广东省大湾区2026届高三二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份广东省大湾区2026届高三二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使 有意义,则 ,即 ,则 .
2. 若 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,所以 .
3.已知 ,若 ,则
A. B. C. -1 D. 3
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,即 .
4.已知函数 ,若 ,则
A. 3 B. 2 C. 4 D.
【答案】C
【解析】由题意知 , 所以 ,即得 ,解得 .
5.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A. 48 个 B. 52 个 C. 60 个 D. 120 个
【答案】B
【解析】由题意可知,分为两种情况:
情况一:个位是 0，则有不同的结果 个；
情况二:个位不是 0，则有不同结果 个；
所以共有 个.
6.若以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1 , 则椭圆长轴长的最小值为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】由椭圆的特征可知,椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 , 即 .
7.抽样得一组数据如下表,利用最小二乘法得到回归直线方程 ，据此模型预测当 时， 的估计值为
A. 100 B. 106 C. 110 D. 116
【答案】B
【解析】由题意可知: 因为回归直线方程经过样本中心 ,所以 ,即 , 回归直线方程为: ,当 时, 的估计值为 106.
8.设 为异面直线， 为平面，已知 ， ， ，动点 . 若 到直线 ， 的距离相等,则 的轨迹为
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】C
【解析】设直线 在平面 的射影为直线 ,则 与 相交,且 与 垂直, 设直线 与平面 的距离为 ,在平面 内,以 为 轴, 轴建立平面坐标系,设 ,则 到直线 的距离为 到直线 的距离为 , 所以 到直线 的距离为 ,所以 ,即 , 所以 的轨迹为双曲线.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线 与平面 相交于点 ,则
A. 内不存在直线与 平行 B. 内有无数条直线与 垂直
C. 内所有直线与 是异面直线 D. 至少存在一个过 且与 垂直的平面
【答案】ABD
【解析】已知直线 与平面 相交于点 ,若 内存在直线 与 1 平行,则直线 与 1 确定一个平面 , 由 且 ,则 与 重合,有 ,与 矛盾,故选项 正确. 设直线 在平面 内的射影为 ,根据三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 所以平面 内与射影 垂直的直线 ,与直线 垂直. 又因为在平面 内与直线 平行的直线都与直线 垂直,而在平面内与一条直线平行的直线有无数条, 所以平面 内有无数条直线与 垂直,故选项 正确.
在平面 内过点 的直线 ,因为直线 与直线 都过点 ,根据相交直线的定义: 两条直线有且只有一个公共点,则这两条直线相交,所以直线 与直线 相交,并非异面直线,故选项 错误.
如图,取直线 上除斜足 外一点 ,过该点作平面 的垂线 .
因为 ,且 平面 平面 ,根据平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,所以平面 垂直于平面 ,即至少存在一个过 且与 垂直的平面, 故选项 D 正确.
10.已知随机事件 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由题设 ,且 ,
所以 A、C 对，B、D 错.
11.已知函数 的定义域为 ,且 , 若 的图象关于直线 对称,则
A. B.
C. 是奇函数D.
【答案】ABD
【解析】因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以 关于 中心对称,且 ,
所以 ,故 A 选项正确;
因为 的图象关于直线 对称,
所以 ,所以 ,
用 替换 可得 ,
所以 ,所以 的周期为 ,
所以 ,故 D 选项正确;
因为 的图象关于直线 对称,
所以 ,所以 ,所以 是偶函数;
因为 ,所以 ,所以
所以 ,所以 错误;
由 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以选项 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知函数 是奇函数，则实数 ________.
【答案】1
【解析】因为函数 是奇函数,所以 , 即 ,由于分母 ,化简得 ,解得 ,经检验符合题意 .
13.已知角 的终边经过点 ，则 _______.
【答案】2
【解析】因为 的终边经过点 ,所以 ,
所以 ,解得 或 ,
又 ,所以 ,所以 ,所以 .
14.已知抛物线 ,按如下方法依次构造点列 : 设点 , 过抛物线上点 作斜率为 4 的直线 与抛物线 交于另一点 为 关于 轴的对称点. 记 的坐标为 ,数列 的前 项和为 ,则 ________.
【答案】
【解析】设 ,则
因为 ,所以 ,即 ,化简得: ,
所以数列 是首项为 -4,公差为 -4 的等差数列,所以
所以 ,所以
所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 .
(1)若 ,求 的极小值;
(2)讨论导函数 的单调性 .
【解析】(1) 当 时, 的定义域为 , 1 分
则 , 2 分
当 时, 在 上单调递减; 3 分
当 时, 在 上单调递增; 4 分
所以当 时， 取得极小值 . 6 分
(2) 的定义域为 ，
7 分
令 ,则 , 8 分
当 时， 恒成立，所以 即 在 上单调递增. 10 分
当 时,由 ,得 ,所以 即 在 上单调递增 12 分
由 ,得 ,所以 即 在 上单调递减. 13 分
16.已知 分别为 三个内角 的对边,且 .
(1)求证: ；
(2)若 的面积为 ，求 .
