初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）12.12 勾股定理的逆定理随堂练习题

这是一份初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）12.12 勾股定理的逆定理随堂练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于 12FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AE＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（ ）
A . 4 5 B . 8 5 C . 2 41 D . 402
2.下列命题是假命题的是（ ）
A . 在 △ABC中，若 ∠A:∠B:∠C=3:4:5 ， 则 △ABC是直角三角形
B . 在 △ABC中，若 a2=b+cb−c ， 则 △ABC是直角三角形
C . 在 △ABC中，若 ∠A:∠B:∠C=1:2:3 ， 则 △ABC是直角三角形
D . 在 △ABC中，若 a:b:c=1:1:2 ， 则 △ABC是等腰直角三角形
3.下列各组数能作为直角三角形的三条边的是（ ）
A . 1，1，2 B . 5，5，7 C . 5，12，13 D . 6，6，6
4.a、b、c为 △ABC三边，不是直角三角形的是（ ）
A . a2＝c2﹣b2
B . a＝ 54 ， b＝1，c＝34
C . ∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D . a＝8k，b＝17k，c＝15k
5.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
A . ①② B . ①③ C . ①④ D . ②④
6.下列命题正确的是（ ）
A . 所有的无限小数都是无理数
B . 因为 0.32+0.42=0.52 ， 所以0.3，0.4，0.5是一组勾股数
C . 若实数a，b满足 a−b2=b−a ， 则a≥b
D . 若一个正数x的算术平方根是y，则y是x的函数
7.下列线段不能构成直角三角形的是（ ）
A . a=6，b=8，c=10
B . a=1，b= 2 ， c=3
C . a=3，b=4，c=5
D . a=2，b=3，c=6
8.边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A . 5，10，13 B . 5，7，8 C . 7，24，25 D . 8，25，27
9.下列关于直角三角形的命题为假命题的是（ ）
A . 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半
B . 长度为7，24，25的线段可组成直角三角形
C . 直角三角形的两个锐角互余
D . 两锐角分别相等的两个直角三角形全等
二、填空题
1.为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为 ________ cm．
2.一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为 ________ .
3.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 ________ . .
4.如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为 ________ .（注：两直角边长均为整数）
5.请写出两组勾股数： ________ 、 ________ ．
6.已知点 M的坐标为 (2,−4) ， 线段 MN=5 ， MN∥x轴，则点 N的坐标为 ________ .
7.所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m 2﹣n 2 ， b=2mn，c=m 2+n 2 ， 则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 ________ 组成一组勾股数．
8.在四边形 ABCD中， E ， F分别是边 AB ， AD的中点，若 BC=15 ， CD=9 ， EF=6 ， ∠AFE=55° ， 则 ∠ADC= ________ ．
9.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： ________
三、作图题
1.在如图所示的方格纸上，以格点为顶点，按要求画图．

（1） 在图1中画一个直角三角形，要求：三角形的三边长是勾股数；
（2） 在图2中画一个菱形，要求：线段 MN为菱形的对角线．
2.如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是（0，﹣2），（﹣1，3）．解答下列问题：
（1） 请在示意图中建立平面直角坐标系；
（2） 通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．
3.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
四、综合题
1.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.
（1） 着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2） 若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
2.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1） 已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2） 已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 AB=30，AM=5 ， 求BN的长.
3.一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．
（1） 这个梯子的顶端A距地面有多高?
（2） 如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
4.某花店老板李某为培育花苗，于2023年租了一块如图所示的四边形土地， ∠B=90° ， AB=40m ， BC=30m ， AD=130m ， CD=120m ， 该土地的租金为一年 45元/ m2 ， 则李某租用该土地一年需租金多少元？
5.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1） 求修建的公路CD的长；
（2） 若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
五、解答题
1.聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知 AB＝9m， BC＝12m， CD＝17m， AD＝8m，∠ ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
2.某校八年级一班在校园操场一角开辟了一块四边形的小花园，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到小花园实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识.如图，四边形ABCD是规划好的小花园，经过测量得知： AB=8m，BC=6m，AD=26m，CD=24m，∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积.
3.如图，某开发区计划在一块四边形的空地 ABCD上种植草坪．已知∠ A=90°， AB=4m， BC=12m， CD=13m， DA=3m，种植每平方米草皮的预算费用为300元．求种植草坪的总预算．
4.如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，有一艘渔船和一艘游轮同时从港口M出发，渔船沿北偏东 22°方向以每小时7海里的速度航行，游轮以每小时24海里的速度沿北偏西某方向航行，航行2小时时分别到达A，B处．若A，B相距50海里，求游轮的航行方向．

5.今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1） 海港C受台风影响吗？为什么？
（2） 若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
六、阅读理解
1.阅读下列材料，回答问题：
如图，点 Ax1,y1 ， 点 Bx2,y2 ， 以 AB为斜边作 Rt△ABC ， 则 Cx2,y1 ， 于是 AC=x1−x2 ， BC=y1−y2 ， 所以 AB=x1−x22+y1−y22 ， 反之，可将代数式 AB=x1−x22+y1−y22的值看作点 x1,y1到点 x2,y2的距离．
例如：x2−2x+y2+2y+2
=x2−2x+1+y2+2y+1
=x−12+y+12
=x−12+y−−12
故代数式 x2−2x+y2+2y+2的值看作点 x,y到点 1,−1的距离．
已知：代数式x2−2x+y2+16y+65+x2+4x+y2−4y+8
（1） 该代数式的值可看作点 x,y到点 、 的距离之和．
（2） 求出这个代数式的最小值．
2.阅读材料：在将多项式因式分解时，利用公式法可以将一些形如 ax2+bx+ca≠0的多项式变形为 a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 ax2+bx+ca≠0的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如： x2+4x−5=x2+4x+4−4−5=(x+2)2−9=x+2+3x+2−3=x+5x−1 ．
例如：求代数式 x2+4x+6的最小值．
解：原式 =x2+4x+4+2=(x+2)2+2 ，
∵ (x+2)2≥0 ，
∴当 x=−2时， x2+4x+6有最小值，最小值是2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1） 利用配方法分解因式： m2+4m−5；
（2） 求代数式 −2x2+6x−1的最大值；
（3） 在 △ABC中，边 BC=a ， AC=b ， AB=c ， 且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ， 求 △ABC的面积．
3.【阅读理解】
在平面直角坐标系 xOy中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点 R' ， 点 R'关于y轴的对称点为 R″ ， 则称点 R″为点R关于点S的“旋对点”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点 M(−5，1) ．

（1） 请在图中画出点M关于点O的“旋对点” M″ ， 并直接写出点M的坐标；
（2） 点Q为直线 y=x+4上一动点．
①若点Q关于点M的“旋对点”为点 Q″ ， 试探究直线 QQ″经过某一定点，并求出该定点的坐标；
②在①的条件下，设直线 QQ″所经过的定点为H，取 QM的中点N，连接 NH ， 求 2NH+QH的最小值．