2025年河南省郑州市中考一模数学试题（解析版）-

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下表是某一时刻河南四个城市的气温情况，其中气温最低的城市是（ ）
A. 郑州B. 开封C. 洛阳D. 濮阳
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．根据有理数大小比较方法解答即可．
【详解】解：由，可知气温最低的是濮阳．
故选：D．
2. 如图是月牙纹彩陶罐，是仰韶村遗址第三次发掘出土的唯一一件完整的彩陶罐，现藏于三门峡庙底沟博物馆．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）

A. 主视图和俯视图相同B. 左视图和俯视图相同
C. 主视图和左视图相同D. 三视图各不相同
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可，掌握几何体的三视图概念是解题关键．
【详解】解：由实物图，可知月牙纹彩陶罐的主视图和左视图相同，俯视图与主视图、左视图均不相司，
故选：C．
3. 我国低空经济呈现快速增长态势，据中国民航局预计，到2025年，国内低空经济市场规模将达到1.5万亿元．数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．据此求解即可．
【详解】解：1.5万亿，
故选：B．
4. 如图，已知直线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，以及对顶角相等，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据题意得出，又，即可求解．
【详解】解：，
，
又，
，
故选：C．
5. 李老师是“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了近10天“健步走”的步数，并将记录结果整理成如下统计表：
李老师这10天平均每天“健步走”步数为（ ）
A. 1.2万步B. 11.8万步C. 1.18万步D. 1.15万步
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的计算，直接利用加权平均数进行计算即可．
【详解】解：（万步），
故选：C．
6. 已知一次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：可知，
，
故选：C．
7. 如图，点A，B，C在上，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
根据，可得，进而可解答；
【详解】解：，
，
，
故选：B．
8. 甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是从图象中获取信息，理解所对应的自变量的范围是解本题的关键．
【详解】解：由题图，可知时，，
故选：B．
9. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到∠A＝90°，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】如图，连接并延长交于点G，连接
．
∵M，N分别是，的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
，
∴，
，即N是CG的中点．
∴是的中位线．
．
∵，，，，
∴，，．
在中
．
，
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解．
【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为，
由题意得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
如图，与关于原点对称，
，，，，，，，
观察可知点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律，
即由点到点为一个变换周期，
，
即点的坐标为，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个函数解析式______，使它符合条件“当时，y随x的增大而增大” ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数的性质可知，当时，随着的增大而增大，可得答案．
【详解】解：由题意知，函数，在时，随着的增大而增大，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的性质．解题的关键在于熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．
12. 2024年11月，“郑州大学生夜骑开封”突然爆火，小郑和小封到达开封后，从清明上河园、万岁山、大相国寺、包公祠中各随机选择一个景点去游玩，则两人选择的景点恰好相同的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率；画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可；并会用列表或画树状图求概率是解题的关键．
【详解】解：记清明上河园、万岁山、大相国寺、包公祠分别为A，B，C，D，画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两人选择的景点恰好相同的结果有4种，
故两人选择的景点恰好相同的概率是．
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标特征，能得出关于的不等式组是解此题的关键．根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：若点P在第二象限，则，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，即a的取值范围是，
故答案为：．
14. 如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，利用相似建立等式求解．
【详解】如解图，过点C作于点F，
，
，
，
则，
即．
．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，P是的中点，Q为边上的动点，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，在旋转过程中，记点Q的对应点为，则线段长度的最大值是_________，最小值是_________．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】本题考查了线段动点最值问题，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，可得，当与重合时，即与重合时，此时取得最大值，结合矩形的性质及勾股定理，即可求解；当点Q与点B重合时最小，即可求解；能找出取得最值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，
P是的中点，
，
，
，
当取得最大值时，最大，
如图，
当与重合时，即与重合时，此时取得最大值，
，
在矩形中，，，
四边形是矩形，
，，
，
；
如图，
当点Q与点B重合时最小．
当点Q与点B重合时，
的最小值为．
综上所述，的最大值为，最小值为2．
故答案为：，2．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16 （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算．
（1）根据任何不为的数的次幂为可得：，根据平方根的定义可得：，根据负指数幂的运算法则可得：，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可；
（2）首先把括号里面的部分通分相减，根据分式除法法则把除法转化为乘法，可得：原式，然后再约去分子、分母的公因式即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：

