河北省保定市四县2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市四县2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合 A=x∣22x+1≤132，B=x∣y=1-x+1，则A∩B=（ ）
A．{x|-3≤x≤1}B．{x|x≤1} C．{x|x≤-3}D．{x|-1≤x≤3}
【答案】C
【解析】因为集合A＝x|22x+1≤132=2-5=x|x≤-3，B=x|y=1-x+1=x|x≤1，
所以A∩B=x|x≤-3.
故选：C.
2．已知z=z-2，z为虚数，则z⋅z的值可能为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】A
【解析】设z=a+bi且b≠0，由z=z-2得a2+b2=a-22+b2，解得a=1，
所以z=1+bi,z=1-bi，所以z⋅z=1+bi1-bi=1+b2>1，
故A正确，B错误，C错误，D错误.
故选：A.
3．沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23，则这些细沙的体积为（ ）
A．83πcm3B．163πcm3C．8πcm3D．323πcm3
【答案】B
【解析】由题意可知：这些细沙的体积为827×13×6×π×32=163πcm3.
故选：B.
4．一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.5B．6C．4.5D．3
【答案】A
【解析】这组数据的中位数为6+a2，由6×60%=3.6，得这组数据的第60百分位数为a，
因此6+a2=a，解得a=6，所以这组数据的平均数为2+4+6+6+13+146=7.5.
故选：A.
5．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，S6-S3=24，则S12-S9=（ ）
A．36B．48C．60D．120
【答案】B
【解析】由等差数列片段和的性质，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差数列，
故S9-S6=2(S6-S3)-S3=36，则S12-S9=2(S9-S6)-(S6-S3)=48.
故选：B.
6．设函数f(x)=2tanωx-π6(ω>0)的图象的一个对称中心为π6,0，则fx的一个最小正周期是（ ）
A．π2B．π13C．2π13D．2π7
【答案】B
【解析】根据题意得π6ω-π6=kπ2，k∈Z，则ω=3k+1，
又ω>0，则T=πω=πω=π3k+1，k∈Z，
对于A，若π2是fx的最小正周期，则π3k+1=π2，得k=13，与k∈Z矛盾，故A错误；
对于B，由π3k+1=π13得k=4，满足条件，故B正确；
对于C，由π3k+1=2π13得k=116，与k∈Z矛盾，故C错误；
对于D，由π3k+1=2π7得k=56，与k∈Z矛盾，故D错误.
故选：B.
7．已知圆C：(x+1)2+y2=r2（r>0），直线l：3x+4y-2=0.若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则r的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【解析】圆C的圆心为-1,0,则圆心C到直线l的距离d=3×-1-232+42=1.
又圆C上恰有三个点到直线l的距离为1.
所以圆心为-1,0到直线l的距离为d=r2,即d=r2=1
所以r=2
故选：A.
8．已知98t=108，a=92t-102，b=99t-109，则a，b的大小关系是（ ）
A．b>a>0B．0>b>aC．a>0>bD．b>0>a
【答案】D
【解析】因为98t=108，所以t=lg98108，
所以要比较a=92lg98108-102与0的大小关系，只需比较lg98108,lg92102的大小关系，
同理要比较a,b,0的大小关系只需比较lg92102=ln102ln92,lg99109=ln109ln99,lg98108=ln108ln98的大小关系，
我们构造函数fx=lnxlnx-10,x>10，
则f'x=lnx-10x-lnxx-10ln2x-10lg99109=ln109ln99=f109，
所以a=92lg98108-102a.
故选：D.
二、多选题
9．已知平面向量a⃗=-1,-2,b⃗=1,-3．a与b的夹角为θ，则（ ）
A．a//bB．a⊥a-b
C．θ=45°D．b在a上的投影向量为12,-32
【答案】BC
【解析】对于A，因为-11≠-2-3，即不存在实数λ使a=λb，所以a与b不共线，故A不正确；
对于B，a→-b→=-1,-2-1,-3=-2,1，a→⋅a→-b→=-1×-2+-2×1=0，所以a⊥a-b，故B正确；
对于C，因为csθ=a⋅ba⋅b=-1×1+-2×-35×10=22，θ∈0,π，所以θ=π4.故C正确；
对于D，b在a上的投影向量为a⋅ba2⋅a=-1×1+-2×-35-1,-2=-1,-2.故D不正确.
故选：BC.
10．已知抛物线C :y2=2pxp>0的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线l与C交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，分别记C在点A，B处的切线为l1,l2，P=l1∩l2，则下列说法正确的是（ ）
A．C准线方程为x=-1B．x1x2=4
C．PFmin=4D．若 x1+x2=6．则AB=10
【答案】BCD
【解析】抛物线y2=2pxp>0中，焦点到准线的距离为p=4，故抛物线方程为y2=8x，
焦点F2,0，准线x=-2.
选项A：准线方程为x=-p2=-2，故A错；
选项B：设直线l的方程为：x=my+2，联立抛物线得：
x=my+2y2=8x⇒y2-8my-16=0⇒y1y2=-16，
则x1x2=y128⋅y228=-16282=4，故B对.
选项C：抛物线方程为y2=8x，设过Ax1,y1的切线斜率为k，则切线方程为：
y-y1=kx-x1，联立抛物线方程得：kx-x1+y12=8x，
即k2x2+2k(y1-kx1)-4x+y1-kx12=0，
因为Ax1,y1为切点，方程有唯一解，
所以Δ=4ky1-kx1-42-4⋅k2⋅y1-kx12=0，结合y12=8x1，化简得k=4y1.
