辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共3页。试卷主要包含了单选，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选
1 ．与__300角终边相同的最小正角是( )
11π 5π π π
A ． B ． C ． D ．
6 3 3 6
1 ．C
【分析】由终边相同的角运算求解即可.
【详解】与__300角终边相同的角为__300 + 360 . k丿 k ∈ Z，令__300 + 360 . k > 0，解得k > 5，
6
且k ∈ Z，则k的最小值为 1，
所以与__300角终边相同的最小正角是__300 + 360 = 60 ，即为π .
3
故选：C.
2 ．半径为 2 的圆中，弧长为4π的弧所对的圆心角是( )
3
A ．45 B ．60 C ．120 D ．150
2 ．C
【分析】根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度.
【详解】由l = αr得rad = 120所以圆心角为 120.
3.设 csα =__ ，α ∈ (0丿 π)，则α可表示为 ( )
A. arccs 1 B arccs 1 C. π __ arccs 1 D. π + arccs 1
6 6 6 6
【答案】C
__→ __→ __→ __→
4 ．在△ ABC中， “ AB + AC > AB __ AC ”是“△ ABC是锐角三角形 ”的( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4 ．B
【分析】根据向量的数量积运算律可得角A为锐角，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),AB) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AC) > EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),AB) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AC) ，即 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),AB) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AC)2 > EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),AB) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AC))2，
整理可得EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(__→),AB) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(__→),AC) > 0，可知 csA > 0，
且A ∈ 0丿π, 可知角A为锐角，
所以 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),AB) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AC) > EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),AB) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AC) ，等价于角A为锐角，
因为角A为锐角不能推出△ ABC是锐角三角形，但△ ABC是锐角三角形可以推出角A为锐角，
所以“ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(___→),AB) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(__→),AC) > EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(___→),AB) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(__→),AC) ”是“△ ABC是锐角三角形 ”的必要不充分条件.
5．在△ ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C，△ ABC的面积记为S，若且 4S a2 + b2 __ C2 则△ ABC的形状为( )
A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形
5 ．C
【详解】在△ ABC中，
又可得 tanA = tanB，从而A = B；
利用余弦定理和面积公式可将 4S = 3 a2 + b2 __ C2)化为 2absinC = 2 3abcsC，所以 tanC = 3 ，从而C = π , 故△ ABC是等边三角形.
3
6 ．若 cs cs ，则 sin2α =（ ）.
A ．__ 1 B ．1 C ．1 D ．2
6 6 3 3
6 ．D
【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.
可得
因为(csα __ sinα)2 = cs2 α __ 2sinαcsα + sin2 α = 1 __ sin2α所以 1 __ sin → sin
7 ．函数fx = sin⑴x + 2cs⑴x(⑴ > 0)对应的图象如图，点A为图象与x轴的交点，点B为图象的最高点，点C为图象的最低点， 若AB 丄 AC，则⑴ 的值为( )
1 π
A ．2 B ． C ． D ．π
2 2
7 ．C
【分析】化简得到fx = 3sin(⑴x + φ)，得到fx的最大值为 3 ，最小值为一 3 ，设BC的中点为M，得到点A和点M都在x轴上，由AB 丄 AC ，得出 AM BC 设fx的最小正周期为T，列出关于T的方程，求得T = 4，进而得到⑴ 的值.
【详解】由函数fx = sin⑴x + 2cs⑴x = 3sin(⑴x + φ)，其中 tanφ = 2，可得函数fx的最大值为 3 ，最小值为一 3，
因为点B为图象的最高点，可得YB = 3 ，点C为图象最低点，可得YC =一 3，点A是图象与x轴的交点，可得YA = 0，
设BC的中点为M，因为B和C的纵坐标互为相反数，所以YM 所以点A和点M都在x轴上，
在△ ABC中，因为AB 丄 AC，所以LBAC ，且M为BC的中点，根据直角三角形的性质，可得 AM BC
过点B丿 C分别作x丿 Y的平行线，交于点N，则BN 丄 CN，
设函数fx的最小正周期为T，
可得 AM T ， BC 因为 AM BC ， 可得T ，解得T = 4，所以
8 ．已知函数f(x) = 2sin⑴x + ) (0 < ⑴ < 4) ，将f(x)的图象向右平移π个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当x1丿 x2 ∈ 丿 时，f x1 + f(x2) = 0，则f(x1 + x2) = ( )
A ．__ B ． C ．__1 D ．__ 3
8 ．D
【详解】将f(x)的图象向右平移π个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得π是函数fx的周期的整数倍.
