河北省保定市2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市2025届高三第二次模拟考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知x，y是非零实数，则y2x2+9x2y2的最小值为（ ）
A．6B．12C．2D．4
【答案】A
【解析】y2x2+9x2y2≥2y2x2×9x2y2=6，
当且仅当y2x2=9x2y2，
即y=3x>0，等号成立，
所以y2x2+9x2y2的最小值为6，
故选：A
2．若cs2α=sin2α，则sinα=（ ）
A．33B．±33C．255D．±255
【答案】B
【解析】因为cs2α=sin2α，所以1-2sin2α=sin2α，解得sinα=±33.
故选：B
3．若非零复数z满足(2-i)z=|z|2，则z=（ ）
A．1-2iB．1+2iC．2-iD．2+i
【答案】C
【解析】由题意(2-i)z=|z|2=z⋅z，因为z≠0，所以z=2-i.
故选：C.
4．现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ）
A．1B．6C．5或6D．1或6
【答案】C
【解析】将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，
则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6.
故选：C.
5．若函数f(x)=2x-m在[1,2]上单调，则m的取值范围是（ ）
A．(0,2]B．[4,+∞)
C．(-∞,2]∪[4,+∞)D．(0,2]∪[4,+∞)
【答案】C
【解析】当x∈[1,2]时，根据指数函数y=2x在R上单调递增，可知2x∈[2,4].
当m∈-∞,2时，2x-m≥0，所以f(x)=2x-m=2x-m，f(x)在[1,2]上单调递增；
当m∈2,4时，f(x)=2x-m=m-2x,x∈1,lg2m2x-m,x∈lg2m,2，f(x)在[1,2]上不单调；
当m∈4,+∞时，2x-m≤0，所以f(x)=2x-m=m-2x，f(x)在[1,2]上单调递减.
综上，m∈-∞,2∪4,+∞.
故选：C.
6．已知集合A={(x,y)∣y=(x-1)(x-5)},B=(x,y)∣y2=4x，则A∩B的真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．15
【答案】D
【解析】因为y=(x-1)(x-5)的对称轴为x=3，顶点为N3,-4，且过点M1,0,P5,0,
当x=3时，y2=4x上的点为3,±23，
作y=(x-1)(x-5)，y2=4x的图象，如图，
由图可知，y=(x-1)(x-5)的图象与抛物线y2=4x有4个不同的交点，
则A∩B有4个元素，从而A∩B的真子集的个数为24-1=15.
故选：D
7．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π-3×π3=π．若正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为（ ）
A．π2B．πC．3π4D．2π3
【答案】D
【解析】如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接SO，则SO⊥平面ABCD，
取BC的中点M，连接OM，SM，

则由正四棱锥的结构特征可知OM⊥BC,SM⊥BC，
所以∠SMO为侧面与底面所成的角，
设AB=BC=a，则OM=a2，
在Rt△SOM中，tan∠SMO=SOOM=2，
所以SO=2OM=22a，又OB=22a，所以SB=SO2+OB2=a，
所以正四棱锥S-ABCD的每个侧面均为正三角形，
所以顶点S的每个面角均为π3，
故正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为2π-4×π3=2π3.
故选：D.
8．若(x-1)nn∈N*的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x+1)8(x-1)n的展开式中x11的系数为（ ）
A．-56B．56C．-70D．70
【答案】A
【解析】(x-1)n的展开式各项系数的绝对值之和等于(x+1)n的展开式各项系数之和，
则1+1n=512，得n=9，则x+18x-1n=x2-18x-1，
因为x2-18的展开式中没有x11的项，
所以x+18x-1n的展开式中x11的系数为x2-18的展开式中x10的系数，
即C83-13=-56.
