2026年山东省青岛市中考数学模拟预测训练试卷（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．实数2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得．
【详解】解：2026的相反数是，
故选：B．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．2025年5月20日至6月20日，在“十五五”规划编制工作网络征求意见活动中，广大网民踊跃参与，建言献策万余条．将万这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
先“万”写成，再写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：“万”．
故选D．
光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．
由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．
如图，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和．
先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可．
【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角，
∴，，
∵，，
∴，,
∴.
故选：C．
《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：
假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．
那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，
∴；
∵2头牛、5只羊，共值金8两，
∴．
∴根据题意可列出方程组．
故选：D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的混合运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，明确同类项的定义及不同公式的区别，避免运算错误．
根据相关运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A.，故运算正确．
B.与，不是同类项，不能合并，不符合题意；
C.，运算错误，不符合题意；
D.，运算错误，不符合题意．
故选：A．
7. 如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．
若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角．利用切线的性质求得，求得，利用等边对等角求得，利用三角形内角和定理求得，利用圆周角定理求得，再利用等边对等角和圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，
则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果．
【详解】解：∵为BC的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，在中，，
∴；
故选B．
将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，
得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）

A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键．
先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项．
【详解】解：A选项，二次函数，
令，解得，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误；
B选项，二次函数，
对称轴为，
将代入函数解析式可得，
∴原二次函数顶点坐标为，
翻折后新函数图象的对称轴不变，为，
在处，函数没有最大值，B选项错误；
C选项，二次函数，
令，则有，
即，解得，，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，
∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确；
D选项，新函数图象的对称轴为，
由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，
当时，的值随值的增大而增大，D选项错误．
故选：C ．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共个，除颜色外其他完全相同．
小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，
则口袋中红色球可能有 个．
【答案】
【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【详解】∵摸到红色球的频率稳定在16%左右，
∴口袋中红色球的频率为16%，故红球的个数为50×16%=8个．
故答案为8．
如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，
若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．

【答案】3
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键．
先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可．
【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
如图所示，四边形，，均为正方形，且，，
则正方形的边长可以是________．（写出一个答案即可）

【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴正方形的边长，即，
∴正方形的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，
是等腰直角三角形，，，则k的值为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值．
【详解】解：一次函数中，
令，得，
令，则，
解得，
∴B点坐标为，C点坐标为，
过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴A点坐标为，
将代入反比例函数
解得，
故答案为：．
如图，矩形，为的中点，为上一点，沿折叠四边形得到同一平面内的
四边形，点，的对应点分别为，．若，，三点共线，，，则长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作于点，过作于点，则，证明四边形是矩形，则有，，由折叠性质可知，，则，又为的中点，则，所以，从而有，故，设，则，求出，则，设，则，根据勾股定理得，解得，则，同理设，则，所以，，由勾股定理得出，求出的值即可．
【详解】解：如图，过作于点，过作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠性质可知，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，解得：（负值已舍去），
∴，则，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，解得：（舍去），，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共75分）
16．已知：如图，四边形，E为边上一点．

求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求．
【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求．

（1）解不等式组； （2）计算．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）分别求解不等式组中两个不等式，再取它们的公共部分得到解集；
（2）先对括号内式子通分相加，再对分子因式分解，然后通过约分计算出结果 ．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法以及分式的混合运算，熟练掌握解不等式的步骤、分式运算的通分、因式分解和约分是解题的关键．
【详解】解：（1）
解不等式得：
解不等式得：
故原不等式组的解集为；
（2）原式
如图①，以陕西秦岭四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型设计的第十四届
全运会吉祥物，深受大众喜爱．一天，爸爸买回来四个吉祥物的挂件，让兄弟俩每人挑选两个，哥哥和弟弟都想先挑选，于是爸爸设计了如下游戏来决定谁先挑选游戏规则是：将一个可自由转动的转盘分成了四个大小相同的扇形，分别标有数字1，2，3，4；另有一个不透明的袋子，装有分别标有数字7，8，9的三个完全相同的小球（如图②所示）．哥哥转动转盘，弟弟从袋中摸球，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出小球的数字之和为偶数时，哥哥先挑选；否则弟弟先挑选（指针指向分界线时重转）．

弟弟摸出的小球上的数字是“8”的概率为 ；
你认为这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：弟弟摸出的小球上的数字是“8”的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中摸出小球的数字之和为偶数的有6种结果，
摸出小球的数字之和为奇数的有6种结果，
∴哥哥先挑选的概率弟弟先挑选的概率，
这个游戏对双方公平．
某校开展了“弘扬传统文化，传承中华美德”为主题的知识竞赛．
从七、八年级各选取了20名同学， 并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析
（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，
得分在90分及以上为优秀）．
下面给出了部分信息：
七年级20名同学在B组的分数为：93，91，94，91；
八年级20名同学在B组的分数为：94，93，93，93，94，94，94，94，90．

