使得，连接，．求出，证明即可解决问题．
解：如图，延长到，使得，连接，．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是重心，
，
．
故答案为：．
14．小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米小时，可列方程为 ．
【分析】依据题意，设骑自行车的速度为千米小时，则汽车的速度为千米小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可．
解：由题意，设骑自行车的速度为千米小时，则汽车的速度为千米小时．
路程为10千米，
骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时．
可列方程为．
故答案为：．
15．为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有 168 名．
【分析】先求出样本中平均每周阅读时长不少于6小时的学生的频率，再用年级总人数乘以对应频率得到估计结果．
解：由频数分布直方图可得，抽取的样本容量为：，
样本中平均每周阅读时长不少于6小时的学生频数为：（人，
样本中对应频率为：，
因此估计该年级符合条件的学生人数为：（人．
答：估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有168人．
故答案为：168．
16．一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是 50 ．
【分析】设水池内原有的水量为，则1小时注入水量为，根据题意列方程求出，再计算8小时后水池的水量即可．
解：设水池内原有的水量为，根据题意可得：
，
解得，
8小时后水池的水量是．
故答案为：50．
17．已知△中，，，，点、分别在边、上，如果△是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是或 ．
【分析】先由勾股定理求出的长度，根据△是以为腰的等腰三角形，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可．
解：由题意可得：，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，则，过点于点，
，
，
，
△△，
，
，即
解得，
，，
设，，
在△中，由勾股定理得，，
解得（舍负），
故答案为：或．
18．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是 ．
【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可．
解：平移不改变抛物线的特征值，
的特征值即为的特征值，如图：
此时的对称轴为轴，
，轴
，即
设，
，
，
，
或（舍去）
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【分析】利用分数指数幂的定义、负指数幂的性质、绝对值的性质和二次根式的化简规则化简后，再合并同类项得到最终结果．
解：
．
20．（10分）解方程组：．
【分析】将分解为然后计算即可．
解：分解为，
可化为和，
解方程组，得，
解方程组，得，
综上，原方程组的解为和．
21．（10分）如图，在△中，，．
（1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使△△，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，求线段的长．
【分析】（1）以点为顶点，为一边，作，与延长线交于点；
（2）过点作于，根据等腰三角形三线合一得到，在△中，由，结合勾股定理列方程即可求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到的长，最后根据线段和差关系即可得解．
解：（1）如图所示，作，与延长线交于点，即为所求；
（2）如图所示，过点作于，
，
，
设，
，
，
，
即，
解得或（负值，舍去），
即，
，
△△，
，
即，
解得，
．
22．（10分）【问题提出】把一个长、宽分别为、的长方形（如图，剪拼成一个正方形．（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计）
【方案设计】某学习小组提出以下设计思考：
（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为 ．（用含、的代数式表示）
（2）如图2，延长至点，使，以为直径作半圆．延长交于点，联结、，可得（后续说理如需用到这一结论，可直接使用）．他们认为：“就是所求正方形的边长”．
（3）如图3，以为边，在左侧作正方形，分别与、交于点、，沿虚线、裁剪，△、△可以通过适当的图形运动分别与△、△叠合，拼成正方形．
【论证说明】
（1）如图2，该学习小组认为：“是所求正方形的边长”，试说明理由；
（2）△可以通过怎样的图形运动与△叠合，并说明它们能够叠合的理由．
【分析】【方案设计】（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知矩形和正方形的面积都是，即可求解边长；
【论证说明】（1）过点作，先证明，然后得到，则，据此求解即可；
（2）先证明△△，再证明△△，求证，即可得到△△
解：【方案设计】（1）由题意得，矩形的面积为，
根据剪拼前后图形面积不变，
可知剪拼后正方形的边长为；
【论证说明】（1）如图2，过点作，则，
经过圆心，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
解得（舍负），
是所求正方形的边长；
（2）△可以通过平移运动与△叠合，理由如下：
矩形，正方形，
，，，，
，，
，
△△，
，
，
△△，
，
，
解得，
，
，
，
，，
△△，
△可以通过平移运动与△叠合．
23．（12分）已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足．
（1）求证：；
（2）如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形．
【分析】（1）先证明△△，得到，继而可证明△△，再由垂径定理的推论即可证明；
（2）先证明△△，则，故，那么得到，由（1）知，△△，则，那么，即可得到四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明菱形．
【解答】（1）证明：，，
△△，
，，
，
，
，
，，
△△，
，
；
（2）证明：是的中点，
，
，即，
，
，
，
△△，
，
，
，
由（1）知，△△，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
24．（12分）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积；
（3）点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果△与△相似，且边与边对应，求点的坐标．
【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式；
（2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解；
（3）①过点作，过点作，进而可知△△，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于，过点作交对称轴于，证明△△，根据相似三角形的性质即可求解．
解：（1）由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点，
则点，，
是直线上一点，且，
点是线段的中点，
设点，
点，
，，
点，
将点，点代入抛物线，得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）如图1，四边形是梯形，
，
为原点，
的直线解析式为，
联立得：，
解得：或，
点在抛物线上，且位于第一象限，
，
过点作轴，过点作轴，
；
（3）①如图2，过点作，过点作，
当，△与△相似，且边与边对应，
则，
抛物线，
，
，，
，
△△，
，
抛物线的对称轴为直线，
设点，点，
，，，
，，
则，，
解得：或，
点、都在第三象限，
，
，
；
②由题可得，抛物线的对称轴为直线，
如图3，过点作交对称轴于，过点作交对称轴于，
当，△与△相似，且边与边对应，
，
抛物线的解析式为，
，
，，
，
△△，
，
则抛物线的对称轴为直线，
设点，，
，，
，，
，，
解得：或（不合题意，舍去），
．
综上所述，，．
25．（14分）已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点．
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如图2，如果，且，求的正切值；
（3）以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长．
【分析】（1）先证明△△，再证明△△，即可求证；
（2）连接，设正方形的边长为1，，然后证明△△，得到，而由勾股定理得，继而得到方程，然后解方程，再利用正切的定义求解即可；
（3）设以为直径的圆记为，连接交于点，过点作于点，由题意得可设，则，由△△，得到，再由△△，求出，，则，可由勾股定理得到，由相交两圆得性质可得，，再由建立方程求解．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
；
（2）解：如图2，连接，
设正方形的边长为1，，
由题意得，，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
；
（3）解：如图3，设以为直径的圆记为，连接交于点，过点作于点，
由题意得可设，则，
，
四边形是正方形，
，，
△△，
，
，
，
，
，，
，
，
△△，
，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
与相交于点，，
，，
，
，
解得：或（经检验，不合题意，舍去），
．