即k . 2π = π (k ∈ N*)， 即⑴ = 2k(k ∈ N*)，
⑴
又 0 < ⑴ < 4，则⑴ = 2，故f = 2sin 2x
12 2 3 2 3
当x ∈ π 丿 π时，2x + π ∈ π 丿 )4π ,
则f(x)在 丿 上单调递减，
由fx1 + fx2) = 0，得 即x1 + x 则f(x1 + x2) = 2sin 2 x + = 2sin =__ 3.
二．多选题
（多选）9 ．△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，则下列说法正确的是( )
A ．若 A＞B，则 sinA＞sinB
B ．若 A ＝30 ° , b ＝4 ，a ＝5，则△ABC 有两解
C ．若 . EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 11(→),BC) = 0，且，则△ABC 为等边三角形
D ．若 A ＝60 ° , a ＝5，则△ABC 面积的最大值为
【解答】解：A 选项，在△ABC 中， 由 A＞B 得 a＞b，即 2RsinA＞2RsinB，所以 sinA＞sinB； B 选项，若 A ＝30 ° , b ＝4 ，a ＝5，
由正弦定理得，，解得sinB
又 a＞b，所以 A＞B，所以 B 只能是锐角， △ABC 只有一解，B 错误；
C 选项，分别为与EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 10(→),AB)和EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 10(→),AC)同方向的单位向量，
由 ，可知∠BAC 的角平分线与 BC 垂直， △ABC 是等腰三角形且 AB ＝AC，又因为c0s ∠BAC = c0s
所以 ∠BAC ，所以△ABC 是等边三角形，C 正确；
D 选项，因为 A ＝60 ° , a ＝5，得 25 ＝a2 ＝b2+c2﹣2bccs60 ° =b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当 b ＝c 时取等号，即 bc≤25，
所以s△ABC = bcsinA ≤ x 25 x = ，D 正确．
故选：ACD．
10.函数fx = Asin(⑴x + φ)(A > 0丿 ⑴ > 0丿 φ < ) 的部分图象如图所示，将fx的图象向右平移个单位长度得到函数gx的图象，则下列关于函数gx的说法正确的有( )
A. x 是g的一条对称轴 B. g x在 __ 丿 上单调递增
C. g x的一个对称中心为 __ 丿 0) D. g x + 是偶函数【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了函数y = Asin(⑴x + φ)的图象与性质，属于中档题．
先由图象得出f(x) = 2sin(2x + ) ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论．
【解答】
解： 由图知; f(x)min =__ A =__ 2 ，则A = 2， , 所以T = π , 则⑴ = = 2，即fsin
因为f( ) = 2sin( π + φ) = 0，所以 π + φ = kπ , k ∈ Z，即 kπ , k ∈ Z.
因为|φ| < ，得φ = ，所以f(x) = 2sin(2x + ).
所以g(x) = 2sin[2(x __ ) + ] = 2sin(2x + ).
当x =__ 时，g( __ ) = 2sin( __ ) =__ 2 ，故 A 对;
g(x)在( __ 丿 )上单调递增，在 上单调递减，故 B 错;
g sin ，故 C 错;
g(x + ) = 2sin(2x + 2 × + ) = 2cs2x， g(x + )是偶函数，故 D 对，
故选 AD．
→ → → →
（多选）11．如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3 ，AC = CD ， BC = λAB(λ>0) ， AB . BC = AC . CD = 0，则( )
A ．当λ = 1 时，BD = 15
B ．当时，DA ＝DB
→ →
C ．BC . BD的取值范围是( 3 ， + ∞)
→ →
D ．DA . DB的取值范围为（3 ，+ ∞)
→ → → →
【解答】解：因为AB = 3 ，AC = CD ， BC = λAB(λ>0) ， AB . BC = AC . CD = 0，建立如图所示平面直角坐标系，
可得B(0 ，0) ，A(0 ， 3) ，C( 3λ , 0)，过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E，
因为 AC⊥CD，则∠ACB+∠DCE ＝90 ° ,
又∠ACB+∠BAC ＝90 ° , 所以∠B = ∠E ＝90°∠BAC = ∠DCE ，又∠ABC = ∠E ＝90 ° , AC ＝CD，所以直角△ABC兰 直角△CED，即CE = 3 ，DE = 3λ, 则D( 3 + 3λ , 3λ)
选项 A，当λ = 1 时，D(2 3 ， 3) ，则BD A 正确；选项 B，当λ = 时，D(1 + 3 ，1)，
则DA2 = (1 + 3)2 + (1 __ 3)2 = 8 ，DB2 = (1 + 3)2 + 12 = 5 + 2 3 ≠ 8，故 DA≠DB ，B 错误；
→ → → →
选项 C，BC = ( 3λ , 0) ，BD = ( 3(λ + 1) ， 3λ)，则BC . BD = 3λ(λ + 1) = 3λ2 + 3λ ,因为λ>0， 由二次函数单调性可得 3λ2+3λ∈（0 ，+ ∞) , C 错误；
→ →
选项 D ，DA = ( __ 3(λ + 1) ， 3(1 __ λ)) ，DB = ( __ 3(λ + 1) ， __ 3λ)，
→ →
则：DA . DB = 3(λ + 1)2 __ 3λ(1 __ λ) = 6λ2 + 3λ + 3， λ>0 时，二次函数对称轴为λ
