广东省深圳市2026届高三二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份广东省深圳市2026届高三二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知 ,则
A. B. C. 2 D.
【答案】A
(1)教材题源:人教 A 版必修二 71 页例 2；
(2)高考题源:2024 年新高考全国II卷第 1 题；
(3)课标要求:理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
【解析】
2. 已知集合 ，则
A. B. {1} C. D.
【答案】C
(1)教材题源:人教 A 版必修一 14 页第 2 题；
(2)高考题源:2023 年新高考全国I卷第 1 题；
(3)课标要求:理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.
【解析】.
3. 的展开式中 的系数为
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
【答案】B
(1)教材题源:人教 A 版选择性必修三第 30 页例 2；
(2)高考题源:2025 年天津卷第 11 题；
(3)课标要求:能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【解析】由于 的展开式的第 3 项为 .
4.设 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
(1)教材题源:人教 A 版必修一第 184 页练习题第 2 题；
(2)高考题源:本题改编自 2023 年全国甲卷(理科)第 7 题；
(3)课标要求:通过具体实例，结合 的图象，理解它们的变化规律, 了解幂函数; 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
5.在平行四边形 中, ,则
A. B.
C. D.
【答案】A
(1)教材题源:人教 A 版必修二第 26 页例 1;
(2)高考题源:2022 年新高考全国I卷第 3 题；
(3)课标要求:借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则， 理解其几何意义.
【解析】由于 .
6.已知直线 ,平面 ,满足 ,则下列命题一定正确的是
A. 存在 ,使得 相交 B. 存在 ,使得
C. 存在 ,使得 的夹角为 D. 存在 ,使得
【答案】D
(1)教材题源:人教 A 版必修二第 131 页习题第 2 题；
(2)高考题源:2024 年全国甲卷(理科)第 10 题；
(3)课标要求:从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系, 归纳出四条性质定理, 并加以证明.
【解析】对于选项 ,若 ,任意直线 不相交,矛盾;
对于选项 ,若 与 相交,不存在直线 ,使得 ,矛盾;
对于选项 ,若 ,任意直线 ,矛盾;
对于选项 ,若 ,任意直线 ;
若 ,存在直线 ,令 ,则 ;
若 与 相交,存在平面 ,令 ,则 , D 正确.
7.双曲线 的左、右焦点分别为 为坐标原点,点 是 上一点, ,则 的离心率为
A. B. C. 3 D.
【答案】A
(1)教材题源:人教 A 版选择性必修一第 121 页第 4 题；
(2)高考题源:2023 年新高考全国 I 卷第 12 题；
(3)课标要求:了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质；通过圆锥曲线与方程的学习, 进一步体会数形结合的思想.
【解析】在 中, ,
则 ,则 轴,
于是 ,由于 ,则 , .
8.已知函数 ,则满足 的 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
(1)教材题源:人教 A 版必修一第 160 页第 5 题；
(2)高考题源:2023 年全国甲卷(文科)第 11 题；
(3)课标要求:能够理解函数的单调性、最大(小)值，了解函数的奇偶性、周期性；理解一些基本函数类(如一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等)的背景、概念和性质; 能从整体的角度探索具体函数模型和一般函数的性质和应用.
【解析】由于函数 关于直线 对称,
当 时,函数 单调递增,于是函数 在 上单调递增,
由 ,则 ,即 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ,则
A. 的最小正周期为 B.
C. 为偶函数 D. 的图象关于直线 对称
【答案】AD
(1)教材题源:人教 A 版必修二第 255 页第 21 题；
(2)高考题源:2022 年新高考全国Ⅱ卷第 9 题；
(3)课标要求:结合具体实例，了解 的实际意义；能借助图象理解参数 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
【解析】对于对
对于 B：，B 错
对于，为奇函数，错
对于：令，得，当时，对.
