2026年山东省青岛市中考模拟数学自编卷含答案

这是一份2026年山东省青岛市中考模拟数学自编卷含答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题用圆规，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．标志是表明事物特征的识别符号，是企业品牌形象的核心部分．以下4个青岛企业综合100强的企业标志中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．−12026的相反数是（ ）
A．2026B．12026C．﹣2026D．−12026
3．中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7B．14×10﹣7C．1.4×10﹣8D．1.4×10﹣9
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（ ）
A．（1，3）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（﹣2，1）
5．如图，在一个大长方体中截去一个小长方体，得到的新几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．32°B．64°C．61°D．58°
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A．2B．C．D．1
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交于点C，下面四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③；④使△ACB为等腰三角形的a的值有且只有2个．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．的计算结果为 ．
10．抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为 ．
11. 某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是 ．（填写序号即可）
12．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝ ．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为 ．
14．如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为 ．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．已知：线段a，求作：等腰三角形ABC，使∠A＝30°，AB＝AC＝a．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）解不等式组；
（2）计算：．
17．（6分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 70 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
18．（6分）如图，AB是⊙O直径，AB＝20，C为⊙O上一点，过C作⊙O切线，交AB延长线于D，连接OC，过A作AE⊥CD于E，交⊙O于F，AE＝15．
（1）求BD的长度；
（2）连接CF，则∠AFC的度数为 °．
19．（8分）小丽家人准备周末聚餐，小丽在点评软件上初步选定了A、B、C、D四家餐馆（A餐馆从1月份开始营业），综合评分为“口味、环境、服务、食材”四项评分的算术平均数，根据软件数据整理成图表如下：
请根据以上信息回答下列问题：
（1）补全A餐馆2月份﹣3月份的折线统计图，B、C、D餐馆近期6个月综合评分方差最小的为 餐馆；
（2）若小丽将口味、环境、服务、食材四项评分数据按1：4：4：1的比例计算，求D餐馆3月份四项评分数据的平均数；
（3）点评条数的多少能反应出四项评分可靠性的大小，请结合以上信息帮助小丽作出选择，并说明两条理由．
20．（8分）如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，BC＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cs63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
21．（8分）为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下列问题：
（1）该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是多少？
（2）该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有12万人，试求a的值．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．
（1）求证：△COE≌△BOA；
（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．
23．（10分）某工厂生产某种玩具的成本价为20元/件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式同时销售该玩具．电商销售：售价为30元/件；门店销售：第一天售价为50元/件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用455元．已知两种销售方式第x天的销售数量m（件）均满足m＝x+20（0＜x≤45）．（1）直接写出门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式；
（2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和W（元）最大？利润总和最大是多少？
（3）该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？
24.（12分）如图，在▱ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动速度为1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式．
（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？
（4）若点F关于AB的对称点为F′，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2026年青岛市中考数学模拟试卷—6—解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）标志是表明事物特征的识别符号，是企业品牌形象的核心部分．以下4个青岛企业综合100强的企业标志中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项合题意．
故选：D．
2．（3分）−12026的相反数是（ ）
A．2026B．12026C．﹣2026D．−12026
【分析】直接利用相反数的性质得出答案．
【解答】解：﹣12026的相反数是12026
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相关性质是解题关键．
3．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7B．14×10﹣7C．1.4×10﹣8D．1.4×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（ ）
A．（1，3）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（﹣2，1）