故选：A
二、多选题
9．若函数f(x)=lg1x+lg2x2，则（ ）
A．f(x)为减函数B．f(x)=1⇔x=5
C．f(x)的值域为RD．f(x)A1B1，所以∠A1B1B>∠A1BB1，即∠A1B1B+∠B1BC>∠A1BB1+∠B1BC，
因为∠A1B1B+∠B1BC=∠BB1C1+∠B1BC=π，所以π>∠A1BB1+∠B1BC，
即线段A1C与线段BB1有交点.
cs∠A1BB1=（32）2+（10）2-422×32×10=15，可得sin∠A1BB1=25，
而cs∠B1BC=cs(π-∠A1B1B)=-110，可得sin∠B1BC=310，
所以cs∠A1BC=cs(∠A1BB1+∠B1BC)=15×(-110)-25×310=-752,
由余弦定理可得A1C=（32）2+22-2×2×32×（-752）=9705米，
则所需灯带的长度的最小值为9705米.
故答案为：9705
四、解答题
15．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25，离心率为5．
（1）求C的方程；
（2）若A是C的左顶点，直线l:y=3x-3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．
解：（1）依题意，双曲线C的半焦距c=5，由离心率e=ca=5，解得a=1，b2=c2-a2=4，
所以双曲线C的方程为x2-y24=1.
（2）由（1）知双曲线C的左顶点A(-1,0)，点A到直线l:3x-y-3=0的距离d=610，
由y=3x-34x2-y2=4消去y得5x2-18x+13=0，解得x1=1，x2=135，
则PQ=1+32|x1-x2|=8105，所以△APQ的面积S△APQ=12|PQ|⋅d=245.
16．如图，在直五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，四边形BCDE为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=2,AA1=BC．

（1）求该五棱柱的体积．
（2）证明：平面ABC1⊥平面BDD1B1．
（3）求直线B1D与平面A1BE1所成角的正弦值．
（1）解：因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=2，所以AB⊥AE，且BE=2，
因为四边形BCDE为正方形，所以AA1=BC=BE=2
在直五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，AA1⊥底面ABCDE，
所以该五棱柱的体积V=12×2×2+2×2×2=10；
（2）证明：在直五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，BB1⊥底面ABCDE，
因为AB⊂底面ABCDE，则BB1⊥AB，
因为∠ABD=∠ABE+∠EBD=π4×2=π2，所以AB⊥BD，
因为BB1∩BD=B且BB1,BD⊂平面BDD1B1，所以AB⊥平面BDD1B1，
又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BDD1B1
（3）解：由题意可得EB，ED，EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B2,0,0,B12,0,2,D0,2,0,E10,0,2,A11,-1,2，
BA1=-1,-1,2，A1E1=-1,1,0，B1D=-2,2,-2，
设平面A1BE1的法向量为m=x,y,z，则m·BA1=m·A1E1=0，
即 -x-y+2z=0-x+y=0，取x=1，则m=1,1,1
csm,B1D=m·B1DmB1D=-23×23=13，
故直线B1D与平面A1BE1所成角的正弦值为13.

