广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年八年级下学期数学期中名校试卷（原卷+解析卷）

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注意事项：
1． 答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2． 全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．
3．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干 净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．
4． 考试结束，监考人员将答题卡收回．
第一部分选择题
一 、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个 是正确的)
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念辨析。轴对称图形：平面图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合；中心对称图形：图形绕某一点旋转180°后，能与原图形完全重合。解题时依据两个定义逐一判断即可。
【详解】
解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求；B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求；C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意。
故选：D。
2. 下列各式是分式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断一个式子是否为分式，关键在于分母中是否含有字母。
若分母含有字母，则为分式；若分母不含字母，仅为常数，则为整式。
【详解】
解：A、分母中不含有字母，属于整式，不是分式，故此选项错误；
B、分母中不含有字母，属于整式，不是分式，故此选项错误；
C、分母中含有字母，符合分式的定义，故此选项正确；
D、分母中不含有字母，属于整式，不是分式，故此选项错误。
故选：C。
【点睛】特别注意：π是常数，不是字母，因此分母含π的式子仍为整式，不属于分式。
3. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解的概念，解题关键是准确理解并运用因式分解的定义，对各选项逐一进行判断。
【详解】
解：A. 式子无法进行这样的变形，该变形错误，不符合题意；
B. 等式左右两边不相等，变形错误，不符合题意；
C. 该变形是整式乘法运算，并非因式分解，不符合题意；
D. 式子从多项式化为整式乘积的形式，属于正确的因式分解，符合题意。
故选：D。
4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质，解题关键是根据分式性质对各选项变形逐一判断。
【详解】
解：A. 原式变形错误，不符合分式的性质，故此选项不符合题意；
B. 原式变形错误，不符合分式的性质，故此选项不符合题意；
C. 原式变形正确，符合分式的性质，故此选项符合题意；
D. 原式变形错误，不符合分式的性质，故此选项不符合题意。
故选：C。
5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A. B. C. 2.2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题可通过连接辅助线 AD，构造直角三角形，再利用勾股定理求出线段 CD 的长度。
【详解】解：如图，连接 AD，由题意可得 AD=AB=3。
在Rt△ADC中，根据勾股定理可直接计算得出结果。
故选：B。
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是通过连接 AD 构造出直角三角形，进而利用定理求解。
6. 同一直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是结合函数图象进行观察分析。
从图象上看，满足不等式的解集，就是看对应函数图象上下位置关系。
【详解】
解：由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方，
的取值范围是，
故选：A．
【点睛】利用函数图象解不等式，本质就是比较两个函数图象的上下位置，上方函数值更大。
7. 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练运用乘法公式进行计算是解题的关键。先利用乘法公式将式子展开，再通过整式的加减运算化简得出结果。由于题目中说明相关字母为任意整数，因此最终化简后的结果一定是整数，据此即可完成求解。
【详解】解：
，
∵为任意整数，
∴是整数，
∴的值总能被5整除，
故选：C．
8. 已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键。先解出不等式组的解集，再根据“不等式组至少有2个整数解”这一条件，确定参数的取值范围，从而完成解答。
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组至少有2个整数解，
，
，
故选：B．
第二部分非选择题
二．填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题可直接运用提公因式法对多项式进行因式分解。直接提取公因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式。
10. 当_________时，分式的值为0．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式值为0的条件，解题关键是牢记：分式值为0时，分子为0且分母不为0。根据分式值为0的条件，直接列出方程求解，即可得到字母的取值。
【详解】解：∵分式的值为 0 ，
∴，且，
即．
故答案为：．
11. 若关于的方程的解为负数，则实数的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式的综合运用。先解出一元一次方程的解，再根据题目对解的限制条件列出不等式，进而求出结果。
【详解】解：∵，
∴，
∵关于的方程的解为负数，
∴，
解得：；
故答案为：．
12. 两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时，________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题围绕三角板旋转展开，考查分类讨论思想及平行线性质的综合运用。解题时需明确：三角板在旋转过程中，与已知边平行的情况存在两种不同位置关系，分两种情况：①当时，②当时，需分别求解旋转角。
【详解】解：由题意可知，三角板旋转过程中，其一边与已知三角板的边平行，分以下两种情况讨论：
①当时，如图，

此时，
∴旋转角；
②当时，如图，作，

此时，，
∴旋转角．
故答案为：或．
【点睛】本题核心考查三角板旋转与平行线性质的结合。解题关键在于分类讨论，全面考虑旋转后平行的两种可能位置，避免漏解。
13. 如图所示的四边形中，，，， 则四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是一道几何综合计算题，综合考查勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质。解题核心思路为构造辅助线，通过延长线段到E点得，连接，构造全等三角形，得出，即可得，先判定出等腰直角三角形，再借助勾股定理求出关键线段长度，最终结合四边形面积完成求解。
【详解】解：延长到点使，连接，
∵，，
，
在和中
，
，
，
，
即，
，
，
，
在中，，
，
∴，
则四边形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键在于合理构造辅助线，通过全等三角形实现边和角的等量转化，将不规则图形的问题转化为特殊直角三角形的问题；同时要熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用，以及全等三角形、等腰直角三角形的性质与判定定理，灵活运用几何性质进行推理计算。
三 ．解答题(本大题共7小题，共61分)
14. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。求解思路是：先把不等式组里的每一个不等式单独解出来，分别得到各自的解集；再根据不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，
把两个解集合并，确定出不等式组最终的公共解集，从而完成解题。
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值。解题时先按照分式混合运算的法则，对原式进行通分、约分等化简整理，再将给定数值代入化简后的式子计算，即可得出结果。
【详解】
，
当时，原式．
16. 某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元
（1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式；
（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选用哪种运输方式所需费用较少？
【答案】（1）；（2）公路运输方式运送的牛奶多，铁路运输方式所需用较少．
【解析】
【分析】（1）根据“总费用=单价×数量+额外固定费用”的数量关系，直接列出y与x之间的函数表达式；（2）分别把y=1500和x=1500代入（1）中求出的函数解析式，计算出对应的未知量，即可得出结果。
详解】（1），
（2）
解得：，

