初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）18.2 勾股定理的逆定理第2课时教学设计

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）18.2 勾股定理的逆定理第2课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
18.2 勾股定理的逆定理
第2课时
一、教学目标
1.掌握勾股定理的逆定理，并能利用其判定一个三角形是不是直角三角形；
2.灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题；
3.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；
4.在实际问题的解决过程中，让逻辑思维能力得到充分的锻炼，培养学生的建模能力.
二、教学重难点
重点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
问题1 什么是勾股定理？
预设答案：
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
问题2 勾股定理的逆定理又是怎样的呢？
预设答案：
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形，∠C=90°.
教师活动：教师提出问题，师生共同回忆前两节课学习的勾股定理、勾股定理的逆定理的内容.教师可适当发挥，如让学生分别指出勾股定理、勾股定理的逆定理的题设和结论，并再次强调勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系，勾股定理的逆定理则是由边之间的数量关系，判断三角形是不是直角三角形.
设计意图：回忆所学知识，加深对知识的理解，以便能灵活运用所学知识解决问题.
环节二：探究新知
思考：我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
预设答案：
在军事和航海上经常要确定方向和位置，常用到勾股定理的逆定理.
教师活动：教师提出问题，启发学生联系生活实际思考.
设计意图：结合生活实际，体会勾股定理的逆定理在生活中的应用.
思考：如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
问题1：题目已知了哪些信息？
“远航”、“海天”号的速度，运行时间，QR30，“远航”号的航向.
问题2：由题目信息，可以得出什么？
PQ，PR， QR的长度，QPN45°(即下图中∠145°).
问题3：需要解决的问题是什么？
求出两艘船航向所成的角∠QPR，结合图形，∠1已知，所以求∠QPR就可以转化为求∠2.
问题4：已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？
勾股定理的逆定理
教师活动：带领学生读题，引导学生分析题意，明确已知条件、所求问题、如何求解.带领学生分析完思路后，让学生先尝试自行解决，完成答题过程.然后选派代表回答，教师汇总，并规范书写过程.
解：由题意得：PQ161.524，PR121.518，QR30
∵242182302，即PQ2PR2QR2
∴QPR90°
由“远航”号沿东北方向航行可知145°
∴245°
即“海天”号沿西北方向航行.
设计意图：初步体会用勾股定理的逆定理解决实际问题.
归纳：解决实际问题的步骤：
1.标注有用信息，明确已知和所求；
2.构建几何模型——从整体到局部；
3.应用数学知识求解.
追问：除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？
思考：如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格.
解：∵ABDC8，ADBC6，
∴AB2BC28262100
又∵AC29281
∴AB2BC2AC2
∴ABC90°
∴该农民挖的不合格.
设计意图：归纳利用勾股定理的逆定理解决实际问题的步骤，培养学生的良好的学习习惯及语言组织能力.并通过追问，再次让学生体会到勾股定理的逆定理在生活中的广泛应用.进一步培养学生解决问题的能力.
环节三：应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n²1，b=2n，c=n²+1(n＞1).求证：△ABC为直角三角形.
分析：看两较小边的平方和是否等于最大边的平方，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
证明：∵a²+b²=(n²1)²+(2n) ²
=n4 2n²+1+4n²
=n4 +2n²+1
=(n²+1)²
=c²
∴ △ABC是直角三角形.(勾股定理的逆定理)
例2 如图，营地A与哨所B相距10 km，东侧有一条南北走向的河流PQ.每天，哨兵从营地A骑马沿南偏东34°方向走6 km到河流C处喂水，再走8 km 到达哨所B处执勤，最后返回营地A.你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗？
分析：先判断△ACB是直角三角形，再利用平行线的性质及平角的概念即可求出∠BCQ，从而可确定哨兵C处是沿哪个方向到达哨所B.
解：由题意，得AB =10km，AC=6km，BC=8km.
∵62+82=102，
∴AC2+BC2=AB2.
∴∠ACB =90°.
又∵AD//PQ，
∴∠ACP=∠DAC=34°，
∴∠BCQ=180° -90° -34°=56°，
即哨兵在C处沿南偏西56°方向行走到达哨所B处.
设计意图：巩固所学知识，加深对知识的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.
环节四：课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形(填“能”或“不能”).
2.工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？
3.如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC10海里，BC8海里，AB6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
答案：
1.能.
2.解：∵AD3，AB4，BD5
易得AD2AB2BD2
∴由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形BAD90°.
又∵BD5，DC12，BC13
可得BD2DC2BC2
∴△BCD为直角三角形，BDC90°.
∴这批零件合格.
3.解：∵AC10，BC8，AB6，
∴AC2AB2BC2，即△ABC是直角三角形，
而S△ABC，解得：BD.
在Rt△BCD中，
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.412.80.5(小时)，0.5小时30分钟
∴最早晚上10时58分进入我领海.
设计意图：巩固勾股定理的逆定理，学生通过练习，可以更好的理解和运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的能力.
环节五：课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.