2025-2026学年山东省济南市第二十七中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年山东省济南市第二十七中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），文件包含第4章三角形测试卷docx、答题卡docx、答题卡pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
1.若分式xx−1有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠1B. x>1C. x≠0D. x0)，得到线段A′B′.若平移后的线段A′B′与y轴有交点，求t的取值范围.
(3)如图4，当点M、N在直线l上滑动(保持MN= 2)时，四边形OMNA的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
25.(本小题12分)
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体.而构建模型，可把握问题的本质.
【问题提出】
(1)如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF=45∘(此时∠EAF=12∠BAD)，小明为了解决线段EF，BE，DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90∘得到△ABG后，如图2，进而证明______≌△EAF，可得出结论.他的结论应是______.
【触类旁通】如图3，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180∘，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.
【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习.演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”(代号“蓝刃”)与815A型电子侦察船“天权星舰”(代号“天眼”)协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制.如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点.演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西30∘的A处，815侦察船位于O点南偏东70∘的B处，且OA=OB(两舰到指挥中心距离相等).接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东50∘方向前出，实施电子侦察与信号定位.2小时后，055舰到达C点，815船到达D点.此时，指挥中心通过雷达确认：∠COD=70∘(即两舰与指挥中心连线之间的夹角).试求此时两舰之间的距离CD(单位：海里).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵分式xx−1有意义，
∴x−1≠0，
∴实数x的取值范围是x≠1，
故选：A.
分式有意义的条件是分母不等于零，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：9−a2=(3+a)(3−a)符合因式分解的定义，则A符合题意，
x2−3x+1=x(x−3)+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
y(y−6)=y2−6y是乘法运算，则C不符合题意，
x+1=x(1+1x)中1x不是整式，则D不符合题意，
故选：A.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：多项式a3b−ab2c的公因式是ab.
故选：D.
根据公因式的定义确定公因式为ab.
此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的．
4.【答案】B
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B.
中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
5.【答案】D
【解析】解：由平移得：△ABC≌△DEF，∠DEF=∠B=90∘，BC=EF，
∴BC−EC=EF−EC，
即BE=CF，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
现有条件无法得到EC=CF，故选项D错误，符合题意，
故选：D.
根据平移的性质，结合图形逐项判断即可．
本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意A，C关于原点对称，
∵A(−1,2)，
∴C(1,−2).
故选：A.
由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标．
本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】C
【解析】解：原式=m−2m2×mm−2
=1m，
故选：C.
将除法转化成乘法进行约分计算．
本题考查了分式的运算，将除法转化成乘法进行约分是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可知∠BAB′=60∘，
∴∠B′AC=∠BAB′+∠BAC=105∘，
故选：D.
由题易得∠BAB′=60∘，即可求解．
本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示：设AC交y轴于点H.
∵▱AOBC的顶点O(0,0)，A(−1,2)，
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO= 22+12= 5，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG//OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO= 5，
∴HG= 5−1，
∴G(−1,2)；G( 5−1,2).
故选：B.
依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO= 5，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO= 5，进而得出HG= 5−1，可得G的坐标．
本题考查作图-基本作图，了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：原式=x2+1−2x2+1=1−2x2+1，
当x=0时，原式=−1，
当x=1时，原式=0，
当x=2时，原式=1−222+1
当x=12时，原式=1−2122+1=−1+222+1，
当x=3时，原式=1−232+1，
当x=13时，原式=−1+232+1
...，
当x=2026时，原式=1−220262+1，
当x=12026时，原式=−1+220262+1，
∴将所得结果相加之和=−1，
故选：A.
将分式变形为x2+1−2x2+1=1−2x2+1，将x值代入运算，找出变化的规律，依据规律解答即可．
本题主要考查了分式的值，数字变化的规律，利用分式的性质找出当x取互为倒数的值时，原式的值互为相反数的规律是解题的关键．
11.【答案】x(x−4)
【解析】解：x2−4x=x(x−4).
故答案为：x(x−4).
直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】3
【解析】解：由题意得：m−3=0，
解得m=3，
故答案为：3.
根据分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，计算即可得解．
本题考查了分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：由平移的性质可知：BB1=CC1=5，
∵BC1=11，
∴B1C=BC1−BB1−CC1=1，
故答案为：1.
