2025-2026学年河北省保定市博野中学创新班高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年河北省保定市博野中学创新班高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点P(−3,8,−5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A. (3,−8,−5)B. (−3,8,5)C. (3,8,5)D. (−3,−8,5)
2.点A(x1,y1)与点B(x2,y2)是直线l：x−2y+2=0上的两个不同的点，则y1−y2x1−x2=( )
A. 12B. −12C. 1D. −1
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是( )
A. 16
B. 12
C. 4+8 2
D. 4+4 2
4.已知直线2x+y−3=0与直线4x−my−3=0平行，则它们之间的距离是( )
A. 3 55B. 510C. 3 510D. 55
5.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BD+BA1+BC1=( )
A. 2BD1
B. 2D1B
C. 2DB1
D. 2D1B1
6.已知点A(2,−3)，B(−3,−2).若直线l：mx−y−m+1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,−4]∪[34,+∞)B. (−∞,−34]∪[4,+∞)
C. [−4,34]D. [−34,4]
7.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M为AC的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN//平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则( )
A. AC1=4
B. BC1=4
C. AB1=6
D. B1C=6
8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为( )
A. 23B. 2 55C. 13D. 2 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥n，则n//α
B. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C. 若α//β，m//α，n//β，则m//n
D. 若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//n
10.已知直线l1：x−2y−2=0，动直线l2：(k+1)x+ky+k=0(k∈R)，则下列结论正确的有( )
A. 存在实数k，使得l2的倾斜角为90°B. 存在实数k，使得l1与l2没有公共点
C. 对任意的k，l1与l2都不重合D. 存在实数k，使得l1与l2垂直
11.如图，已知直棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠ABC=π3，动点M满足BM=λBD+μBB1(0≤λ≤1,0≤μ≤1)，则下列说法正确的是( )
A. MD1⊥AC
B. 当λ=μ=13时，三棱锥M−BCD的外接球的表面积为2449π
C. 记点M到直线AC的距离为d，当λ+μ=1时，则AM+d的最小值为 3+ 72
D. 当λ=μ=12时，直线DM与直线CA1垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于a的方程2a2+8a+n=0的两根，若l1⊥l2，则实数n= ．
13.已知向量a=(3,−2,3),b=(−1,3,−2),c=(7,0,λ)，若a,b,c共面，则λ= ．
14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，E，F分别是A1D1，AA1的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长(指圆台的母线长)13cm．
(1)求这个圆台形花盆的体积；
(2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？(第二问中π取3.14)
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别为BC，PD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．
(1)证明：MN//平面PAB；
(2)证明：MN⊥AD．
17.(本小题15分)
已知直线l经过点P(2,3)．
(1)若原点O(0,0)到直线l的距离为2，求直线l的方程；
(2)若直线l被两条相交直线2x−y−2=0和x+y−3=0所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程；
(3)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|OA|+|OB|的最小值，并求此时的直线l的方程，其中O(0,0)．
18.(本小题17分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是BB1和AC1的中点．
(1)证明：平面AC1D⊥平面ACC1A1；
(2)若AB=2，平面AC1D与平面ABC的锐二面角的余弦值为2 55，求该三棱柱的体积．
19.(本小题17分)
如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且DE//SA，若SA=AB=2DE=2，M，N分别是SB，BC的中点，点Q是线段DC上的一个动点．
(1)证明：CE//平面SAB；
(2)求直线SE与平面ACM所成角的正弦值；
(3)求二面角M−NQ−A的余弦值的最大值．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.A
6.A
7.B
8.D
9.BD
10.AD
11.ABC
12.−2
13.5
14.6 13+3 2
15.解：(1)根据题意可得圆台高为 132−(20−102)2=12，
∴这个圆台形花盆的体积为13×(π×102+π×52+π×10×5)×12=700π(cm3)；
(2)根据(1)及题意可得一个圆台的侧面积为(10π+5π)×13=195π≈612.3(cm2)，
∴这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费为：612.3×10−4×10000×10=6123(元)．
16.(1)证明：因为在四棱锥P−ABCD中，M，N分别为BC，PD的中点，取PA的中点R，连接NR，BR，

所以NR//AD，且NR=12AD，BM=12BC，因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，且AD=BC，
所以NR//BM，且NR=BM，所以四边形BMNR是平行四边形，所以MN//BR，
因为MN⊄平面PAB，BR⊂平面PAB，所以MN//平面PAB；
(2)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，PAB∩ABCD=AB，又在矩形ABCD中，AD⊥AB，
且AD⊂面ABCD，∴AD⊥面PAB，∵BR⊂面PAB，∴AD⊥BR，由(1)得BR//MN，∴MN⊥AD．
17.
18.

19.（1）证明：因为SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
所以AB，AD，SA两两垂直，所以分别以AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

因为SA=AB=2DE=2，DE//SA，所以DE⊥平面ABCD，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，S(0,0,2)，M(1,0,1)，N(2,1,0)，
设Q(t,2,0)(0≤t≤2)．
则CE=(−2,0,1)，因为AD⊥平面SAB，
所以平面SAB的法向量为n=(0,2,0)，
因为CE⋅n=−2×0+0×2+1×0=0，
因为CE⊄平面SAB，
所以CE//平面SAB；