10.某公司统计了去年 1 月份到 5 月份某种产品的销售额如下表:
根据表中数据,通过最小二乘法求得的经验回归方程为 ,则
A. 变量 与 正相关 B.
C. 样本数据 的下四分位数为 1.8 D. 当 时, 的预测值为 4.1 万元
【答案】ABD
( 1 )教材题源:人教 A 版选择性必修三第 113 页第 2 题；
(2)高考题源:2025 年上海卷第 17 题；
(3)课标要求:结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义， 了解最小二乘原理, 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法, 会使用相关的统计软件; 针对实际问题, 会用一元线性回归模型进行预测.
【解析】对于选项 ,由于 ,则变量 与 正相关;
对于选项 B，由于 ，则 ，则 ；
对于选项 C,由于 ,则样本数据 的下四分位数为 2.2;
对于选项 D,当 时, .
11.已知正三棱柱 的高为 2,且有内切球 (球 位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点),若过 三点的平面截该三棱柱所得截面为 ,则
A.
B. 平面 平面
C. 截面 的面积为
D. 该三棱柱被截面 分成两部分,较小部分与较大部分的体积之比为
【答案】BCD
(1)教材题源:人教 A 版必修二第 119 页例 4；人教 A 版必修二第 145 页第 15 题；
(2)高考题源:2023 年新高考全国I卷第 12 题；2014 年安徽卷(理科)第 20 题；
(3)课标要求:利用实物、计算机软件等观察空间图形，掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征, 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构; 知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式, 能用公式解决简单的实际问题.
【解析】如图,取上底面,下底面的中心分别为 ,取 的中点 ,
取 中点 ，于是四边形 为矩形，则 ， 于是 ,则 错误;
对于选项 B,由于 ，且 平面 平面 则 平面 ，
又因为 平面 ,平面 平面 ,则 ,
如图,连接 ,由于 ,则 为平面 与平面 所成角平面角,
由于 ,则 ,于是平面 平面 ;
对于选项 ,如图,连接 ,交 于 ,过点 作 的平行线交 于 , 由于 ,则 ,则 为 上靠近 的三等分点,
于是 ,由于 为 中点, 为 中点,
则四边形 为等腰梯形,且 ,于是 ;
对于选项 ,由于正三角形 与正三角形 相似,三条侧棱延长相交于一点,
于是 为正三棱台, ,
而三棱柱的体积 ,于是 ,
则较小部分与较大部分的体积之比为 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若直线 是曲线 的一条切线，则 ________.
【答案】-1
【解析】设切点为 ,由于 ,则 ,则 ,
于是切点为 ,则 .
13.已知等差数列 的前 项和为 ,首项 为 的最大值，则 的值可以为_____. (写出符合条件的一个值即可)
【答案】
(1)教材题源:人教 A 版选择性必修二第 24 页第 3 题；
(2)高考题源:2025 年新高考全国Ⅱ卷第 7 题；
(3)课标要求:探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系.
【解析】设 ,由 最大, 单调递减,
那么 ,则 ,于是 ,
.
14.已知圆 是圆 上的一动点, . 若存在一个半径为 的圆与直线 相切于点 ,且与圆 内切,则 的最小值为________.
【答案】1.2
(1)教材题源:人教 A 版选择性必修一第 113 页例 6，第 114 页第 2 题；
(2)高考题源:2023 年新高考全国I卷第 22 题；2023 年新全国I卷第 16 题；
(3)课标要求:回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程; 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题; 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程, 掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质; 通过圆锥曲线与方程的学习, 进一步体会数形结合的思想.
【解析】如图,取圆的圆心为 ,连接 ,设点 ,
由于 ,则 ,
于是点 的轨迹是以 焦点的椭圆,从而椭圆的中心为 ,
于是设点 的轨迹方程为: ,
其中 ,则 ,方程为: ,如图,
由于直线 始终与 有公共点 ,
不妨设 的倾斜角为 ,如图, 才能取到最小值, ,其中直线 与圆相切,
由 ,
要求 的最小值,由焦半径公式: .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 1，求 的周长 .