【解析】(1) 由正弦定理 ,得 1 分
即 2 分
由 知
所以 3 分
因为 为三角形的内角
所以 或 (舍去) 5 分
即 6 分
( 2 )由 ，得 7 分
由(1)知 及 为锐角
所以 8 分
可得 10 分
又 12 分
由正弦定理 得 13 分
所以
解得 14 分
所以 15 分
17.如图，在四棱锥 中， 底面 ， . 以 为直径的球面分别交 于 两点 异于所在棱端点).
(1)证明: 平面 ；
(2)求异面直线 与 的夹角；
(3)求三棱锥 的体积.
【解析】
方法 1:
(1)因为 底面 ， 平面 ，所以
又 ,以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 如图所示
则 1 分
设 ,因为 共线,所以
即 ,解得 2 分
因为 在以 为直径的球面上,
所以 ,得 ,解得 ,
所以 3 分
设平面 的一个法向量为
则 ,得
所以 4 分
因为 ，所以
所以 平面 5 分
(2)设 ，因为 共线，所以 ，
即 ,解得 6 分
因为 ,所以 ,解得 7 分
所以 8 分
记异面直线 的夹角为 ,则 9 分
所以异面直线 的夹角为 10 分
(3)
因为 ,所以 11 分
又因为 平面
所以 平面 12 分
在 中,
所以 ,得
13 分
在 中,因为 ,所以 14 分
所以三棱锥 的体积为 15 分
方法 2:
(1)证明:因为 底面 平面 ，所以 1 分
因为 平面
所以 平面 . 2 分
因为 平面 ,所以 3 分
因为点 在以 为直径的球面上,所以 4 分
因为 平面
所以 平面 5 分
(2)因为 平面 ,所以
因为 ，所以 为 中点
因为点 在以 为直径的球面上，所以
在 中,易得 6 分
在 中,
所以 7 分
取 的中点 ,取 的中点 ,取 的中点 ,连接
在 中, 分别为 中点,所以 且 在 中,同理可得 且
所以 且
因为 且 ,
所以四边形 为平行四边形,即 8 分
过 作 于
在 中,
所以 9 分
在 中, ,所以 ,所以
所以异面直线 的夹角为 10 分
(3)在 中， ，所以 11 分
因为 平面
所以 平面 12 分
在 中,
所以 ,得
13 分
因为 ,所以 14 分
所以三棱锥 的体积为 15 分
18.已知双曲线 的离心率为 ，左右焦点分别为 ， ， ， 为双曲线左支上的两点,直线 交 轴于点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)设线段 的中点为 ，直线 交 轴于点 ，点 为 关于原点的对称点，以 为圆心作与 轴相切的圆,过 作该圆的两条切线,切点分别为 ,求 的取值范围.
【解析】(1) 由题意可得: ,且 1 分
所以 2 分
在双曲线中, ,故 3 分
因此双曲线 的方程为: 4 分
(2)设点 ，且 ， ，可得 5 分
点 在双曲线上,可得 6 分
所以 7 分
所以直线 的方程为: . 或 9 分
(3)由题意可知直线 斜率不为 0，设直线 方程为 ， ，
所以 ,又点 关于坐标原点对称,所以 ,圆 的半径为 10 分
联立 ,可得 11 分
得 12 分
要使得直线 与双曲线左支交于两点,应满足: 13 分
因为
所以 14 分
因为
所以 15 分
令
得
因为
所以 16 分
因为 为锐角,所以
而 ,所以 17 分
19.袋中共装有 个小球,分别标有编号 . 现采用 “先试验后锁定” 的策略进行 次操作: 前 次 (试验期) 每次从袋中无放回地随机摸一个球,并记录摸到球的编号; 之后的 次 (锁定期) 操作,不再继续摸球,而是每次都记录试验期摸到球的最大编号. 记 为这 次操作中记录的全部编号之和, 为 的数学期望.
(1)当 时，求在试验期至少摸到一个编号不小于 8 的球的概率；
(2)若 是定义在同一个随机试验样本空间上的任意 个离散型随机变量， 则 . 基于此,求解下列问题:
① 求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
② 当 时,求 的最大值以及此时 的值.
【解析】(1)设事件 A = “实验期至少摸到一个编号不小于 8 的球” 1 分
则 3 分
(2)①方法 1:
设实验期第 次摸到的球的编号为 ,记这 个编号的和为
则 4 分
先求第 次摸到的球的编号为 的数学期望
的所有可能的取值为: 5 分根据无放回随机抽样的特点, 6 分
所以 7 分
所以 9 分
方法 2: 从 中选 个数共有 种组合, 4 分
考虑 所有 元子集,它们的和的平均值即为实验期所摸小球编号之和的数学期望
对每个数 ,它在所有 元子集中出现的次数为 5 分
所有 元子集的总和为 8 分
所以所求期望为: 9 分
②记前 次(实验期)记录的编号之和为 ，编号最大的数即为 ，则
所有可能的取值为: 10 分
则 11 分
所以 12 分
因为
所以
所以 15 分
当 时，
,当且仅当 ,即 时取等号
所以 的最大值为 ,此时 17 分2
4
5
6
8
20
45
60
75
80