．
17. 【项目背景】
山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计．
【数据的收集与整理】
从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组：
绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________．
（2）乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”）
（3）辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由．
【答案】（1）
（2）C （3）乙山楂园，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键．
（1）根据直方图可知甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的频数，再除以200即可求解；
（2）根据中位数的定义即可解答；
（3）根据直方图的数据分析即可．
【小问1详解】
解：，
甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：由样本数据频数直方图可知，乙山楂园样本数据的中位数落在C组．
故答案为：C．
【小问3详解】
解：乙山楂园的山楂品质更优，理由如下：
由样本数据频数直方图，可知乙山楂园优质品山楂所占比例大于甲山楂园，因此乙山楂园的山楂品质更优（答案不唯一，合理即可）．
18. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？
已知：如图，在中，
求证：．
（1）尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定及性质，解题的关键是理解等边所对的角相等；
（1）根据作角平分线的步骤作图即可；
（2）利用判定出，再根据性质求解即可．
【小问1详解】
解：如解图，，即为所求．
【小问2详解】
证明：平分，
．
又，
．
．
，
．
19. 如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）．
（1）2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？
（2）数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”．
设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？
【答案】（1）91 （2）能够被2整除，理由见解析
【解析】
【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据2025年是本世纪的“平方年”（），得出下一个“平方年”是，求解即可；
（2）算出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵2025年是本世纪的“平方年”（），
∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是．
【小问2详解】
解：能够被2整除．
理由如下：
由题意，得．
能被2整除，
由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除．
20. 2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价．
（2）若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润．
【答案】（1）A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元
（2）当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用．
（1）设型号空气净化器单价为元，型号空气净化器单价元，根据3台型号，3台型号的销售收入为2400元，6台型号9台型号的销售收入为5100元，列方程组求解；
（2）设采购种型号空气净化器台，则采购种型号空气净化器台，根据金额不超过5880元，列不等式求解；
【小问1详解】
解：设A型空气加湿器每台的售价为x元，B型空气加湿器每台的售价为y元．
由题意，得，
解得：，
答：A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元．
【小问2详解】
解：设购进A型空气加湿器a台，则购进B型空气加湿器台．
由题意，得，
解得：．
设总利润为W元．
由题意，得．
，
W随a的增大而增大．
当时，W有最大值为4320元，此时，．
答：当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元．
21. 阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
完成下列任务：
（1）连接，求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案；
（2）设，根据，得出，从而证明，得出，即，得出，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示：
为的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：设，
，
，
，
，
∵，
∴，
由（1），得，
，
，即，
，
解得：，
经检验，是分式方程解，且符合题意．
的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22. 郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分．
（1）求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式．
（2）一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数表达式为，把点代入求出，即可求解；
（2）无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点，由题意可得，证明四边形为矩形，得到，由，推出，得到，设点的坐标为，得到，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数表达式为，
把点代入，得，
解得：．
彩虹桥中间拱形二次函数表达式为；
【小问2详解】
存在．
如图，无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点，
无人机水平方向的速度为，遥控车的速度为，
，
又，
四边形为矩形．
，
由题意得：，
，
，
，
设点的坐标为．
，
解得：（舍去），，
当时，无人机到点的距离是遥控车到点距离的倍．
23. 综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动．
【动手操作】如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；过点，折叠纸片，使点落在点处；再沿过点的直线折叠纸片使得与重合，折痕交于点．求知小组的同学们通过观察猜测是的三等分点，并进行证明，过程如下：
（1）请将上述过程补充完整：①__________________；②__________________．
【深入探究】乐学小组尝试了另一种折叠方法，如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为，交于点．
（2）判断点是否为的三等分点，并说明理由．
【拓展延伸】善思小组继续探究，如图3，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交边于点；再沿过点的直线折叠，使与重合，折痕交边于点，将沿折叠，得到．
（3）若正方形的边长为，当点落在的边上时，请直接写出的长．
【答案】（1），；（2）点是的三等分点，理由见解析；（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）将、、的代竖式代入中，即可得方程，利用完全平方公式将式子化简即可得到；
（2）由折叠可得：，，，设，，则，，，在中，，即，整理得，得到，推出，得到，推出，即可求解；
（3）分情况讨论：①当点落在边上时，当点落在边上时，分别根据折叠的性质和三角函数求解即可．
【详解】解：（1）可列方程①：，
②整理方程如下：
，
故答案：，；
（2）点是的三等分点．
理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，，
设，，则，，，
在中，，即，
整理得：，
，
，
．
，
，
，即．
，
即点G是的三等分点；
（3）四边形是正方形，
，，
分情况讨论：
①如图1，当点落在边上时，
由折叠的性质得：，
，
，
，
；
②如图2，当点落在边上时，
由折叠的性质得：，
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握折叠的性质并分情况讨论．
郑州
开封
洛阳
濮阳
每天步数/万步
1.3
1.2
1.1
0.9
天数
3
4
2
1
组别
A
B
C
D
E
x/g
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
2400元
第二周
6台
9台
5100元
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点D，点O为所在圆的圆心．
小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为．
小华同学记录量筒上点A处的高度为．
设，，则，．
四边形是正方形，，，
由折叠的性质，得，，
，即，，三点在同一条直线上．
在中，，可列方程①__________________，
整理，得②__________________．
，即是的三等分点．