根据平移的性质得到BB1=CC1=5，根据题意计算即可．
本题考查的是平移的性质，正确理解平移的距离的概念是解题的关键．
14.【答案】m0且x−1≠0，
即2−m>0且2−m−1≠0，
解得m0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形
【解析】解：(1)根据分组分解法进行因式分解可得：ax+ay+x2−y2=(ax+ay)+(x2−y2)
=a(x+y)+(x+y)(x−y)
=(x+y)(a+x−y).
故答案为：(x+y)(a+x−y)；
(2)根据分组分解法进行因式分解可得：
a2−b2−4a+4
=a2−4a+4−b2
=(a−2)2−b2
=(a−2−b)(a−2+b)；
(3)△ABC为等腰三角形，理由如下：
a2+b2+ac−bc−2ab=0，
(a2−2ab+b2)+(ac−bc)=0，
(a−b)2+c(a−b)=0，
(a−b)(a−b+c)=0，
∵a，b，c是△ABC三边的边长，
∴a+c−b>0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形．
(1)利用分组分解法进行因式分解即可；
(2)利用分组分解法进行因式分解即可；
(3)将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键．
24.【答案】C(−1,0)，D(0,1) 2≤t≤4 2 存在，4+ 2+2 5
【解析】解：(1)当y=0时，x=−1，
∴C(−1,0)，
当x=0时，y=1，
∴D(0,1)；
(2)线段AB向左平移12 2t个单位长度，向下平移12 2t个单位长度，
∴A′(4−12 2t,−12 2t)，B′(1−12 2t,3−12 2t)，
当A′在y轴上时，4−12 2t=0，解得t=4 2，
当B′在y轴上时，1−12 2t=0，解得t= 2，
∴ 2≤t≤4 2；
(3)四边形OMNA的周长存在最小值，理由如下：
作O点关于直线y=x+1的对称点E，连接ED，EM，过N点作NF//EM，过E点作EF//MN，连接AF，
∴四边形EFNM是平行四边形，
∴FN=EM，
∴OM+AN=FN+AN≥AF，
∵OC=OD=1，
∴∠CDO=45∘，
由对称性可知∠EDC=∠CDO=45∘，
∴ED⊥OD，
∴E(−1,1)，
∵MN= 2，
∴M点向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到N点，
∴E点向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到F点，
∴F(0,2)，
∴AF=2 5，
∴四边形OMNA的周长=OA+MN+OM+AN≥OA+MN+AF=4+ 2+2 5，
∴四边形OMNA的周长的最小值为4+ 2+2 5.
(1)根据一次函数图象上点的坐标特点求解即可；
(2)求出A′(4−12 2t,−12 2t)，B′(1−12 2t,3−12 2t)，当A′在y轴上时，t=4 2，当B′在y轴上时，t= 2，由此求解即可；
(3)作O点关于直线y=x+1的对称点E，连接ED，EM，过N点作NF//EM，过E点作EF//MN，连接AF，四边形OMNA的周长≥OA+MN+AF，求出F点坐标，求出AF的长即即可求解．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形平移的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．
25.【答案】△EAG；EF=BE+DF；
上述结论仍然成立；理由如下：
如图2，延长FD至点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180∘，∠ADG+∠ADC=180∘，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAG+∠DAF=12∠BAD，
即∠GAF=12∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AE=AG，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
100海里
【解析】解：(1)由旋转可得GB=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90∘，
∵∠EAF=45∘，
∴∠BAE+∠DAF=45∘，
∴∠BAG+∠BAE=45∘，
∴∠GAE=∠FAE，
在△EAG和△EAF中，
AG=AF∠GAE=∠FAEAE=AE，
∴△EAG≌△EAF(SAS)，
∴GE=EF，
∵GE=GB+BE=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：△EAG；EF=BE+DF；
(2)上述结论仍然成立；理由如下：
如图2，延长FD至点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180∘，∠ADG+∠ADC=180∘，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAG+∠DAF=12∠BAD，
即∠GAF=12∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AE=AG，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
(3)如图4，延长AC、BD相交于点G，
在四边形AOBG中，
∠AOB=30∘+90∘+20∘=140∘，∠COD=70∘=12∠AOB，
∵OA=OB，∠OAG+∠OBG=60∘+120∘=180∘符合(2)中的条件．
∴结论CD=AC+BD成立，
即CD=AC+BD=2×(30+20)=100(海里)，
答：此时两舰之间的距离为100海里．
(1)利用旋转的性质，证明△EAG≌△EAF(SAS)，由全等三角形的性质可得出结论；
(2)延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得 AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
(3)延长AC、BD相交于点G，然后与(2)同理可证．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，熟练掌握以上知识是解题的关键．