河北博野中学2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份河北博野中学2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在平行四边形中，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.
【详解】画出图像如下图所示.
对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.
对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.
对于C选项，由于，故结论错误.
对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.
故选：C.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】.
，
因为，所以，
因为，所以，所以.
3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】D
【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小.
【详解】在中，因为，，，且，故，
由正弦定理可得，
又因，故或.
故选：D.
4. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
【正确答案】B
【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B
5. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】C
【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果.
【详解】
由，得，
则，
又，，
则，
又共线，因此，即.
故选：C
6. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论.
【详解】因为是夹角为的两个单位向量，
所以，，
设为夹角，
，
故选：A.
7. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值.
【详解】以线段中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
设点，则，，，
所以，，
则，
当且仅当，时，取最小值.
故选：B.
8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，可得，且，
所以，由余弦定理可得，
又因为，所以，
因为为锐角三角形，则满足，可得，
由正弦定理得，
又因为，所以，可得，可得.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则值为2
B. 当时，求与夹角为
C. 若在方向上的投影向量的模为，则或
D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是
【正确答案】BC
【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量垂直的坐标运算求解判断B，根据投影向量的坐标公式列式求解判断C，根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D.
【详解】对于A，向量，且，所以，则，故A错误；
对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确；
对于C，由已知在方向上的投影向量的模为，
所以，解得或，故C正确；
对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线，
所以且，故D错误.
故选：BC
10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形或直角三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则的取值范围是
D. 若，则为锐角三角形
【正确答案】ABC
【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项.
【详解】对于A，若，则由余弦定理得，
即，，
所以，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确；
对于B，在锐角中，，故且，
故，所以不等式恒成立，故B正确；
对于C，若，且有两解，
则，故，即，故C正确；
对于D，若，则，
即，由正弦定理得，所以角为锐角，
但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ）
A.
B.
C. 是函数的一条对称轴
D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
【正确答案】ABD
【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解.
【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确；
B，由，可得，可得，
解得，因为，所以，所以B正确；
C，由，令，可得，
令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误；
D，将函数的图象向左平移个单位，
可得，所以D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________.
【正确答案】4
【分析】由求得，计算即可得出的结果.
【详解】∵向量在向量上的投影向量为，
∴，
∴，，则，
∴.
故4
13. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________
【正确答案】
【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围.
【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
则，，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围是.
14. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______；
【正确答案】
【分析】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案.
【详解】在中，，，则，
其中
，
由正弦定理，得，
在中，，，则，
又，则，
又，
在中，由余弦定理，得
，
所以.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量
（1）若 求A；
（2）若 求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.
（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为所以①.
又由正弦定理，即，代入①式，
可得，整理得，
又，所以，解得.
【小问2详解】
因为，所以，
即，又，所以.
因为，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
故.
16. 已知在中，为中点，，，.

（1）若，求；
（2）设和的夹角为，若，求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）点为线段的中点
【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；
（2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立；
（3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
因为，则，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
【小问2详解】
因为为的中点，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
又因为、均为非零向量，故，即.
【小问3详解】
因为点在线段上一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点为线段的中点.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）求角A；
（2）若D是线段的中点，且，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A；
（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；
（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.
【小问1详解】
由正弦定理可知，
∴，
∴，
又，，
∴，
∵，∴，
∵，∴．
【小问2详解】
由（1）及余弦定理得，即，①
又因为，则，
则，
即，
所以，②
由得，
所以．
【小问3详解】
由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以
．
因为△ABC为锐角三角形，所以，，
即，，
则，即，
则，
故△ABC的周长的取值范围为．
18. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数.
（1）求函数的解析式;
（2）若是函数的一个零点，求的值；
（3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题意，求得，得到，再由三角函数的图象变换，结合三角函数的性质，求得，得到，即可求得的解析式；
（2）根据题意，转化为，得到，再由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，化简得到，代入即可求解；
（3）令，根据题意，利用正弦函数的性质，转化为方程在上有2个不相等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，
可得函数的最小正周期为，所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
因为为偶函数，可得，所以，
因为，所以，所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：因为是函数 的一个零点，
即，可得，
由（1）知，所以，即，
又由，
因为，所以.
【小问3详解】
解：由（1）知，因为，可得，
令，当时，有两个解；当或时，有一个解，
若方程在上有4个不相等的实数根，
即为关于的方程在上有2个不相等的实数根，
设，则满足，
解得，所以实数的取值范围为.
19. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且
（1）求的值；
（2）求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）应用正余弦定理的边角关系及向量数量积的定义，结合已知可得，再由三角形的面积公式列方程求各边长；
（2）根据是上的点，结合（1）得到，，进而得，最后应用基本不等式的“1”的代换求目标式的最小值.
【小问1详解】
由，则，
所以，故，则，故，
由，则，
综上，；
【小问2详解】
由，且是上的点，
所以，且，
所以，则，
当且仅当，且，即时取等号，
所以的最小值.