→ →
由单调性可知 6λ2+3λ+3＞3，即DA . DB的取值范围是（3 ，+ ∞) , D 正确．
故选：AD．
三．填空题
12 ．已知 sinA1+sinA2+…+sinA2026 ＝2026，则 sin（A1+A2+…+A2026）＝ 0 ．
【解答】解：根据题意，若 sinA1+sinA2+…+sinA2026 ＝2026，
则 sinA1 ＝sinA2 = … = sinA2026 ＝1，
不妨设 A1 ＝2k1π+，A2 ＝2k2π+ ，A3 ＝2k3π+ ， …… , A2026 ＝2k2026π+ ，（k1 、k2 、k3 、 …… 、k2026都是整数），
则 sin（A1+A2+…+A2026）＝sin[2（k1+k2+…+k2026）π+2026× sin1013π =0．
故答案为：0．
13.关于x 的方程 2cs2x + 4sinx + 1 = 0 的解集为 ．
【答案】{x x =__ + 2kπ或x = + 2kπ丿 k ∈ Z}
【解析】【分析】结合余弦的二倍角公式将方程转化为(2sinx + 1)(2sinx __ 3) = 0，进一步转化为解方程sinx 即可得答案．
【详解】因为 cs2x = 1 __ 2sin2x，
所以 2cs2x + 4sinx + 1 = 0 台 2(1 __ 2sin2x) + 4sinx + 1 = 0 台 4sin2x __ 4sinx __ 3 = 0 台 (2sinx + 1)(2sinx __ 3) = 0，
所以 sinx 或 sinx 显然 sinx 无解；
方程 sinx 的解为x kπ丿 k ∈ Z或x kπ丿 k ∈ Z所以，原方程的解为kπ或x kπ丿 k ∈ Z
14 ．已知函数f ，向量1 ，EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 7(→),e2) ，EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 7(→),e3)是平面内三个不同的单位向量，其中向量EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 7(→),e1) ，EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 7(→),e2)相互垂
1 •EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e2)）+f ( EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e2)•EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e3)）+f ( EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e3)1 ）＝1，则（ 1 + 3EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e2)） •EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e3)的取值范围是 [ \l "bkmark1" 3 ， \l "bkmark2" 2] ．
【解答】解： 已知EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e1) ，EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e2)相互垂直，则 1 . EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e2) 1 . EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 7(→),e2)) = f(0) =__ 1，
→ → → → → →
因为f(e1 . e2) + f(e2 . e3) + f(e3 •e1) = 1，
→ → → →
所以f(e2 . e3) + f(e3 . e1) = 2，
又因为f，所以f(EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 7(→),e2)•EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 7(→),e3)) = f( EQ \* jc3 \* hps17 \\al(\s\up 7(→),e3) . 1) = 1，
→ → 1 → → 1
即e2 . e3 ≥ 2 ，e3 . e1 ≥ 2，
→ →
以e1 ，e2 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，
→ → →
则e1 = (1 ，0) ，e2 = (0 ，1)，设e3 = (csθ , sinθ)，
→ → 1 → → 1
则e2 . e3 = sinθ ≥ 2 ，e3 . e1 = csθ ≥ 2，
由sinθ ≥ 且csθ ≥ , 可得 2kπ + ≤ θ ≤ 2kπ + ，k ∈ Z，
→ → →
已知e1 = (1 ，0) ，e2 = (0 ，1) ，e3 = (csθ , sinθ)，
→ →
则e1 + 3 e2 = (1 ， 3)，
所以 cssin = 2sin 因为 2kπ + ≤ θ ≤ 2kπ + ，k ∈ Z，所以 2kπ + ≤ θ + ≤ 2kπ + ，k ∈ Z，则sin 1]，所以 2sin(θ + ) ∈ [ \l "bkmark3" 3 ， \l "bkmark4" 2]，
→ → →
综上，(e1 + 3e2) . e3 的取值范围是[ \l "bkmark5" 3 ， \l "bkmark6" 2]．
故答案为：[ \l "bkmark7" 3 ， \l "bkmark8" 2]．
四、解答题：
15 ．（1）已知 tanα = 2 化简求值：
（2） 已知α ∈ 0丿 丿 β ∈ 且 sin sin 求 csβ的值.
