河北省博野中学2025届高三下学期高考信息联考卷（三）数学试题（含答案解析）

这是一份河北省博野中学2025届高三下学期高考信息联考卷（三）数学试题（含答案解析），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数（ ）
2. 已知集合，则（ ）
3. 已知10个互不相同的样本数据：的平均值为，则关于新样本数据：，下列说法正确的是（ ）
4. 记是正项数列的前项和，已知，则（ ）
5. 已知点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
6. 在的展开式中，的系数为（ ）
7. （ ）
8. 已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数，且，则（ ）
10. 在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，为的中点，则（ ）
11. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，，且，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知点在抛物线上，且到的焦点的距离为，则实数__________.
13. 已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为__________.
14. 记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值；
(3)求方程的实数根的个数.
16. 如图，三棱柱的侧面与侧面均为正方形，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)求二面角的正弦值.
17. 现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，且小球内放有题目.已知甲箱内有4个A类题目的小球，5个B类题目的小球，3个C类题目的小球；乙箱内有2个A类题目的小球，2个B类题目的小球，6个C类题目的小球.
(1)从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记表示抽取的小球内放有B类题目的个数，求的分布列和数学期望；
(2)先从甲箱内抽取一个小球放入乙箱内，再从乙箱内抽取一个小球，求这个小球内放有A类题目的概率.
18. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点.
19. 记数阵，其中，设集合，其中且.现定义变换为“对于数阵中的每一行，若其中含有或，则这一行中的每一个数都乘；若其中没有且没有，则这行数字均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为.
(1)若先后经过和变换后得到的数阵，求的最大值；
(2)若，求使取得最大值的集合的个数；
(3)对于任意确定的一个数阵所有可能取值的和记为，当时，证明：且.
河北省博野中学2025届高三下学期高考信息联考卷（三）数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、数列、平面解析几何、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、函数与导数、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．极差变大
B．平均数变大
C．方差变小
D．中位数变小
A．
B．
C．
D．
A．是半径为的圆
B．C与圆有一个交点
C．与直线有两个交点
D．与圆围成图形的面积为
A．
B．
C．
D．20
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．在上单调递增
D．曲线在上有3条对称轴
A．四边形为正方形
B．平面
C．四棱锥的体积为
D．直线与平面所成的角为
A．的图象关于点对称
B．4为的一个周期
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
5
适中
9
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
2
0.94
交并补混合运算
3
0.85
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的中位数
4
0.65
求等比数列前n项和；等比数列前n项和的基本量计算；等比数列的定义
5
0.65
判断直线与圆的位置关系；判断圆与圆的位置关系；轨迹问题——圆
6
0.65
三项展开式的系数问题；求指定项的系数
7
0.85
用和、差角的正切公式化简、求值；诱导公式一
8
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；椭圆中焦点三角形的周长问题
二、多选题
9
0.65
求csx型三角函数的单调性；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；求csx（型）函数的对称轴及对称中心
10
0.65
锥体体积的有关计算；证明线面平行；求线面角；线面垂直证明线线垂直
11
0.4
函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解；判断或证明函数的对称性；由抽象函数的周期性求函数值
三、填空题
12
0.85
根据抛物线上的点求标准方程；抛物线的焦半径公式
13
0.65
球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
14
0.4
由不等式的性质证明不等式；基本不等式求和的最小值
四、解答题
15
0.85
求已知函数的极值；利用导数研究方程的根；已知切线（斜率）求参数
16
0.65
证明面面垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直
17
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；利用全概率公式求概率；求离散型随机变量的均值
18
0.4
双曲线中的直线过定点问题；根据a、b、c求双曲线的标准方程
19
0.4
分步乘法计数原理及简单应用；集合新定义；判断集合的子集（真子集）的个数；组合数的计算
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,19
3
计数原理与概率统计
3,6,17,19
4
数列
4
5
平面解析几何
5,8,12,18
6
三角函数与解三角形
7,9
7
空间向量与立体几何
10,13,16
8
函数与导数
11,15
9
等式与不等式
14