浙江省杭州市临安区名校2025年中考一模数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市临安区名校2025年中考一模数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.2025的相反数是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】的相反数为，
故选：A．
2.2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】．
故选C．
3.如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】从左面看，是一个等腰三角形．
故选：B．
4.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
5.某学生的数学总评成绩由作业（），期中考试（）和期末考试（）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ）
A.80分B.81分C.82分D.83分
【答案】B
【解析】总评成绩为（分）
故选：B．
6.如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
∴，
∴相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故选：C．
7.《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，
∴，
故选：D．
8.如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接交于，连接，
∵四边形和四边形都菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为的中点，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点R为的中点，即点R与点N重合，
∴，
故选：D．
9.已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】一次函数与轴交于点，
，
时，，
，即，
，
当时，，
，
，
，
四个选项，只有选项B符合条件．
故选：B．
10.如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∵，点E是边的中点，
∴，
∵，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11.因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
12.若，则______．
【答案】
【解析】，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
13.为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“”和“豆包”三个主题．若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是______．
【答案】
【解析】把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
14.如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则______．
【答案】
【解析】如图，连接,
，
，
的度数为，
∵点为弧的中点，为的直径，
∴的度数为，
度数为，
的度数为的度数减去的度数为，
的度数为的度数减去的度数为，
，
故答案为：．
15.已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16.如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是________．
【答案】
【解析】是边长为6的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（1）化简：
（2）解不等式组：．
解：（1）；
（2）解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解为
18.（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，）
解：（1）由题可知墙角为，
∴另一端距离地面的高度米；
（2）由题可知双梯可抽象为等腰三角形，
∴由等腰三角形三线合一可知，双梯顶端距离地面的高度米．
19.为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分
操作规范性和书写准确性的得分统计表
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
解：（1）由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙综合成绩更好．（言之有理即可）
20.如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于．
（1）求证：．
（2）请写出与之间的数量关系并证明．
解：（1）过点作交于．
∵正方形中，
∴，．
∵，
∴，
又
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，，，
∴．
∴．
（2），
证明：∵正方形中，
∴，
又
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
21.如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图像上，当，求点的坐标．
解：（1）∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）∵直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则或．
22.我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤．
解：（1）连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图：
；
（2）①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和；
②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线．
23.药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
解：（1）∵上沿抛物线的顶点为，
设上沿抛物线的顶点式为
∵上沿抛物线过点，代入顶点式得
解得
上沿抛物线的表达式为；
（2）∵上沿抛物线的顶点比点高，
∴点纵坐标为，点的坐标为，
设下沿抛物线的顶点式为，
∵下沿抛物线过点，代入顶点式得：
，
解得，
下沿抛物线的表达式为，
∵，
∴
当时，
解得，或，代入下沿抛物线表达式得
故点的坐标为或．
24.如图1，是的直径，点在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）连结交于，连结，求证：平分；
（3）如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长．
解：（1）∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（3）连结，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由，
∴，即，
∴，
则．
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
甲
4
1.8
乙
4
2
实验次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
1
1
2
2
2
3
1
3
2
1
乙
1
2
2
3
3
3
2
1
2
1