河北省保定市2025届高三下第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

这是一份河北省保定市2025届高三下第一次模拟考试数学试题（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合，则（ ）
2. 已知向量，且，则的值为（ ）
3. 设为等差数列的前项和，若，则（ ）
4. 设，则的大小关系为（ ）
5. 函数有且只有三个零点，则的取值可以是（ ）
6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（ ）
7. 已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（ ）
8. 在中，，为边的中点，且，则的最大值为（）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列选项正确的是（ ）
10. 已知函数，则（ ）
11. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个不等实根，它们分别为，，2，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______．
13. 已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______．
14. 现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在四棱锥中，底面是菱形，．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若平面平面，且二面角的大小为，求的值．
16. 已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
17. 为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5个关键区域，成功通过3个区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为，被障碍物阻挡的概率为．每成功通过一个区域得6分，每被障碍物阻挡一次扣3分，每个区域的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个区域，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束．
(1)若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率；
(2)记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X的分布列和数学期望.
18. 已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围；
(3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值．
19. 数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，．
(1)若，求的值；
(2)已知四元数．
（i）若，求证：；
（ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：．
河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面向量、数列、函数与导数、平面解析几何、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、复数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．4
B．
C．4或
D．2
A．
B．
C．12
D．14
A．
B．
C．
D．
A．3
B．
C．1
D．
A．3
B．4
C．5
D．6
A．
B．
C．
D．
A．3
B．
C．
D．
A．设是随机变量，若，则
B．已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6
C．二项式展开式中的常数项为
D．设是随机变量，若，则
A．函数的最小正周期为
B．函数关于点中心对称
C．函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称
D．函数在上不单调，则的取值范围为
A．实数为0
B．为定值
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
1
适中
13
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.65
坐标计算向量的模
3
0.85
等差数列前n项和的基本量计算
4
0.65
比较指数幂的大小；比较对数式的大小
5
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究方程的根
6
0.65
抛物线定义的理解；抛物线的焦半径公式；根据抛物线方程求焦点或准线
7
0.65
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
8
0.4
数量积的运算律
二、多选题
9
0.65
标准正态分布的应用；总体百分位数的估计
10
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；三角恒等变换的化简问题；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式
11
0.4
函数与方程的综合应用；由函数在区间上的单调性求参数
三、填空题
12
0.65
由终边或终边上的点求三角函数值；由三角函数值求终边上的点或参数
13
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
14
0.4
根据数列递推公式写出数列的项；构造法求数列通项
四、解答题
15
0.65
证明面面垂直；求二面角
16
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数（含参）的单调区间
17
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；独立重复试验的概率问题
18
0.65
求椭圆中的参数及范围；椭圆中的定值问题；根据椭圆过的点求标准方程；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
19
0.15
复数综合；求等比数列前n项和；裂项相消法求和；分组（并项）法求和
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
平面向量
2,8
4
数列
3,14,19
5
函数与导数
4,5,10,11,16
6
平面解析几何
6,13,18
7
空间向量与立体几何
7,15
8
计数原理与概率统计
9,17
9
三角函数与解三角形
10,12
10
复数
19