所以y-y1=4y1x-x1⇒y1y-y12=4x-4x1⇒y1y-8x1=4x-4x1⇒y1y=4(x+x1)，
同理，yy2=4x+x2.
联立抛物线在A、B处切线方程：yy1=4x+x1yy2=4x+x2⇒x=y1y28，
故点P的坐标为y1y28,y1+y22，由B知，y1y2=-16，故点P-2,y1+y22.
所以PF=-2-22+y1+y22-02=16+y1+y222≥4，
最小值在y1+y2=0时取得，此时PFmin=4，故C对.
选项D：根据抛物线焦点弦长公式：AB=x1+x2+p=6+4=10，故D对.
故选：BCD.
11．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=10,25≤a≤5,bcsAcsC+ccsAcsB=255a，下列选项正确的是（ ）
A．sinA=55B．sinA=sinC可能成立
C．△ABC可能是等腰三角形D．△ABC面积的最大值为20
【答案】AC
【解析】由正弦定理可得sinBcsAcsC+sinCcsAcsB=255sinA,
即csAsinBcsC+sinCcsB=255sinA，即csAsinB+C=255sinA，
即sinAcsA=255sinA，且sinA≠0，所以csA=255，
且A∈0,π，所以sinA=1-2552=55，故A正确；
假设sinA=sinC，则a=c，又b=10,25≤a≤5，则a+c=2a≤10，
不满足三角形两边之和大于第三边，故sinA=sinC不可能成立，故B错误；
假设b=c=10，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccsA，
代入可得a2=100+100-2×10×10×255=200-805，
又25≤a≤5，即20≤a2≤25，
则200-805≤25⇔175≤805⇔75≤16⇔245≤256成立，所以a≤5成立，
200-805≥20⇔180≥805⇔9≥45⇔81≥80成立，所以a≥25成立，
故C正确；
由三角形的面积公式S=12bcsinA=12×10c×55=5c，
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccsA，
即a2=100+c2-85c，且25≤a≤5，20≤a2≤25，
所以100+c2-85c≤25100+c2-85c≥20，化简可得c-35c-55≤0c-452≥0，解得35≤c≤55，
所以c=55时，三角形的面积最大，最大值为S=5c=5×55=25，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
12．已知函数fx=xex+a+2在点0,f0处的切线与直线x-3y=0垂直，则a= ．
【答案】-4
【解析】由题意有f'x=ex+a+xex=x+1ex+a，所以f'0=1+a，
由函数fx在点0,f0处的切线与直线x-3y=0垂直，
所以f'0=1+a=-3，所以a=-4.
故答案为：-4.
13．已知α,β∈0,π2，且满足sinαtanβ=1-csα,sinα-β=13，则csα= ．
【答案】79
【解析】法一：由sinαtanβ=1-csα，则sinαsinβ=csβ-csαcsβ，
因此csαcsβ+sinαsinβ=csα-β=csβ，
又因为α,β∈0,π2,α-β∈-π2,π2，
所以α-β=β，所以α=2β，
则sinα-β=sinβ=13,csα=cs2β=1-2sin2β=79．
法二：由sinαtanβ=1-csα，则tanβ=1-csαsinα=tanα2，
结合β∈0,π2,α2∈0,π4,则α2=β,α=2β，
则sinα-β=sinβ=13,csα=cs2β=1-2sin2β=79．
故答案为：79.
14．一个项数为6的正整数数列an满足a1=3，且ak+1≥ak1≤k≤5,k∈N，若a6为不大于 10的偶数，则符合条件的数列an共有 个.
【答案】496
【解析】由题意，a1=3,且ak+1≥ak1≤k≤5,k∈N，
当a6=4时，a1=3，则a2,a3,a4,a5可以取3或4，且逐项不减小，
此时满足条件的数列an的个数有5个；
当a6=6，a1=3，则a2,a3,a4,a5可以取3或4或5或6，且逐项不减小，
此时满足条件的数列an的个数有C44+C43×3+C42×3+C41=35个；
当a6=8，a1=3，则a2,a3,a4,a5可以取3或4或5或6或7或8，且逐项不减小，
此时满足条件的数列an的个数有C64+C63×3+C62×3+C61=126个；
当a6=10，a1=3，则a2,a3,a4,a5可以取3或4或5或6或7或8或9或10，
且逐项不减小，此时满足条件的数列an的个数有C84+C83×3+C82×3+C81=330个；
综上，满足条件的数列an共有5+35+126+330=496.
故答案为：496.
四、解答题
15．为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下2×2列联表.
（1）请根据2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；
（2）利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
附：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
解：（1）零假设为H0：性别与感冒情况不具有相关性.
根据列联表中的数据，
得χ2=100×30×10-45×15275×25×45×55=10033≈3.0300，
得m20，
所以gx在R上单调递增.
（2）解：因为gx=ex-ax2+1，所以g'x=ex-2ax，
设Fx=g'x-hx=ex-2ax-2x-csx,x≥0，
则F'x=ex-2a-2+sinx,x≥0，
令nx=ex-2a-2+sinxx≥0，则n'x=ex+csx≥1+csx≥0，
所以nx在区间0,+∞上单调递增，即F'x在区间0,+∞为增函数，
故F'x≥F'0=1-2a-2=-2a-1，
当a≤-12时，F'x≥F'0=-2a-1≥0，此时Fx在区间0,+∞单调递增，
故Fx≥F0≥0 ，符合题意；
当a>-12时，F'0=-2a-1