2025_2026学年河北省石家庄市第十三中学七年级下学期第一次月考数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年河北省石家庄市第十三中学七年级下学期第一次月考数学检测试卷 [含解析]，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
2．能作为命题“如果，则”是假命题的反例的是（ ）
A．B．C．D．
3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
4．如图所示，，于，则下列结论中错误的为（ ）
A．B．点到的垂线段是线段
C．点到的距离是线段D．线段的长度是点到的距离
5．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ）
A．平板弹墨线B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直D．测量跳远成绩
6．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，下列说法中一定正确的是（ ）
A．和是同位角B．的同旁内角只有
C．D．的同位角只有
8．方程组的解为，则被遮盖和的两个数分别为（ ）
A．9，B．9，1C．7，D．5，1
9．如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（ ）

A．B．C．D．
12．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度．
A．B．C．D．
二、填空题
13．某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二次向右拐弯，如图．经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向_______（填“平行”或“不平行”）．
14．已知方程组的解满足，则=______．
15．如图，在直角三角形中，，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则图中阴影部分的面积为________．
16．已知方程组的解为，则方程组的解为__________．
三、解答题
17．解方程组：
（1）
（2）
18．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与相交于点，求：的度数．（完成下列填空）
证明：（已知）
且（对顶角相等）
（等量代换）
∴___________（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
___________，（等量代换）
（___________）
___________（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
．
19．综合与运用
已知关于，的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求，的值；
（3）小明同学说，无论取何值，（1）中的解都是关于，的方程的解，这句话对吗？请你说明理由．
20．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点的位置如下图所示．现将平移，使点A的对应点为D，点B，C的对应点分别是E，F．
（1）请画出平移后的；
（2）过点C作的平行线；
（3）连接，则这两条线段之间的关系是______________．
21．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；
该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
22．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点E，，求的度数．
23．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元．
（1）该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值．
（2）该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案．
24．在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【初步体验】
（1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____．
【基础巩固】
（2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由．
【强化应用】
（3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果．
【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、是二元一次方程组，故本选项符合题意．
C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选B．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查举反例，判断命题的真假．熟练掌握举反例的方法是解题的关键．找出满足，但不满足即可．
【详解】解：“若，则”是假命题，
可以举一个反例为．因为满足，但不满足．
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可．
【详解】解：要消去可以将①②，故选项A不合题意，C合题意；
要消去，可以将①②，故选项B、D不合题意．
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段，垂直，
根据垂直的定义判断A，再根据垂线段的定义解答B，然后根据点到直线的距离判断C，D．
【详解】解：因为，则，所以A正确；
因为点C到的垂线段是线段，所以B正确；
因为点A到的距离是线段的长度，所以C不正确；
因为线段的长度是点C到的距离，所以D正确．
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”．
依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释．
【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合；
C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合．
故选D．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱可列方程为，根据乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱可列方程为，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为，
故选B．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念，同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角位于两直线的中间，截线的两侧；同旁内角位于两直线的中间，截线的同旁．根据同位角、内错角、同旁内角的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、和是同位角，正确，符合题意；
B、的同旁内角有，等，故原说法错误，不符合题意；
C、不一定等于，故原说法错误，不符合题意；
D、的同位角有，，故原说法错误，不符合题意；
故选A．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．
把代入求出值，将，代入即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
将代入得：，
将，代入得：，
∴，．
故选C．
9．【正确答案】C
【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出．
【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，
∴，
∵为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
故选C．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知等式列方程组，求出、的值，再计算求值即可．
【详解】解：，且，
，解得：，
，
，
故选B
11．【正确答案】B
【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作，由题意，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
12．【正确答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案．
【详解】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
故选A．
13．【正确答案】平行
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的性质是解题的关键，根据图形可知两次拐弯得到的角为同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题．
【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向平行．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，观察方程组，可知，继而可得关于的方程，解方程即可．
【详解】，
，得，
由，
得，
解得.
15．【正确答案】90
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出，再根据阴影部分的面积即为长方形的面积求解即可．
【详解】解：∵三角形是三角形沿着与垂直的方向向上平移，
∴，
∴图中阴影部分的面积即为长方形的面积.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出．
【详解】解：变形为，
∵方程组的解为，
∴，
∴．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的消元思想是解题的关键．
（1）把①代入②得：，将y的值代入①即可求出x的值；
（2）可消去y求出x的值，将x的值代入①即可求出y的值．
【详解】（1）解：
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
∴，
∴原方程组的解为．
18．【正确答案】；；内错角相等，两直线平行；
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．根据同位角相等两直线平行，可证，进而利用平行线的性质和判定证明．
【详解】解：证明：（已知）
且（对顶角相等）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
∴，（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
．
19．【正确答案】（1）
（2），的值分别为6，4
（3）对，理由见详解
【分析】本题考查了同解方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）联立，利用加减消元法解方程组即可；
（2）将代入含有，的方程得到方程组再求解即可；
（3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得：，
这个相同的解为；
（2）将代入含有，的方程得：
，
解得：，
，的值分别为6，4；
（3）对，将代入中，得：
，
，
无论取何值，都是方程的解．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）平行且相等
【分析】本题考查作图—平移变换，平移的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可；
（2）根据网格的特点作平行线即可；
（3）根据平移的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，即为所求作的平行线；
（3）解：根据平移性质，这两条线段之间的关系是平行且相等.
21．【正确答案】（1）的值为80，的值为60
（2）该商场可获利元
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用以及有理数四则运算的实际应用．
（1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值；
（2）根据购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，列出二元一次方程，根据为正整数，求出的值，再列式计算即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
答：的值为80，的值为60；
（2）解：根据题意得，即，
∴（元）
答：该商场可获利元．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用．
（1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论；
（2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1）a的值是10，b的值是14
（2）有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个
（3）再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，
购买“妮妮”造型钥匙扣挂件20个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
（3）利用总利润每个的销售数量购进数量，可求出各方案可获得的总利润，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，利用进货总价进货单价进货数量，求出最大利润，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各x，y的值，再取的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：．
答：a的值为10，b的值为14；
（2）解：根据题意得： ，
解得：，
∴可以取58，59，60，，41，40，
∴有3种购买方案．
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个；
（3）解：购买方案1可获得的总利润为（元；
购买方案2可获得的总利润为（元；
购买方案3可获得的总利润为（元；
设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，
∴当获得的总利润为320元时，，
，
又，y均为正整数，
或或或，
此时的最小值为．
再次购进两种钥匙扣挂件最小的方案为：购进“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，“妮妮”造型钥匙扣挂件20个．
24．【正确答案】（1）40；（2），理由见详解（3），理由见详解
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，有关三角板的角度计算．
（1）由平行线的性质求得，根据平角的性质列式计算即可求解；
（2）过点作，利用平行线的性质即可求解；
（3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴.
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
类型
进价
售价
A款
m元
120元
B款
n元
90元