河北省保定市博野县2025届高三下学期3月质量检测数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市博野县2025届高三下学期3月质量检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C.
2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以.
故选：B.
3. 已知向量，，，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】由，，，得，，
又，所以，解得.
故选：A.
4. 已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）
A. 1B. C. D. 1或
【答案】A
【解析】因为双曲线的焦点在x轴上，所以，即.
又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，即，解得或（舍）.
故选：A.
5. 已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到，
所以，所以，
则再经过时间时，该物质的能量为.
故选：C.
6. 已知函数，若方程在上恰有6个实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，
令，得，当时，，
令，要想在上恰有6个实数解，则，
解得，即m的取值范围是.
故选：D.
7. 将编号为4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，共有种放法，
4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有种放法，
所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是.
故选：C.
8. 如图，已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线与E交于点M，N两点，垂直平分，若，则的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为垂直平分，所以，，且平分，
所以，所以.
由椭圆的定义知，
在中，，
所以，解得.
由椭圆的定义得，
在中，由余弦定理得，
即，化简得，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某农业研究所为了解种植新品种玉米的亩产量情况，从某地区随机抽查100亩种植新品种玉米的亩产量（单位：kg），整理出如下统计表：
已知这100亩的亩产量均在内，根据表中数据，下列结论正确的是（ ）
A. 这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差介于400kg至600kg之间
B. 这100亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kg
C. 估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg的占比为
D. 估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均值介于1150kg至1200kg之间
【答案】AC
【解析】由表中数据可知，这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差小于等于，大于，故A正确；
由表可知，，所以亩产量的中位数小于1100kg，故B错误；
估计该地区种植新品种玉米亩的产量不低于1000kg的占比为，故C正确；
根据表中数据，亩产量在的有，
估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均数，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，有两个极值点B. ，使得为单调函数
C. 当时，D. ，的图象恒有对称中心
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为R，求导得，
对于A，当时，，方程有两个不等实根，有两个极值点，A正确；
对于B，当时，，函数为增函数，B正确；
对于C，当时，令，解得或，
函数在上单调递增，又，因此，C错误；
对于D，，因此的图象恒关于点对称，D正确.
故选：ABD
11. 在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若正四棱台内部存在一个与棱台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为
B. 若正四棱台的各顶点均在一个半径为的球面上，则该棱台的体积为
C. 若正四棱台的侧棱长为，Q为的中点，过直线且与直线平行的平面将棱台分割成体积不等的两部分，则其中较小的部分的体积为12
D. 若，点P在四边形ABCD内，，则动点P的轨迹长度为
【答案】AC
【解析】对于A，如图（1），设H，G，I，K分别为棱，，AD，BC的中点，则，，
当正四棱台内部存在内切球时，球的大圆O为等腰梯形HGIK的内切圆，
根据切线长定理，可知即正四棱台侧面的高，
则侧棱长为，A正确；
对于B，当正四棱台的外接球半径为时，其上,下底面均为球的截面圆对应的内接正方形，
截面圆的半径分别为，，
因为，，故截面圆均为外接球的小圆，
设O为外接球球心，，为截面圆的圆心，则为正四棱台的高，
如图（2），此时截面圆,在球心同侧，如图（3），此时截面圆,在球心两侧，
因此符合要求的是2个体积不同的棱台，故B错误；
对于C，当侧棱长为时，正四棱台的高为，
根据条件可作出符合题意的截面，如图（4）所示，
截面下方的多面体体积，
根据截面性质，可以得出S，T，Z分别为棱AB,AD,的中点，且，
故，
同理可得，所以，
因正四棱台体积为，
故截面上方多面体的体积为12，故其中较小部分的体积为12，C正确；
对于D，过作平面ABCD，垂足为M，
由题知，若，则，
由勾股定理得，
故点P的轨迹为以M为圆心，以为半径的圆在正方形ABCD内部部分，
如图（5），其中，故，又，
由勾股定理得，
由于，所以，故，
故动点P的轨迹长度是，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若展开式中的常数项为，则实数______.
【答案】1
【解析】由二项式展开式的通项为，
令，可得，
代入通项公式可得，解得.
故答案为：1.
13. 已知，，则________.
【答案】
【解析】由，得，，
则.
故答案为：
14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为________.
【答案】
【解析】由余弦定理知，所以，
即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以.