【解析】(1)教材题源:人教 A 版必修二第 47 页例 7;
(2)高考题源:2024 年新高考全国I卷第 15 题；
(3)课标要求:借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.
(1)由余弦定理: ，可得 ，
又 ,则 ,
由正弦定理及 ,得 ,
又 ,则 ,
即 ,
又 ,解得 ,
因为 ,所以 .
(2)由(1)可知 ，又 ，
所以 ,
由正弦定理得, ,又 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
所以 的周长为 .
16.已知函数 .
(1)若 在 时取极值，求 的值和 的极小值；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.
【解析】(1)教材题源:人教 A 版选择性必修二第 104 页第 9 题；
(2)高考题源:2024 年新高考全国甲卷(理科)第 21 题；
(3)课标要求:结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性; 对于多项式函数, 能求不超过三次的多项式函数的单调区间; 借助函数的图象, 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 能利用导数求某些函数的极大 (小) 值、最大 (小) 值；对于多项式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值；体会导数在研究单调性、极大 (小) 值、最大 (小) 值中的作用.
(1) 由于 ,
由题意可知, ,则 ,
于是 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
则 在 上单调递减,所以 在 上没有极小值,
又因为 在 上单调递增,且 ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
于是 在 处取极小值,极小值为 .
(2)由于不等式 对任意 恒成立，则 ，
即 ,所以 ,
下证: 当 时, ,
由于 ,则 ,
令 ,由 (1) 可知, 在 上单调递增,
于是 ,
所以当 时, ,
综上所述, .
17.已知抛物线 的焦点为 是 上不同的两点 (其中 在第一象限),点 . 当 与 轴垂直,且 时, .
(1)求 的方程；
(2)若 为 轴上一点，且 (点 与 不重合). 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立:
① 三点共线；② 轴；③ .
注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】
(1)教材题源:人教 A 版选择性必修一第 145 页第 5 题；
(2)高考题源:2022 年新高考全国II卷第 10 题；
(3)课标要求:了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
(1)由题意可知， 关于 轴对称，令 ，则 ，于是直线 过焦点 ， 在 Rt 中,有 ,可得: , 则 ,于是 的方程为: .
(2)①② ⇒ ③
由题, 与 轴不垂直,不妨设直线 ,点 ,
联立 得 ,
取 中点 ,连接 ,由 ,则 ,
而 ,
则 ,则 .
①③ ②
由题, 与 轴不垂直,不妨设直线 ,点 ,
联立 得 ，取 中点 ，连接 ，
由于 ,
由 ,且 ,则 ,
,且 ,则 ,
即 ,则 ,则 轴, 轴.
②③ ①
由题, 与 轴不垂直,不妨设直线 ,点 ,
联立 得 ,
取 中点 ,连接 ,由 ,则 ,
而 ,
由 ,则 ,
,于是 ,此时 ,
则直线 恒过定点 ,即 三点共线 .
18.如图，已知圆锥 的底面直径 ，其中 为底面圆心，母线 ，动点 从 点出发，在圆锥的侧面上绕轴 一周后回到 点,其轨迹为 .
(1)求 长度的最小值；
(2)若点 在圆 上,且 ( 是 所对的圆心角, ,证明: 存在非零向量 , 使得 恒成立;
(3) 在 (2) 的条件下,可知 是平面曲线,记 所在平面为 ,求平面 与 夹角余弦值的取值范围.
【解析】(1)教材题源:人教 A 版必修二第 120 页第 4 题；
(2)高考题源:2024 年上海卷第 18 题；
(3)课标要求:能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题；能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题, 并能描述解决这一类问题的程序, 体会向量方法在研究几何问题中的作用.
(1)如图，沿圆锥 的母线 ，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形 ，其中 为 的中点, 与 在圆锥中是同一点,因为轨迹 在圆锥的侧面上,所以,在侧面展开图中,轨迹 是扇形 上连接 与 两点的曲线,
又 是最短路径,而平面上连接两点之间,线段最短,所以,轨迹 是侧面展开图扇形 上连接 与 两点的线段,即线段 .