【详解】（1） 由诱导公式得 ．．．．．．．5 分
（2）因为α ∈ 0丿 丿 β ∈ 丿π)，所以α + β ∈ 丿 ，因为 sin sin
所以 cs cs 分则 csβ = cs [(α + β) __ α = cs(α + β)csα + sin(α + β)sinα
分
16.(本小题 15 分)
从①asinB __ 3bcsBcsC = 3ccs2B ；③1 + = ；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角 ΔABC中，a丿 b丿 c分别是角A丿 B丿 C的对边，若
(1)求角B的大小；
(2)求 sinA + sinC取值范围；
【答案】解：(1)若选①： 由正弦定理得 sinA ，即 3sinBsinA = sinA(1 + csB)，
2
因为 0 < A < π , 所以 sinA ≠ 0 ，
所以 3sinB = 1 + csB ，整理得 sin
又因为 0 < B < ，则 __ < B __ < ，所以 B ．．．．．．．．．．6 分若选②：因为 asinB __ 3bcsBcsC = 3ccs2B ，
由正弦定理得 sinAsinB = 3sinBcsBcsC + 3sinCcs2B ，
即 sinAsinB csBcsBsin ，所以 sinAsinB = 3csBsinA ，
由 ，得 sinA ≠ 0 ，
所以 sinB = 3csB ，即 tanB = 3 ，
因为 B ∈ 0丿 ，所以 B 分
若选③：因为 1 + ，所以 即
又因为 A + B + C = π , 所以 又因为 sinA > 0 ，所以 csB
因为 B ∈ 0丿 ，所以 B ；．．．．．．．．．．6 分
(2)在锐角 ΔABC 中， 由(1)得， 所以 sinA + sinC = sinA + sin A + B = sinA + sinAcs csAsin sinA csA sin ．．．．．．．．．．12 分
由 < A + < ，所以 < sin A + ≤ 1，
所以 sinA + sinC 的取值范围为 ．．．．．．．．．．．15 分
17.(本小题 15 分)
如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AE) = 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),EB) ，M是线段CE上一动点．
___→ ___→ ___→
(1)ME = mMA + nMB ，m ，n ∈ R，求m . n的值；
(2)若AB = 9 ，EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),CA) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),CE) = 43，求(EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MA) + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MB)) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MC)的最小值．
___→ ___→ __→ ___→ 2 __→
【答案】解：(1)ME = MA + AE = MA + 3 AB
___→ 2 ___→ ___→ 1 ___→ 2 ___→
= MA + 3 (AM + MB) = 3 MA + 3 MB，
3 3 9
故m = 1 ，n = 2 ，则mn = 2 ； ．．．．．．．．．．4 分
(2)在矩形ABCD中，EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),CA) =__ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AC) =__ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AB) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AD)，
__→ __→ __→ __→ __→ 1 __→
所以CA . CE = ( __ AB __ AD) . ( __ AD __ 3 AB)
1 __→2 4 __→ __→ __→2
= AB + AB . AD + AD
3 3
因为 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),AB) = 9 ，EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),CA) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),CE) = 43，
所以EQ \* jc3 \* hps16 \\al(\s\up 4(1 ___→),3AB)2 + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AD)2 = × 92 + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),AD)2 = 43，
__→ __→ __→
解得|AD| = 4，即 AD = BC = 4 ．．．．．．．．．．．8 分在Rt △ EBC中， EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),EB) = 3 ，|EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),BC)| = 4，则 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),EC) = 5，
因为EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(__→),AE) = 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(__→),EB)，