【分析】分别作出O，A的对应点O′，A′即可．
【解答】解：如图，△A'O'B即为所求作．观察图象可知，O′（1，3）．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
5．（3分）如图，在一个大长方体中截去一个小长方体，得到的新几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，可得图形如下：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
6．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．32°B．64°C．61°D．58°
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果．
【解答】解：连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝58°，
∴∠1＝90°﹣∠BEC＝90°﹣58°＝32°，
∴∠DOC＝2∠1＝2×32°＝64°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A．2B．C．D．1
【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AB'E＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，∠AB'E＝30°，
∴B'E＝2AE，
设AE＝x，则B'E＝2x＝BE，
∵AB＝6，
∴x+2x＝6，
解得x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交于点C，下面四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③；④使△ACB为等腰三角形的a的值有且只有2个．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由于抛物线开口向上得到a＞0；利用对称轴为直线x＝﹣＞0得到b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①进行判断；由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x＝1，则﹣＝1，即2a+b＝0，可对②进行判断；当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，可得到a与c的关系，可对③进行判断；要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，分别求出a的值即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上
∴a＞0；
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，则abc＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，则﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确；
∵A点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴﹣+c＝＝＝，
∵a＞0，
∴﹣+c＜0，故③错误；
要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵BO＝3，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．故④正确．
故选：C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）的计算结果为 3﹣ ．
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝3﹣，
故答案为：3﹣．
10．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为 a＞﹣8 ．
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到顶点的纵坐标小于0，然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5），
∴该抛物线开口向下，
又∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，
∴＜0，
解得a＞﹣8，
故答案为：a＞﹣8．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．（3分）某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是 ③ ．（填写序号即可）
【分析】通过计算成绩为91、92的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，即可进行选择．
【解答】解：由表格数据可知，成绩为91、92的人数为50﹣（1+2+3+5+7+7+12+10）＝3（人），
成绩为100出现次数最多，因此成绩的众数是100，
所以众数与被遮盖的数据无关，
故答案为：③．
【点评】本题考查众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
12．（3分）双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝ ﹣4 ．
【分析】由反比例函数k的几何意义得到S△OBD＝﹣k2，S△OCE＝﹣k2，S矩形ABOC＝﹣k1，根据S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE＝S四边形ADOE即可求出k1﹣k2．
【解答】解：∵D，E在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限，
∴S△OBD＝OB•BD＝﹣k2，S△OCE＝OC•CE＝﹣k2，
∵A在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限，
∴S矩形ABOC＝OB•OC＝﹣k1
∴k1﹣k2＝﹣[﹣k1﹣（﹣k2）]＝﹣（S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE）＝﹣S四边形ADOE＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|值是解决问题的关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为 12﹣ ．
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，
∴BF＝BG＝2，
∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，
∴S1﹣S2＝4×3﹣﹣＝12﹣，
故答案为：12﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为 ．
【分析】过F作FG⊥BE于G，根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠DCB＝90°，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理得到BF＝＝＝2，过A作AH⊥BF于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥BE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵FG⊥CE，DC⊥CE，