17．某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠8%的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠6%的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠5%的价格成交的概率为0.3．
（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率．
（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．
（3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．
解：（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，
若甲以每箱优惠8%的价格成交，则成交的金额为500×(1-8%)×200=9.2万元;
若甲以每箱优惠6%的价格成交，则成交的金额为500×(1-6%)×200=9.4万元;
若甲以每箱优惠5%的价格成交，则成交的金额为500×(1-5%)×200=9.5万元
故甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率为0.3+0.4=0.7；
（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，
若乙选择方案一，则成交的金额为500×400-400-200100×12×500=18.8万元
若乙选择方案二，设成交的金额为X万元，则PX=500×(1-8%)×400104=PX=18.4=0.3，
PX=500×(1-6%)×400104=PX=18.8=0.4
PX=500×(1-5%)×400104=PX=19=0.3
所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74万元
因为18.740的两个实根，证明：an+2=ban+1+can．
（2）若数列an满足an+2=ban+1+canbc≠0,b2+4c>0,an+2=ban+1+can对应的一元二次方程为x2=bx+c，该方程有两个实数根α,β，则an=A⋅αn+B⋅βn，其中A,B均为常数．已知数列an满足an+2=7an+1+8an，且a1=7,a2=65．
①求an的通项公式；
②若数列dn满足n(n+1)dn+2=7n(n+2)dn+1+8(n+1)(n+2)dn，且d1=7,d2=130，求dn的前n项和Sn．
（1）证明：因为α,β是方程x2=bx+c，即x2-bx-c=0的两个实根，
所以α+β=b,αβ=-c，
则ban+1+can=α+βAαn+1+Bβn+1-αβAαn+Bβn
=Aαn+2+Bβn+2=an+2，
得证；
（2）①解:由题意知an+2=7an+1+8an的一元二次方程为x2=7x+8，
解得x1=8,x2=-1，
根据题意，不妨取α=8,β=-1，
设an=A⋅8n+B⋅-1n，
因为a1=7,a2=65，
所以8A-B=7，64A+B=65，
解得A=1，B=1.
故an=8n+-1n，
②解:由n(n+1)dn+2=7n(n+2)dn+1+8(n+1)(n+2)dn，
得dn+2n+2=7dn+1n+1+8dnn，
因为d11=7，d22=65，
所以由①知an=dnn，
则dn=nan=n×8n+n×-1n.
设Tn=8+2×82+3×83+⋯+n×8n，
则8Tn=82+2×83+3×84+⋯+n×8n+1，
则-7Tn=8+82+83+⋯+8n-n×8n+1=-（7n-1）8n+1+87
所以Tn=（7n-1）8n+1+849.
当n为偶数时，Sn=Tn+-1+2-3+4-⋯-n-1+n =（7n-1）8n+1+849+n2 ；
当n为奇数时，Sn=Tn+-1+2-3+4-⋯-n-2+n-1-n =（7n-1）8n+1+849+n-12-n =（7n-1）8n+1+849-n+12.
19．若函数φ(x)的图象关于直线x=1对称，且φ(x)存在唯一的极值点，则称φ(x)为“金字塔函数”．
（1）请判断函数h(x)=14x4-13x3+12x2-x是否为“金字塔函数”．（无需说明理由）
（2）证明：当n∈N*时，函数g(x)=1x2-2x+2n+1恒为“金字塔函数”．
（3）已知函数f(x)=ex+e2-x+ax2+bx-a(a≠0)为“金字塔函数”，求a的取值范围．
（1）解：h(2-x)=14(2-x)4-13(2-x)3+12(2-x)2-(2-x)
=14(x4-8x3+24x2-32x+16)-13(8-12x+6x2-x3)+12(4-4x+x2)-(2-x)
=14x4-2x3+6x2-8x+4-83+4x-2x2+13x3+2-2x+12x2-2+x
=14x4-53x3+92x2-5x+43，
显然h(x)不关于x=1对称，故不是金字塔函数；
（2）证明：因为g(x)=1[(x-1)2+1]n+1，所以g(2-x)=1[(1-x)2+1]n+1=g(x)，
所以g(x)的图象关于直线x=1对称，g'(x)=n[(x-1)2+1]n-1(2x-2)[(x2-2x+2)n+1]2，
因为n∈N*，(x-1)2+1>0，所以g'(x)>0得x0，φ(x)=k'(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以k'(x)min=k'(1)=2e+2a0，则y'=ex-1>0，故y>e0-0-1=0，所以ex>x+1，
当x∈(-∞,1)时，k'(x)=ex+e2-x+2a>e2-x+2a>3-x+2a，若xex+2a>x+2a+1，若x>-2a-1，则k'(x)>0，
所以k'(x)存在两个零点x1∈(3+2a,1),x2∈(1,-2a-1)，
当x∈(-∞,x1)时k'(x)>0，当x∈(x1,x2)时k'(x)