设的面积为S，所以，
令，可得，
当且仅当时，上式等号成立，
即有，解得或（舍去），
则，所以，
故面积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知各项均为正数的等比数列满足，，数列为等差数列，满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）若数列和中相同的项由小到大排列组成新数列，求数列的前n项和.
解：（1）设各项均为正数的等比数列的公比为，由，得，
解得或（舍去），所以.
设等差数列的公差为，由，得，解得，
则，所以，
所以与的通项公式分别为，.
（2）设数列的第m项与数列的第k项相同，即，m，，
则.
要使成立，只需m为偶数，
因此数列和中相同的项从小到大依次为，，，，，
即是首项为9，公比为的等比数列，所以，
.
16. 某体育研究所为了解居民对2024年巴黎奥运会的关注程度，现随机抽取了200名居民，统计了他们观看奥运会的累计时长（单位：小时）如下表：
（1）将观看奥运会的累计时长为20小时及20小时以上的称为“较为关注奥运赛事”，其余的称为“不太关注奥运赛事”，请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与关注赛事程度有关联；
（2）将观看奥运会的累计时长为60小时及60小时以上的称为“奥运迷”，为进一步了解他们的体育爱好，从样本中的8名“奥运迷”中，随机抽取4人进行调研，记抽出的4人中女性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
解：（1）列联表为
零假设为：性别与关注赛事程度无关联，，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，故不能认为性别与关注赛事程度有关联.
（2）X的取值可能为0，1，2，3，
则，，
，，
所以X的分布列为
.
17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且.
（1）求证：；
（2）若平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，求点A到平面DBE的距离.
（1）证明：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以.
又四边形ABCD为矩形，所以.
又，PD，平面PCD，所以平面PCD.
又平面PCD，所以.
∵，点E是PC的中点，所以.
又，PC，平面PBC，所以平面PBC.
又平面PBC，所以.
又，，DE，平面DEF，所以平面DEF，
又平面DEF，所以.
（2）解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，，，，.
∵点E是棱PC的中点，所以.
由平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量；
由（1）知，平面DEF，所以是平面DEF的一个法向量.
因为平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，
所以，解得或（舍）.
设平面BDE的一个法向量，又，，
所以，即，令，解得，，
所以平面BDE的一个法向量.
又，
所以点到平面DBE的距离.
18. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象在点处的切线方程为.
（i）求最小值；
（ii）若关于x的方程有两个根，，证明：.
解：（1）因为，则，
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）（i）函数的定义域为，
则，则，
因为函数的图象在的切线方程为，
所以，则，
所以，
因为，所以，令，则，
令，则，，
所以，使，即，则，
又，所以在上单调递增，
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为.
（ii）由题意可知，，
即方程有两个根，，
令，，则，所以，
设，由（1）知，在上单调递增，又，
所以，则，
由，得，，
所以，
要证，需证，即证，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
则在上单调递减，所以，
因此成立，故，得证.
19. 已知抛物线，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为k（k为常数）的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方）；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；…；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在轴的上方），直线和相交于点.
（1）若，求；
（2）证明：点，，，…，在一条直线上；
（3）记线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，…，线段的中点为，求（用k，n表示）.
（1）解：由题知，直线的方程为，
联立消去y，得，
则由抛物线定义知.
（2）证明：设，且i为整数，
，，，，
直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，得
消去x后整理，得，所以，，
同理可得，.
所以直线的斜率为，
直线的方程为，
又，则，
整理得.
同理可得，直线的方程为，
联立直线和直线的方程消去，得，
整理得，代入，，
得，
即，
又，所以，即点纵坐标为，
所以点，，，…，在同一条直线上，得证.
（3）解：由（2）知，即线段的中点的纵坐标为，
同理可知，线段的中点的纵坐标为，
故点，，，…，和点，，，…，都在直线上.
因为，轴，所以.
因为，所以，，
有，，，
所以.
由（2）知，
同理可得，.
故有
，
故.亩产量
频数
10
20
20
15
5
累计时长
男性居民
5
15
30
20
15
10
5
女性居民
10
30
25
15
10
7
3
合计
15
45
55
35
25
17
8
性别
关注赛事程度
合计
不太关注奥运赛事
较为关注奥运赛事
男性居民
女性居民
合计
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
关注赛事程度
合计
不太关注奥运赛事
较为关注奥运赛事
男性居民
20
80
100
女性居民
40
60
100
合计
60
140
200
X
0
1
2
3