福建厦门第一中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷（含答案解析）

这是一份福建厦门第一中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知，则的值是（ ）
2. 若数列是等比数列，且，则（ ）
3. 若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（ ）
4. 若等轴双曲线的焦点到渐近线的距离为，且上一点到它的一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ）
5. 若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（ ）
6. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为上的动点，则的最小值为（ ）
7. 水平面上放着半径为的球，球面上两点，满足，若直线与所成的角为，则点到距离的最大值为（ ）
8. 若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（ ）
二、多选题
9. 平行六面体中，，，，点在线段上，满足，为线段的中点，则（ ）
10. 过曲线的焦点作两互相垂直的直线，分别交于点，和，，交直线于点，．，分别是以，为直径的圆．（ ）
11. 若数列满足．记，，则（ ）
三、填空题
12. 已知等差数列的公差为，，则的前项和______．
13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．
14. 如图，正三棱柱的高为，分别是棱，所在直线上的动点，且，为线段的中点，则的轨迹所在的圆锥曲线的离心率为______．
四、解答题
15. 平面直角坐标系中，已知，，．记的外接圆为．
(1)求的方程；
(2)若，点满足，试判断点的轨迹与的位置关系．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，，

(1)证明：平面；
(2)若，侧棱上是否存在一点，使二面角为直二面角？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17. 已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数的图象上总存在两点关于对称，求的取值范围．
18. 国家实施乡村振兴战略，回乡创业成为潮流，窗花剪纸是热门项目．某乡镇图书馆为支持项目发展，购进一批剪纸书籍，并定期开放借阅．试行一段时间统计发现，第一次开放借阅期间，共借出剪纸书籍的，且在后续每一次开放借阅期间，剪纸书籍在馆的有借出，已借出的有归还图书馆．假设上述统计数据在后续运行中没有发生变化，并设第次开放借阅结束后，剪纸书籍在馆数量占购入量的比重为数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)试估计若干次开放借阅之后，图书馆是否将出现无剪纸书籍可供借阅的情况．若是，说明理由；否则，将有恒成立，求实数的最大值；
(3)对折是剪纸艺术的重要技术，现有规格为的长方形红纸，对折一次可得到，两种规格的红纸，它们的面积和；对折两次可得到，，三种规格的红纸，它们的面积之和，以此类推．求数列的前项和．
19. 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若直线是在点处的切线，与相交于点．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）是否存在定圆，使与交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求的方程；若不存在，说明理由．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
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C．或
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A．与的夹角为
B．
C．线段的长度为
D．直线与所成的角为
A．有最小值
B．是和的公切线
C．在外
D．
A．是递增数列
B．
C．
D．