∴FG∥DC，
∵点F是DE中点，
∴DF＝EF，
∵BC＝CE＝4，
∴CG＝GE＝CE＝2，
∴FG＝CD＝2，
∴BF＝＝＝2，
过A作AH⊥BF于H，
∴∠AHB＝∠BGF＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝∠ABH+∠FBG＝90°，
∴∠BAH＝∠FBG，
∴△ABH∽△BFG，
∴，
∴＝，
∴AH＝，
即点A到直线BF的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）已知：线段a，求作：等腰三角形ABC，使∠A＝30°，AB＝AC＝a．
【分析】作一个边长为a的等边三角形ABD，作∠BAD的角平分线AR，在AR上截取AC，使得AC＝AB，连接BC即可．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）解不等式组；
（2）计算：．
【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1），
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴不等式的解集为1≤x＜4．
（2）原式＝•
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．（6分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 70 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；
故答案为：70；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）如图，AB是⊙O直径，AB＝20，C为⊙O上一点，过C作⊙O切线，交AB延长线于D，连接OC，过A作AE⊥CD于E，交⊙O于F，AE＝15．
（1）求BD的长度；
（2）连接CF，则∠AFC的度数为 120 °．
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DE，推出OC∥AE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）连接BC，得到OC＝，求得∠D＝30°，得到∠COB＝60°，根据等边三角形的性质得到∠CBO＝60°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴△ODC∽△ADE，
∴，
∴，
∴OD＝20，
∴BD＝OD﹣OB＝10；
（2）连接BC，
∵∠OCD＝90°，OC＝10，OD＝20，
∴OC＝，
∴∠D＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣∠ABC＝120°，
故答案为：120．
19．（8分）小丽家人准备周末聚餐，小丽在点评软件上初步选定了A、B、C、D四家餐馆（A餐馆从1月份开始营业），综合评分为“口味、环境、服务、食材”四项评分的算术平均数，根据软件数据整理成图表如下：
请根据以上信息回答下列问题：
（1）补全A餐馆2月份﹣3月份的折线统计图，B、C、D餐馆近期6个月综合评分方差最小的为 C 餐馆；
（2）若小丽将口味、环境、服务、食材四项评分数据按1：4：4：1的比例计算，求D餐馆3月份四项评分数据的平均数；
（3）点评条数的多少能反应出四项评分可靠性的大小，请结合以上信息帮助小丽作出选择，并说明两条理由．
【分析】（1）根据表格数据求出A餐馆四项评分的算术平均数，补全A餐馆2月份﹣3月份的折线统计图即可；根据方差的意义和综合评分折线图即可得到B、C、D餐馆近期6个月综合评分方差最小的餐馆；
（2）根据加权平均数的公式计算D餐馆3月份四项评分数据的平均数即可；
（3）根据点评条数，结合折线图作出选择，并说明两条理由即可．
【解答】解：（1）A餐馆2月份﹣3月份的综合评分为：×（4.8+4.7+4.8+4.7）＝4.75（分），
补全A餐馆2月份﹣3月份的折线统计图如下：
由折线图可知，B、C、D餐馆近期6个月综合评分波动最小的是C餐馆，
∴B、C、D餐馆近期6个月综合评分方差最小的为C餐馆；
故答案为：C；
（2）∵＝4.79（分），
答：D餐馆3月份四项评分数据的平均数为4.79分；
（3）选B餐馆．（答案不唯一）
理由如下：①B餐馆点评条数最多说明四项评分可靠性最大；
②从折线图看，B餐馆综合评分成上升趋势．
20．（8分）如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度i＝1：1.8，BC＝6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角∠ADE＝45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角∠ACB＝63.3°，求灯的顶端A与地面DE的距离．
（参考数据：sin63.3°≈0.89，cs63.3°≈0.45，tan63.3°≈2）
【分析】过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，由在Rt△ABC中，tan63.3°＝＝2，解得AB＝12，斜坡CD的坡度i＝1：1.8，得＝，则DG＝1.8CG＝1.8BF，由∠ADE＝45°，得AF＝DF，求出BF的值，由AF＝AB+BF，进而可得答
【解答】解：过点B作BF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
由题意得，BC＝6米，∠ADF＝45°，∠ACB＝60，CG＝BF，BC＝FG，
tan63.3°＝＝2，
∵斜坡CD的坡度i＝1：1.8，
∴＝，
即DG＝1.8CG＝1.8BF，
∵∠ADE＝45°，
∴AF＝DF，
∴AB+BF＝DG+FG，
∴12+BF＝1.8BF+6，
∴BF＝7.5，
∴AF＝AB+BF＝12+7.5＝19.5（米）．
∴灯的顶端A与地面DE的距离为19.5米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．（8分）为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下列问题：
（1）该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是多少？
（2）该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有12万人，试求a的值．
【分析】（1）设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元，由题意：共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有12万人，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：A型车的成本单价为200元，B型车的成本单价为210元；
（2）由题意得：，
解得：a＝20，
经检验：a＝20是原方程的解，且符合题意，
答：a的值为20．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．
（1）求证：△COE≌△BOA；
（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证得∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，进而证得∠CEO＝∠BAO，AB＝CE，根据三角形全等的判定即可证得△COE≌△BOA；
（2）先证得四边形ABEC是平行四边形，进而证得是矩形，根据勾股定理求出AB＝AC，即可得到四边形ABEC是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，
∴AB∥DE，
∴∠CEO＝∠BAO，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