解得：．
∵3000＞2500，
∴公路运输方式运送的牛奶多，
∴（元），
（元）．
∵1050＞900，
∴铁路运输方式所需费用较少．
【点睛】本题考查了“单价×数量＝总价”这一基本数量关系的应用，涉及由函数值求自变量、由自变量求函数值的方法、有理数的大小比较，以及分类讨论思想的运用。解题的关键在于先正确求出函数解析式，再据此进行后续计算与比较。
17. 按要求完成作图：
（1）如图1，点A 、B 、C 、O都在格点上，绕点O 逆时针方向旋转得到，在图2中画出旋转后的．
（2）如图2，在内部求作一点P，使，并且点P 到两边的距离相等． (要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求证明)
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查复杂作图相关知识，重点涉及旋转图形的绘制、角平分线与线段垂直平分线的基本作图方法。解题的核心在于熟练运用各类基本作图技巧，规范完成图形绘制。
（1）结合题目条件与网格特征，依据旋转的性质准确画出旋转后的对应图形；
（2）按照题目要求，分别作出指定线段的垂直平分线与对应角的平分线，两条作图痕迹共同构成最终所求图形。
【小问1详解】
如图1所示，即为所作：
【小问2详解】
如图2所示，点P即为所作．
18. （1）证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．
如图，在中，，，求证：
（2）如 图 ， 是一张长方形纸片，且，沿 过 点D 折痕将A 角翻折，使得点A 落在 上（如图中的点），折痕交 于 点G．那么 等于多少度？你能证明你的结论吗？（提示：可直接利用（1）的结论）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先取中点并连接对应线段，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，推导出相关线段相等，进而判定出等边三角形，求出对应角度后，再结合三角形内角和定理计算得出结果。
（2）直接沿用（1）中已证结论求出对应角的度数，再根据折叠变换的性质得到相关角的等量关系，从而完成求解。
【详解】解：（1）证明：取中点，连接，
∵是直角三角形，，
，
∵，
，
∴是等边三角形，
，
．
（2）在长方形中，，
根据折叠可得，
∵，
，
∴，
，
，
，
．
【点睛】【点睛】本题以折叠问题为载体，综合考查了矩形的几何性质、等边三角形的判定与应用，以及直角三角形的重要性质。解题的核心思路在于准确求出关键角度，进而逐步推导得出结论。
19. 阅读与思考
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）用配方法因式分解：；
（3）求 的最小值．
（4）已知实数x，y 满 足，求的最小值，并指出此时y的值．
【答案】（1）4 （2）
（3）8 （4），
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解的实际应用，以及偶次方的非负性。解题关键是仿照题目给出的解题思路与方法进行求解。
（1）因为，可得答案为： 4 ；
（2）参照示例（1）解答为；
（3）仿照示例（2）解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答．
（4）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答．
【小问1详解】
解：，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，
因为是非负数，
所以，
所以的最小值是 8 ．
【小问4详解】
解：∵，
∴，
代入得：
因为非负数，
所以，
所以当时，取得最小值，最小值是 ．
此时．
20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且，，等边的顶点B与原点O重合，边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段上，如图2，将等边从图1的位置沿x轴正方向以的速度平移，边分别与线段交于点E、F，在平移的同时，点P从的顶点B出发，以的速度沿折线运动，当点P达到点C时，点P停止运动，也随之停止平移．设平移时间为，的面积为．
（1）求等边的边长；
（2）当点P在线段上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）点P沿折线运动的过程中，是否在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，t值为或或2
【解析】
【分析】
（1）结合已知条件与等边三角形的性质进行证明，推导出该三角形为直角三角形，进而得出结论。
（2）根据，先依据勾股定理分别求出两条线段和的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质求得未知边长，最后通过三角形面积公式计算出结果。
（3）先根据等腰三角形的分类情况求出对应边长的取值范围，再判断所求边长是否在该范围内，以此确定是否存在满足条件的情况。
【小问1详解】
解：∵直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，
，
∵为等边三角形，
，
∴，即为直角三角形，
．
【小问2详解】
解：∵，
，
∵，
∴，
，
，即，
当点在上时，，
，
，
∴的面积，
即；
当点在上时，，
，
，
，
即；
【小问3详解】
解：存在，有4种情况：
①当点在线段上时，
点在上运动的时间为，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得或（故舍去），
②当点在上时，
若时，点为的垂直平分线与的交点，此时为直角三角形斜边的中点，
∴，
∵点从的顶点出发，以的速度沿折线运动，
∴，
在直角三角形中，，
解得：，
若，，
则，
解得：；
③当在上时无解，
④当点在上时，，则，
所以，
解得，不合题意，舍去．
综上，存在值为或或2时，为等腰三角形．
【点睛】本题涵盖含30°角的直角三角形性质、三角形面积求解、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等核心几何知识点，考点覆盖全面，知识融合度高，整体题目难度偏大。尤为关键的是，题目融入动点相关设问，需要结合动态几何思维分析求解，进一步提升了题目逻辑推理与综合运用的难度，属于典型的几何类综合性难题。配方法
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问 题中都有着广泛的应用．
例如：
①用配方法因式分解：
原式
②求的最小值．
解：先求出的最小值
；
由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2．
进而的最小值为4．