所以EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MA) + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MB) = (EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),ME) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),EA)) + 2(EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),ME) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(__→),EB))
___→ __→ __→
= 3ME + EA + 2EB
___→
= 3ME，
___→
设|ME| = t ，0 ≤ t ≤ 5，
所以(EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MA) + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MB)) ·EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MC) =__ 3|EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),ME)|·|EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MC)|
=__ 3t·(5 __ t) = 3(t2 __ 5t)
0 ≤ t ≤ 5 ，．．．．．．．．．．13 分
因此当且仅当t 时，(EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MA) + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MB)) ·EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 1(___→),MC) 有最小值__ ，
___→ ___→ ___→ 75
从而(MA + 2MB)·MC的最小值为__ 4 . ．．．．．．．．．．15 分
18.(本小题 17 分)
已知函数fx = sin4x + 2sinxcsx __ Cs4x．
(1)求函数fx的最小正周期；
(2)将函数fx的图象向左平移个单位长度，得到函数gx的图象；再将函数gx图象上各点的横坐标变
为原来的1 倍 ⑴ > 0)(纵坐标不变)，得到函数hx的图象．
⑴
(i)若hx)在区间 丿 上没有对称轴，求⑴ 的取值范围；
(ii)若关于x 的不等式 __ 2msin 2x + __ m + 3 < 0 在区间 上有解，求实数m 的取值范围．． 【答案】解：(1) f(x) = sin4x + 2sinxcsx __ cs4x = sin2x + (sin2x __ cs2x)(sin2x + cs2x)
= sin2x __ cs2x sin ．．．．．．．．．．3 分晶函数f(x)的最小正周期为 π; ．．．．．．．．．．4 分
(2) (i)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x) = 2sin [2(x + ) __ ] = 2sin(2x __ ) ，将函数g(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍(⑴ > 0)(纵坐标不变)，得到函数hsin (i) 丫 x ∈ [ 丿 ] ，而⑴ > 0 ，晶 2⑴x __ ∈ [ ⑴ __ 丿 π⑴ __ ]，
晶 ，．．．．．．．．．．6 分
解得 丿 k ∈ Z，
又⑴ > 0，
晶当k = 0 时，0 < ⑴ < ; ．．．．．．．．．．8 分
当k = 1 时，
综上可知， ⑴ 的取值范围是(0丿) U ( 丿 ); ．．．．．．．．．．．10 分
可得sin2 msin m + 3 < 0，
即cs2 (2x + ) __ 2msin(2x + ) __ m + 3 < 0，
即 1 __ sin2 (2x + ) __ 2msin(2x + ) __ m + 3 < 0，
即sin2 (2x + ) + 2msin(2x + ) + m __ 4 > 0，其中x ．．．．．．．．．．14 分因为x ，则__ < 2x + < ，
令t = sin
则关于t 的不等式t2 + 2mt + m __ 4 > 0 在( __ 1丿 )上有解，
设F(t) = t2 + 2mt + m __ 4 ，t ∈ ( __ 1丿 )，
则F( __ 1) =__ m __ 3 > 0 或F ．．．．．．．．．．16 分
8
解得m 15，
所以实数m 的取值范围 __∞丿 __ 3 U 丿 + ∞) ． ．．．．．．．．．．17 分
19.(本小题 17 分)
已知函数f(x) = cs(asinx) __ sin(bCsx) ，a ，b ∈ R．
(1)若a = 0丿 b = ，求f(x)的值域；
若a 丿 b ，求f(x)在(0丿)上的所有零点；
(3)若对于满足a2 + b2 ≥ m 的所有a ，b，都存在x0使得f(x0) ≤ 0，求正实数m 的最小值．
【解析】解：(1)当a = 0 ，b = 时，f(x) = cs(0 . sinx) __ sin( Csx) = 1 __ sin( Csx)．
因为__1 ≤ sin ，所以 0 ≤ 1 __ sin ，即f(x)的值域为[0丿2]；．．．．．．．．．．4 分 当a 时，f cs( sinx) __ sin( Csx)．
令f(x) = 0，即 cs = sin
根据诱导公式 sin( __“) = Cs“可得 sin = sin
则 __ sinx = Csx + 2kπ或 __ sinx = π __ Csx + 2kπ , k ∈ Z ．．．．．．．．．．．8 分因为，所以k = 0．
当 __ sinx = Csx时，sinx Csx ，即 sin ，解得x
当 __ sinx = π __ Csx时，sinx Csx ，即 sin ，解得x 舍去)．因此，f(x)在(0丿)上的零点为x ．．．．．．．．．．11 分
（3）f 0 = 1 __ sin b ，f π = 1 + sin b ，故f0 > 0 或fπ > 0 ，若存在x0 使得fx0 < 0 ，由零点存在定
理，必存在x1 使fx1 = 0，
故此问题可转化为，若对于满足a2 + b2 ≥ m 的所有a ，b，都存在x1 使得fx1 = 0，求正实数m 的最小值． 14 分
即b cs x1 + a sin x1 = + 2kπ或b cs x1 __ a sin x1 = + 2kπ ,
得 sin sin
2
当k = 0 ，sin (x1 + φ)取 1 或__1 时，a2 + b2 取得最小值．．．．．．．．．．17 分