七、八年级成绩统计表
(1)填空：_____，_____，_____；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在知识竞赛中，
哪个年级学生对“中国传统文化”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)该校七年级有920名学生，八年级有900名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】(1)92，94，60
(2)八年级学生的了解情况更好，理由见解析
(3)这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为1137人．
【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是正确理解中位数与众数的定义．
（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级B组同学的分数，可得中位数和众数，由90分及以上人数可得优秀率；
（2）可以对比优秀率；
（3）利用样本估计总体，即可求解．
【详解】（1）解：观察条形统计图可得，七年级选取的学生竞赛成绩的中位数在B组，B组同学的成绩按从小到大排列为：91，91，93，94，
∴排在第10位，第11位的是91，93，
∴；
由扇形统计图可知，八年级A组人数为：（人），
八年级C组人数为：（人），
八年级D组人数为：（人），
由八年级B组数据可知，八年级B组人数为9人，其中94出现了5次，
∴94在八年级数据中出现的次数最多，
∴；
由条形统计图可知，七年级得分在90分及以上的人数有：（人），
∴，
故答案为：92，94，60．
（2）解：∵，
∴八年级学生成绩优秀率高于七年级学生成绩的优秀率，
∴八年级学生的了解情况更好．
（3）解：七年级优秀人数：（人），
八年级优秀人数：（人），
（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为1137人．
五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，
冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，
请你根据报告中的信息，解决两个问题．
【答案】（1）；
（2），不会影响一楼的采光
【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
（1） 根据正切的定义求出；
（2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可．
【详解】解：（1）根据题意，得，
在Rt中，，，，
∵，
∴，
∴楼房的高度为；
（2）如图，延长交的延长线于点F，
∵，
∴
在Rt中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在Rt中，
∵一楼窗户下端距离地面的高度为，
∴不会影响一楼的采光．
近年来，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，
某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，
所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，
如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．
设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），
该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，
该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)700元
(3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解；
（2）把9600代入中，求解即可；
（3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可；
本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数）
．
（2）由题意得，
∴，
解得，，
∵民宿尽最大可能让利游客，，
∴每个房间的定价为（元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3），
∵，
∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．
如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，
过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），
请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)证明见解析
(2)条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等；
（2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
如图，内接于，且是的直径，的平分线与交于点D，与交于点E，
过点D的切线与延长线交于点F．

(1)求证：；
(2)若的半径为2，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）由切线的性质可得，由直径所对的圆周角是直角结合角平分线的定义得到，则由圆周角定理可得，据此可证明结论；
（2）连接，作，垂足为点G．由平行线的性质和同弧所对的圆周角相等可得．由勾股定理可得．求出，则，．证明，得到．则．
【详解】（1））证明：如图，连接．
∵与相切，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵平分，
∴．
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，作，垂足为点G．
∵，
∴．
∴．
在中，．
在中，，，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴．
∴．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B，
与y轴交于点，P为直线下方抛物线上的动点（不与点C重合），与y轴交于点E，
与交于点D．设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线解析式及点B的坐标；
(2)若，求点P的坐标；
(3)设的面积为，的面积为，是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式，再求出时的值，确定点B的坐标即可；
（2）根据，，得出，证出，，设，则，，在中，根据勾股定理解出，得出，求出直线的解析式，联立解析式即可求出；
（3）设点，则，过点P作轴于点F．根据，求出，再根据，即可求解；
【详解】（1）解：将，代入得：，，
解得：，，
∴抛物线解析式为，
令，
解得，．
∴点B的坐标为．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得（舍），，
∴；

（3）设点，过点P作轴于点F．

∴
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值．
25．【问题探究】

（1）如图1，四边形是正方形，，求证：．
请你完成下列解答过程：
证明：作交延长线于，
∴______°，
又∵为正方形，
∴，则有______，，
∴，
∴．又_____，
因此，，
∴，
故成立．
【类比联想】
如图2，四边形中，，，，
求证：．
【关联运用】
（3）如图3，四边形是正方形，点在边上，折叠，得到，的延长线交于，且点恰好为的中点，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】（1）根据题干思路解答即可；
（2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论；
（3）设正方形的边长为，如图所示，连接．由正方形性质和翻折可得，．在 中，，在 中，，得出．即可得．设，则．在 中，由勾股定理列方程求出，表示出，即可求解．
【详解】（1）证明：作交延长线于，
∴，
又∵为正方形，
∴，
则有，，
∴，
∴．
又，
∴，
因此，，
∴，
∵，
∴，
故成立．
（2）证明：延长至点，使得，连接，如图，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：设正方形的边长为，
如图所示，连接．
由正方形性质可得，，
由翻折可得，，
∴，．
在 中，，
在 中，，
所以．
因为是的中点，
所以．
设，则．
在 中，由勾股定理，得，
即．
解得，即，
∴．
1
2
3
4
7
8
9
10
11
8
9
10
11
12
9
10
11
12
13
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
91
95
八年级
91
93
调查目的
居民楼一楼采光是否受到影响
调查数据
①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，
太阳光线与水平线的夹角为．
②一楼窗户下端距离地面的高度为．
③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，
第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上．
建立模型
小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图，
，，，，
，．

测量工具
卷尺
参考数据
，，，．
问题解决
（1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）；
（2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．