河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，解得，
所以，
所以.
故选：D
2. 已知向量，且，则的值为（ ）
A. 4B. C. 4或D. 2
【答案】C
【解析】，
，
两边平方后化简可得或.
故选：C
3. 设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. 12D. 14
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由，得，
解得，所以.
故选：A
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数的单调性可知：
，
又，
所以，
故选：B
5. 函数有且只有三个零点，则的取值可以是（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】D
【解析】令得，
当时，，则，令，
所以当时，，为增函数；当时，，为减函数，
所以函数在处取得极大值，且，当时，；
当时，，
则，则时，，为减函数，
当时，；
综上，与函数图象有三个交点时，即函数有且只有三个零点时.
所以的取值可以是.
故选：D
6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】由题：，设，
由抛物线定义知：，
又为的重心，所以，所以，
故选：B.
7. 已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，，，
所以，所以.
设外接圆半径为，则.
又平面，且，设三棱锥的外接球半径为，
则.
所以三棱锥的外接球表面积为：.
故选：D
8. 在中，，为边的中点，且，则的最大值为（）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为中点，所以，
两边平方可得，
已知，，
则，
所以，即，
设，，则，
令，则，代入可得：
，
将其看作关于的一元二次方程，
因为存在，所以判别式，
即，，，，解得，
故的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 设是随机变量，若，则
B. 已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6
C. 二项式展开式中的常数项为
D. 设是随机变量，若，则
【答案】AC
【解析】A选项：若，则，A选项正确；
B选项：1，2，3，5，6，6，7，9，这组数据已按从小到大排好序，共有8个数据，
上四分位数是第百分位数，因为，结果是整数，
所以百分位数是这组数据中第6个和第7个数的平均数，为，B选项错误；
C选项：二项式的通项为，
令，解得，展开式的第四项为常数项，
为，C选项正确；
D 选项：若，则，
所以中，，
则，D选项错误.
故选：.
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数最小正周期为
B. 函数关于点中心对称
C. 函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称
D. 函数在上不单调，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】函数，
对于A选项：∵，∴，A选项正确；
对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确；
对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确；
对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个不等实根，它们分别为，，2，则（ ）
A. 实数为0B. 为定值
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以.
因为函数在上是增函数，在上是减函数，
所以方程有两个解：故A正确；
其中一个根为0，即，
另一根：.
所以，又方程有3个不等实根，它们分别为，，2.
所以.
由为定值，故B正确.
又.
由.
当时，，此时，
所以只有两个根，与有3个不等实根矛盾，所以.
因为，
因为，所以，无法确定，故C错误；
因为，
因为，所以，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共计15分.
12. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______．
【答案】
【解析】由题：，
又是第二象限角，所以，
所以，
故答案为：.
13. 已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______．
【答案】2
【解析】如图，设为与渐近线的交点，
由题意：，，
所以Q是线段的中点，
所以.
又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，
所以，所以，
所以，
所以离心率
故答案为：2
14. 现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______．
【答案】①. ②.
【解析】设第个处理器发射的类信号数量记作，
则，
由题意，当时，第个处理器发射的类信号数量为，
即当时，，
当时，，
则，
故当时，，
可得，
又，
所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
当时，上式不成立，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在四棱锥中，底面菱形，．
（1）若，证明：平面平面；
（2）若平面平面，且二面角的大小为，求的值．
（1）证明：取的中点，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，四边形是菱形，所以是等边三角形，
所以，所以，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：过作于点，连接，
由（1）可知，又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，又二面角的大小为，
所以，在中，可得，所以，
在中，，，所以，
所以，在中，，所以，
所以.
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
解：（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
17. 为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5个关键区域，成功通过3个区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为，被障碍物阻挡的概率为．每成功通过一个区域得6分，每被障碍物阻挡一次扣3分，每个区域的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个区域，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束．
（1）若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率；
（2）记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X的分布列和数学期望.
解：（1）在过第4个区域后终止任务且人工智能机器人完成任务，
所以机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1区域，
故事件概率为.
（2）由题意，总得分X的可能值为，
前3次都成功通过，此时，则；
前3次有2次成功通过、1次被阻挡，第4次成功通过，此时，则；
前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次成功通过，此时，则；
前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次被阻挡，此时，则；
前3次有1次成功通过、2次被阻挡，第4次被阻挡，此时，则；
前3次都被阻挡，此时，则；
所以分布列如下，
则.
18. 已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围；
（3）过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值．
（1）解：由题得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为；
当外切矩形四边所在切线斜率都存在时，
则可设切线，
联立，
则，
由题可设切线，同理可得，
切线和距离为；
由题可设切线，
联立，
则，
由题可设切线，同理可得，
切线和距离为；
所以由对称性可得矩形面积为，
令，当且仅当即等号成立时，
所以，
则，
综上，矩形面积的取值范围为.
（3）证明：设切线，
联立，
则
，
此时，所以斜率，
同理可得，所以为定值.
19. 数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，．
（1）若，求的值；
（2）已知四元数．
（i）若，求证：；
（ii）若数列均为正项数列，且（为常数），解：（1）由，得，
所以
；
（2）（i）由题意
，
则
，
又因为，
所以，
，
或，
，
故，
所以；
（ii）由，
得，
又因为
，①
当且仅当时取等号，
同理，②
，③
，④
由①②③④得
即
又
，
所以，
所以.18
15
12
3