在△COE和△BOA中，
，
∴△COE≌△BOA（AAS）；
（2）解：当BC＝AB时，四边形ABEC是正方形，
理由如下：
由（1）知，AB＝CE，AB∥CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC是矩形，
在Rt△ABC中，
∵BC2＝AB2+AC2，BC＝AB，
∴（AB）2＝AB2+AC2，
∴AB2＝AC2，
∴AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23．（10分）某工厂生产某种玩具的成本价为20元/件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式同时销售该玩具．电商销售：售价为30元/件；门店销售：第一天售价为50元/件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用455元．已知两种销售方式第x天的销售数量m（件）均满足m＝x+20（0＜x≤45）．（1）直接写出门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式；
（2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和W（元）最大？利润总和最大是多少？
（3）该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？
【分析】（1）门店销售方式每天的售价＝第一天的售价﹣（x﹣1）×0.5，把相关数值代入化简即可；
（2）利润总和＝电商销售的利润+门店销售的利润＝电商销售每个玩具的利润×销售数量+门店销售每个玩具的利润×销售数量﹣固定费用，进而根据二次函数的二次项的比例系数，判断出符合实际情况的天数及最大利润总和；
（3）根据门店销售的利润不低于电商销售的利润列出不等式，根据二次函数与不等式的关系判断出相应的天数即可．
【解答】解：（1）y＝50﹣0.5（x﹣1）＝﹣0.5x+50.5；
（2）W＝（30﹣20）（x+20）+（﹣0.5x+50.5﹣20）（x+20）﹣455
＝﹣0.5x2+30.5x+355．
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝﹣＝30.5时，w有最大值．
∵天数为正整数，
∴该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和W（元）最大．利润总和最大＝﹣0.5×302+30.5×30+355＝820（元）．
答：该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和W（元）最大，利润总和最大为820元；
（3）（﹣0.5x+50.5﹣20）（x+20）﹣455≥（30﹣20）（x+20）．
﹣0.5x2+10.5x﹣45≥0．
设P＝﹣0.5x2+10.5x﹣45．
当P＝0时，0＝﹣0.5x2+10.5x﹣45．
x2﹣21x+90＝0．
（x﹣6）（x﹣15）＝0．
解得x1＝6，x2＝15．
如图所示：当6≤x≤15时，P≥0．
答：第6、7、8、9、10、11、12、13、14、15天时，门店销售的利润不低于电商销售的利润．
24如图，在▱ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动速度为1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式．
（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？
（4）若点F关于AB的对称点为F′，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP＝BQ，即8﹣2t＝t，解方程即可求解；
（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD＝6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH＝t，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出BE＝t，根据y＝S四边形APQB﹣S△BEQ即可求解；
（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，可得PE＝6﹣t，根据线段垂直平分线的性质得EQ＝PE，由（2）得QH＝t，可得出BH＝t，根据勾股定理得出EH2+HQ2＝EQ2，列出方程即可求解；
（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB＝∠ABD，由等角对等边得EF＝FB，则BN＝EN＝BE＝t，再证△DPF∽△BQF，可得DF＝2BF，可求出BF＝2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．
【解答】解：（1）：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
若PQ∥AB，
∴四边形PABQ是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴8﹣2t＝t，
∴t＝，
∴当t＝时，PQ∥AB；
（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝100﹣64＝36，即BD＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A＝∠QBH，
又∵∠ADB＝∠BHQ＝90°，
∴△ADB∽△BHQ，
∴，即，
∴QH＝t，
∵PE∥BD，
∴，即，
∴BE＝t，
∴y＝S四边形APQB﹣S△BEQ＝（8﹣2t+t）×6﹣×t×t＝﹣t2﹣3t+24；
（3）如图：
∵PE∥BD，
∴∠APE＝∠ADB，
∵∠A＝∠A，
∴△APE∽△ADB，
∴，即，
∴PE＝6﹣t，
∵点E在线段PQ的垂直平分线上，
∴EQ＝PE＝6﹣t，
由（2）得QH＝t，BE＝t，
∴BH＝＝＝t，
∴EH＝BH+BE＝t+t＝t，
Rt△EQH中，EH2+HQ2＝EQ2，
∴（t）2+（t）2＝（6﹣t）2，即t2+2t﹣4＝0，
解得：t1＝﹣1，t2＝﹣﹣1＜0 （舍去），
∴当t＝﹣1时，点E在PQ的垂直平分线上；
（4）连接FF'交AB于点N，
∵点F关于AB的对称点为F′，
∴∠FEB＝∠F′EB，FN⊥EB，
∵点P，E，F′三点共线，PE∥AB，
∴∠F′EB＝∠ABD，
∴∠FEB＝∠ABD，
∴EF＝FB，
∴BN＝EN＝BE＝t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPF＝∠FQB，
∵DFP＝∠BFQ，
∴△DPF∽△BQF，
∴＝2，
∴DF＝2BF，
∴2BF+BF＝6，
∴BF＝2，
∵∠FBN＝∠ABD，∠FNB＝∠ADB，
∴△BNF∽△BDA，
∴，
∴，解得：t＝，
∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为．
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
1
2
3
5
7
7
10
12
项目
餐馆
口味
环境
服务
食材
点评条数
A
4.8
4.7
4.8
4.7
48
B
4.7
4.8
4.7
4.6
178
C
4.8
4.7
4.5
4.8
98
D
4.6
4.8
4.9
4.5
124
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
1
2
3
5
7
7
10
12
项目
餐馆
口味
环境
服务
食材
点评条数
A
4.8
4.7
4.8
4.7
48
B
4.7
4.8
4.7
4.6
178
C
4.8
4.7
4.5
4.8
98
D
4.6
4.8
4.9
4.5
124