河北省保定市2025届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省保定市2025届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析），文件包含河北省保定市2025届高三第二次模拟考试数学试题Word版含解析docx、河北省保定市2025届高三第二次模拟考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知x，y是非零实数，则的最小值为（ ）
A. 6B. 12C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，
即，等号成立，
所以的最小值为6，
故选：A
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角公式得到方程，解得即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：B
3. 若非零复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由结合条件即可求解.
【详解】由题意，因为，所以.
故选：C
4. 现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ）
A. 1B. 6C. 5或6D. 1或6
【答案】C
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义即可求解.
【详解】将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，
则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6.
故选：C.
5. 若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解.
【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.
当时，，所以，在上单调递增；
当时，，在上不单调；
当时，，所以，在上单调递减.
综上，.
故选：C.
6. 已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象确定交点个数，得出交集中元素个数，利用公式求出真子集个数.
【详解】因为的对称轴为，顶点为，且过点,
当时，上的点为，
作，的图象，如图，
由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点，
则有4个元素，从而的真子集的个数为.
故选：D
7. 刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正四棱锥的结构特征得到为侧面与底面所成的角，进而利用勾股定理推得正四棱锥的每个侧面均为正三角形，从而利用“曲率”的定义即可得解.
【详解】如图，连接，，设，连接，则平面，
取的中点，连接，，

则由正四棱锥的结构特征可知，
所以为侧面与底面所成的角，
设，则，
在中，，
所以，又，所以，
所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点的每个面角均为，
故正四棱锥在顶点处的曲率为.
故选：D.
8. 若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ）
A. B. 56C. D. 70
【答案】A
【解析】
【分析】由二项式系数的和可得，再由二项式的展开式代入计算，即可得到结果.
【详解】的展开式各项系数的绝对值之和等于的展开式各项系数之和，
则，得，则，
因为展开式中没有的项，
所以的展开式中的系数为的展开式中的系数，
即.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若函数，则（ ）
A. 为减函数B.
C. 的值域为D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，即可判断选项A，C；根据对数函数的性质解方程与对数不等式，即可判断选项B，D.
【详解】因为，，
所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确；
，故选项正确；
，故选项错误.
故选：BC.
10. 若，随机变量，，则（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D. 当p在变化时，的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据及正态分布的性质即可判断选项A；当时，根据二项分布的方差公式求出的值，再利用正态分布的方差即可判断选项B；根据正态分布的方差求出的值，结合二项分布的方差公式即可判断选项C；根据二项分布的概率分布列公式，可得 .构造函数，利用导数研究函数单调性即可判断选项D.
【详解】因为，=6，所以由正态分布的性质可知，故选项A正确；
当时，即，即，解得或，当时，，当时，，故选项B错误；
当时，即，因为，所以，所以，故选项C正确；
因为，所以.
设函数，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
最大值为，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知曲线，点，则（ ）
A. 当P为C上的动点时，的取值范围是
B. 当P为C上的动点时，的取值范围是
C. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D. 存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据点的位置，判断AB，直线与曲线表示的椭圆联立，以及求出与轴的交点，根据韦达定理，判断CD.
【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成，
易知,为椭圆的两个焦点，
若点在椭圆上时，，
若点是原点时，，
曲线上的其他点，则，
所以的取值范围是，A正确；
当点P在直线上时，,
当点P在椭圆上时，，
由，得，B正确.
将代入，得，
设该方程的两个根为，，则，即，且，，
由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为，
则+=，解得，D正确.
当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，
则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数的最小正周期为T，且的图象关于点对称，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由正切函数的对称性即可求解.
【详解】，由，得，则，即.
故答案为：.
13. 已知直线是圆与曲线的公切线，则___________．
【答案】7
【解析】
【分析】由直线与圆相切求得，再结合导数的几何意义即可求即可.
【详解】因为直线与圆相切，
所以，解得（负根舍去）.
设函数，则由，
得，
则
解得：，
故，
故答案为：7
14. 某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为米，米，米．为举办特展，某策展团队计划以地面顶点为起点安装一条灯带（忽略灯带的厚度与弹性），灯带沿正四棱台的表面经过侧棱后到达顶点C，则所需灯带的长度的最小值为___________米．
【答案】##
【解析】
【分析】将侧面和展开到同一个平面，利用两点之间线段最短求解即可.
【详解】如图1，设灯带经过侧棱上的E点.
如图2，连接，将侧面和展开到同一个平面，
则，当且仅当线段与线段有交点时等号成立，
即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E.
因为四边形是等腰梯形，所以，
由余弦定理可得==米，
则>，所以，即，
因为，所以，
即线段与线段有交点.
==，可得=，
而，可得=，
所以,
由余弦定理可得==米，
则所需灯带的长度的最小值为米.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知双曲线的焦距为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出即可.
（2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积.
【小问1详解】
依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离，
由消去得，解得，，
则，所以的面积.
16. 如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，．

