江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二下学期期中学情调研测试数学试卷（含答案）

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设 ，向量 ，且 ，则 （ ）
A.5 B.1 C.-1 D.-5
2.若 ，则 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知函数 ，则 （ ）
A.2 B.0 C.-1 D.1
4.已知 ，若 不能构成空间的一个基底，则 （ ）
A.-7 B.1 C.5 D.7
5.有五名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起的排法数是（ ）
A.120 B.72 C.36 D.12
6.设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，正方体 的棱长为 1，若 平面 ，且满足 ，则
点 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知 为定义在 上的奇函数， 为其导函数，当 时，
，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知 为正整数，且 ，则下列等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知函数 ，则（ ）
A.当 时， 的单调减区间为
B.当 时，对任意 ，都有
C.当 时， 在 上的值域为
D.若 有三个不同的零点，则
11.如图，在长方体 中， ，点 为四边形 内部（不含边界）
的一个动点，且 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A.异面直线 与 所成角的余弦值为
B.点 到棱 中点的距离为定值
C. 与平面 所成角的正切值为 4 时，
D. 的最小值为 14
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知 ，则 在 上的投影向量为__________.（用坐标表示）.
13.已知函数 在 处取得极大值，则实数 的值为__________.
14.若存在 使得 成立，则 的最大值为__________.
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 13 分）
如图，在三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于 为 的中点，
为线段 上靠近 的三等分点.
（1）设 ，试用向量 表示 ；
（2）求线段 的长度.
16.（本题满分 15 分）
某植物园大门有编号 共 5 个检票口，现有一行 6 人需进园游玩.
（1）若每人随机选择一个检票口进园，则 6 人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（2）若 6 人中有一老人需由家人 A 陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则 6 人
共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（3）若 6 人均在 1 号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则 6 人共有
多少种不同的进园方法？（用数字作答）
17.（本题满分 15 分）
已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求实数 的值；
（2）函数 的导函数为 ，求函数 在区间 上的最小值.
18.（本题满分 17 分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 .
（1）求证： ；
（2）已知点 为线段 上的动点（不与 重合），
①当点 为线段 的中点时，求直线 与平面 所成角的余弦值；
②当平面 与平面 的夹角最小时，试确定点 的位置.
19.（本题满分 17 分）
已知 .
（1）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）讨论函数 是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（3）当 时，求证： .
2025-2026 学年第二学期高二年级期中学情调研测试
数学试题参考答案
一､单选题：
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D
二､多选题：
9.BC 10.ACD 11.ABD
三､填空题：
12. 13.2 14.
四､解答题：
15.（本题满分 13 分）
（1）
（2）
16.（本题满分 15 分）
（1）由题可知，每人均有 5 种选法，由分步计数原理知，共 种选法；
（2）由题可将老人和家人 A 视为一个整体与另外 4 人排序，共有 种选法；
（3）由题，可将两个小孩优先排在中间任意两个位置上，有 种；
剩余 4 人任意排在其余 4 个位置上，有 种；
由分步计数原理知，共有 种排法.
答：以上三个情况分别有 15625 种不同的选法，120 种不同的选法，288 种不同的排法.
17.（本题满分 15 分）
（1）由题知 ，
则 ，得 ，
则 ，代入切线方程得 ，
故 ；
（2）由（1）知 ，令 ，
则令 ，得 或 ，
①当 时，若 单调递减，
故 ；
②当 时，若 单调递减，
若 单调递增，
故 ；
综上，
18.（本题满分 17 分）
（1） 平面 平面 ，四边形 为正方形
如图，以 为正交基底建立空间直角坐标系
则
（2）（1） 为 的中点，
∵平面 的一个法向量为
∴直线 与平面 所成角的正弦值为
∴直线 与平面 所成角的余弦值为 .
（2）设
设平面 的一个法向量为
. ，则
∴平面 的一个法向量为
令 则
当 时，即 时，平面 与平面 的夹角余弦值最大，即平面 与平面 的夹角最
小，此时 为 的中点.
19.（本题满分 17 分）
（1）由题意知：对 恒成立，
即 ，
由于 在区间 上为增函数，
则 ，故 ；
（2）由（1）知
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无极值；
②当 时，令 ，得 ，
0
单调递减 极小值 单调递增
此时，函数 在 处取得极小值，无极大值
综上所述，当 时， 无极值点；
当 时，函数 的极小值点为 ，无极大值点.
（3）解法一：由（2）知，当 时， ，则 ，
即 ，即 ，
所以要证 ，只要证 ，
也即证： ，
设 ，则 在区间 恒成立，
所以 在区间 上为增函数，则 ，故原不等式成立.
解法二：当 时， ，命题成立；
当 时，要证 ，只要证 ，也即证： ，
由（2）知，当 时， ，则 ，即 ，
也即证： ，
则 ，
令 ，当 时， 恒成立，
则 在区间 上为减函数，所以 ，即 ，
所以 在区间 上为减函数，则 ，故原不等式成立.
解法三：由（1）知，当 时， 在区间 上单调递增，
则 ，即 ，
所以要证 ，只要证 ，也即证： ，
设 ，则 ，
因为函数 在 上均为增函数，故函数 在 是增函数，
因为 ，由零点存在性定理可知存在 ，使 .
故 时， ，则 在 上为减函数，
当 时， ，则 在 上为增函数，
因为 ，
所以 时， ，故原不等式成立