2022-2023学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年月日，“逐梦寰宇问苍穹中国载人航天工程三十年成就展”在中国国家博物馆展出，下列航天图标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列各式从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，得到的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列分式中，是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在▱中，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  分式的化简结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前天完成这一任务，设原计划每天铺设管道，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，将▱沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则▱的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  可以被和之间的某个数整除，则这个数可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为______ ．

13.  分式的值为，则 ______ ．

14.  若是一个完全平方式，则______．

15.  如图，是等腰直角三角形，，，将绕点旋转，得到，此时点的坐标为______ ．

16.  如图，的面积为，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当时，四边形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
因式分解：
；
．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在▱中，，分别是边和上的点，且求证：．

20.  本小题分
解方程：
．
．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度．
画出关于原点的中心对称图形；
平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
请写出中点的平移距离______ ．

22.  本小题分
月日是“世界读书日”，某中学为了开展“书香家庭，相伴共读”亲子阅读活动，计划从书店购进、两类图书若干本，类图书的单价比类图书的单价多元，用元购进的类图书与用元购进的类图书的本数相同，求类图书和类图书的单价各为多少元？

23.  本小题分
阅读小明和小红的对话，解决下列问题．

这个“多加的锐角”是______ 度
小明求的是几边形内角和？
若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？

24.  本小题分
对于正数，规定．
例如：，，．
求值： ______ ； ______ ．
猜想： ______ ．
应用：请结合的结论，计算下面式子的值：．

25.  本小题分
如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒．
______ ， ______ 分别用含有的式子表示；
当四边形的面积与四边形面积相等时，求出的值；
当点、与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

26.  本小题分
是等腰直角三角形，点是外部的一点，连接，，将线段绕点
逆时针旋转得到线段，连接，，．
如图，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
如图，线段交于点，此时中线段与线段的关系是否依然成立，请说明理由；
如图，线段交于点，点是边的中点，连接，，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，图形是中心对称图形，
故选：．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是因式分解，故符合题意；
B、是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意；
C、右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D、左边是单项式，不是因式分解，故不符合题意；
故选：．
根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解，因式分解把多项式转化成几个整式积的形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：将点向左平移个单位长度，得到的点的坐标是，即点的坐标为．
故选：．
横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得对应点的坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

5.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，且点，，共线，
，，
．
故选：．
利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，则，而，所以，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，由“两直线平行，同旁内角互补”证明是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
根据同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．
本题考查分式的加减法，掌握同分母分式加减法的计算方法是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高，且原计划每天铺设管道，
实际施工时每天铺设管道．
根据题意得：．
故选：．
由实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时每天铺设管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
在中，，，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：或舍去，
，
．
故选：．
根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程，求出，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
 

10.【答案】 

【解析】解：若能被和之间的某个数整除，
则需满足能分解成或的两个因数，
即和时，
故答案为：．
假设能被分解，只有分解成或的两个因数时满足题意，计算与，判断即可．
本题考查了分解因式的应用，合理的假设推算是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加条件为：，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
故答案为：答案不唯一．
由平行四边形的判定方法即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，且．
．
故答案为：．
根据分式的值为的条件分母不为，分子为解决此题．
本题主要考查分式的值为的条件，熟练掌握分式的值为的条件是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
故答案为：
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，
是等腰直角三角形，，，
是的中点，，
，
，
将绕点旋转，得到，此时点与点关于原点对称，
点的坐标为．
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质求得的坐标，根据旋转的性质即可求得的坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化旋转、等腰直角三角形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，过点作垂直于的延长线于，如图所示：

根据题意知，≌≌，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，过点作垂直于的延长线于，由旋转的性质得出≌≌，然后得出，是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的面积得出结论．
本题考查旋转的性质，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，关键是利用旋转的性质得出、是等边三角形，
 

17.【答案】解：原式；
原式
． 

【解析】利用平方差公式即可进行因式分解；
将原式变形为再提公因式即可．
本题考查提公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先化简，再代入求值．
本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】证明：在平行四边形中，，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】依据平行四边形的性质，即可得到，，判定≌，即可得到．
本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，
 

20.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图即为所求；
如图即为所求；
，
故答案为：．

根据中心对称的性质即可求得；
根据平移的性质即可求得；
根据勾股定理求得的长即为点的平移距离．
本题考查作图平移变换，掌握平移的性质、中心对称的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设类图书的单价为元，则类图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：类图书的单价为元，类图书的单价为元． 

【解析】设类图书的单价为元，则类图书的单价为元，由题意：用元购进的类图书与用元购进的类图书的本数相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：边形的内角和为，而边形的内角和为，
由于小红说“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”，
所以这个“多加的锐角”是，
故答案为：；
设这个多边形为边形，由题意得，
，
解得，
答：小明求的是边形内角和；
正十二边形的每一个内角为，
答：这个正多边形的一个内角是．
根据多边形内角和的计算方法进行估算即可；
根据对话和多边形内角和的计算方法列方程求解即可；
根据正多边形内角的计算方法进行计算即可．
本题考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及正多边形的性质是正确解答的前提．
 

24.【答案】     

【解析】解：


，



，
故答案为：，；
，




，
故答案为：；
原式

．
根据新定义的换算进行计算即可；
根据规律得出答案；
利用加法的结合律以及中的规律得出答案．
本题考查代数式求值，分式的加减法以及数字的变化类，理解新定义的函数的意义，掌握分式加减法的计算法则以及数字所呈现的规律是解决问题的前提．
 

25.【答案】   

【解析】解：点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，
，，
故答案为：，；
设点到的距离为，
四边形的面积是四边形面积的倍，
，
；
分情况讨论：
若四边形是平行四边形，
则，
，
；
若四边形是平行四边形，
则，
，
；
若四边形是平行四边形，
则，
，
不合题意舍去；
若四边形是平行四边形，
则，
，
；
综上所述：当的值为或或时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
由题意得出，；
由两个四边形的面积关系得出方程，即可解决问题；
分四种情况讨论，由平行四边形的性质分别列出方程求解即可．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、梯形面积公式以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．
 

26.【答案】   

【解析】解：，，
理由：是等腰直角三角形，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
；
故答案为：，；
中线段与线段的关系依然成立；
理由：是等腰直角三角形，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
；
连接，

将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
由知，
，
点是边的中点，
．
根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，等量代换得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，等量代换得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
连接，根据旋转的性质得到，，求得，化简等腰三角形 到现在得到，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形 的判定和性质，等腰直角三角形 到现在，旋转的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形 的判定和性质定理是解题的关键．