（1）求该五棱柱的体积．
（2）证明：平面平面．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）10 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直棱柱体积计算公式计算即可；
（2）根据面面垂直的判定定理证明即可；
（3）建立空间直角坐标系，运用空间向量法计算求解即可.
【小问1详解】
因为为等腰直角三角形，，所以，且，
因为四边形为正方形，所以
在直五棱柱中，底面，
所以该五棱柱的体积；
【小问2详解】
在直五棱柱中，底面，
因为底面，则，
因为，所以，
因为且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面
【小问3详解】
由题意可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的法向量为，则，
即 ，取，则
，
故直线与平面所成角的正弦值为.

17. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3．
（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率．
（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．
（3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．
【答案】（1）07 （2）方案二更优惠，理由见解析
（3）应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解；
（2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断；
（3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策.
【小问1详解】
买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，
若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;
若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;
若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元
故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为；
【小问2详解】
买方乙要在该厂购买400箱这种零件，
若乙选择方案一，则成交的金额为万元
若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则，
所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元
因为，所以方案二更优惠；
【小问3详解】
设丙用方案一购买箱，
则丙用方案一需要支付的金额为元，
方案二需要支付的金额的期望为元，
所以丙购买的金额的期望为万元
因为为减函数，所以越大，越小，
故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠.
18. （1）在数列中，若，其中均为常数，是一元二次方程的两个实根，证明：．
（2）若数列满足对应的一元二次方程为，该方程有两个实数根，则，其中均为常数．已知数列满足，且．
①求的通项公式；
②若数列满足，且，求的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）①，②答案见解析
【解析】
【分析】（1）由新概念结合韦达定理即可求证；
（2）由新概念即可求解①，由错位相减法，和分组求和可求解②
【详解】（1）证明:因为是方程，即两个实根，
所以，
则
，
得证；
（2）①解:由题意知的一元二次方程为，
解得，
根据题意，不妨取，
设，
因为，
所以
解得
故，
②解:由，
得，
因为=7，，
所以由①知，
则.
设，
则，
则
所以.
当n为偶数时， ；
当n为奇数时， .
19. 若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”．
（1）请判断函数是否为“金字塔函数”．（无需说明理由）
（2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”．
（3）已知函数为“金字塔函数”，求a的取值范围．
【答案】（1）不是“金字塔函数”；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）根据定义只需判断是否成立，即可得判断；
（2）根据函数新定义，判断是否成立并利用导数研究极值点，即可证；
（3）利用对称性得到，则，再应用导数研究的极值点，即可得参数范围.
【小问1详解】
，
显然不关于对称，故不是金字塔函数；
【小问2详解】
因为，所以，
所以的图象关于直线对称，，
因为，，所以得，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则存在唯一的极值点1，故为“金字塔函数”.
【小问3详解】
因为为“金字塔函数”，所以，
所以，
整理得对恒成立，则，得，
所以，则，
令，则，当且仅当时取等号，
当时，，则单调递增，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则存在唯一的极值点1
当时，令，则在定义域上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
对于且，则，故，所以，
当时，，若，则，
当时，，若，则，
所以存在两个零点，
当时，当时，当时，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
由且，得，
当时，当时，
则必存在唯一的，使得，必存在唯一的，使得，
所以在、上单调递减，在、上单调递增，则有3个极值点，不合题意
综上，a的取值范围是.