由于 ,所以 的长度为 ,又 ,所以 ,
在等腰三角形 中， ，即 的长度为 .
(2)如图，在底面圆 中，过点 作 交圆 于点 ，由于 平面 ， ， 两两垂直，如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,
于是 ,设
则 ,
于是 ,
则 ,
于是 ,
于是令 ,则 .
(3)由(2)可知， 是平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，
由于 ,
则 , ,令 ,
于是平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 所成角为 ,
于是 ,
即平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为 .
解法 2 : 由(2)可知,平面 的法向量 ,
由于 在底面圆周上运动,
则平面 即平面 的法向量可以是底面上任意方向的向量,
如图，在平面 内，过点 作 ，则 ，
设平面 与平面 所成的角为 ,则 ,
易知 ,则 ,
综上， ，
即平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为 .
19.一个微生物在如图所示 3x3 方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格. 方格 是初始位置, 是营养丰富的角落,每次到达方格 时,微生物进行一次繁殖. 记该微生物第 次繁殖时所经过的总移动步数为 .
(1) 求 ;
(2)求 ；
(3) 求 .
参考公式: 1.若 ,对于 ,则 ;
2. 若 是离散型随机变量,则 .
【解析】(1)教材题源:人教 A 版选择性必修三第 91 页第 10 题；
(2)高考题源:2023 年新高考全国I卷第 21 题；
(3)课标要求:通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征 (均值、方差).
(1)微生物经历奇数次移动必然到达区域 ，之后有 的概率到达区域 ，有 的概率到达区域 ,微生物在区域 或者区域 时,下一步必然到达区域 .
(2)微生物第 1 次到达区域 所经历的步数必然为: ，
若微生物经历 次移动第 1 次到达区域 ，则前面 步必然在区域 与区域 之间移动， 且最后 2 步是由区域 到区域 ,接着到达区域 ,于是
,则 ,
不妨设 ,
于是 ,
则 ,
化简可得, ,
由题意可知, ,所以 ;
解法 2: 由微生物在 2 次移动后,有 的概率经过区域 到达区域 ,
有 的概率到达经过区域 回到区域 ,
于是 ,
解得, ;
(3)解法 1:初始位置 时微生物第 次到达区域 累计移动次数为 ，
设初始位置 时微生物第 次到达区域 累计移动次数为 ，初始位置为 时微生物第 次到达区域 累计移动次数为 (初始位置不记为到达)，当 时，
于是:
即 ,
化简有 ,
又由 ,有
即 ,
又由 ,于是 .
解法 2: 不妨设微生物从区域 出发,第一次到达区域 ,需要的次数为随机变量 ,
当 时, ,
微生物由区域 出发第 1 次到达区域 所经历的步数必然为: ,
若微生物经历 次移动第 1 次到达区域 ，则前面 步必然在区域 与区域 之间移动， 且最后 2 步是由区域 到区域 ,接着到达区域 ,于是
,则 ,由 (2) 知 ,
于是 ,
又由 ,于是 .
解法 3: 当 时,微生物第 次到达区域 所经历的步数可能为: , ,当微生物通过 步第 次到达区域 时,前面的 步中,在奇数步中,必然到达区域 ,偶数步中,有 次到达区域 ,对应的概率为 ,最后 2 步移动以 的概率回到 ,
于是 ,则
不妨记 ,
于是 ,
则 ,
又由 ,于是 ,
则 ,
又由 时 也符合上式,于是对于 均有 .
注: 视每 2 次移动为 1 次试验,易知 1 次试验中,必然有 1 次到达 ,有 1 次到达 或者 . 即每次试验有 的概率到达 发生,有 的概率到达 不发生. 于是为使到达 事件发生 次,平均需要进行试验 次,于是需要移动 次 .月份
1
2
3
4
5
销售额 万元
1.8
2.2
2.8
3.1