2026年山东省济南市中考模拟数学自编卷含答案（二）

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1．下列各数的相反数是负数的是（ ）
A．B．πC．0D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数，负数，先求相反数，再判断正负判断即可．
【详解】A. 的相反数是1，正数，不符合题意；
B. π的相反数是，负数，符合题意；
C. 0的相反数是0，不是正数也不是负数，不符合题意；
D. 的相反数是，正数，不符合题意；
故选B．
2．如图是由球体和六棱柱组合而成的几何体，其左视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】
解：左视图为．
故选：B．
3．据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】∵1皮秒秒，
∴400皮秒秒．
∴秒．
故选：A．
4．若一个正多边形每一个内角的度数比它的每个外角的度数多，则这个多边形是（ ）
A．正八边形B．正九边形C．正十边形D．正十一边形
【答案】B
【分析】设这个正多边形每个内角为x，根据一个顶点处的内角与外角互补列出方程，求出x后，即可求出这个正多边形的外角，进而可得答案.
【详解】解：设这个正多边形每个内角为x，
根据题意得：，
解得：，
∴这个正多边形每个外角是，
则这个正多边形的边数；
故选：B.
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解题意、熟知多边形的外角和是360度是解题的关键.
5．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用三角形的内角和定理求出，利用全等三角形的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
6．下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，进行计算即可求解．
【详解】解：①，故①错误，不符合题意；
②，故②错误，不符合题意；
③，故③错误，不符合题意；
④，故④错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
7．已知关于x的方程有实数根，则系数a的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且二次项系数，继而可求得的范围．
【详解】解：方程有实数根，
当时，
且
解得∶且，
当时，，解得：，
综上：系数a的取值范围是
故选∶D．
8．一个封闭的不透明袋子中有形状、大小完全相同的一个红球，两个黄球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后从袋子中再次摸出一个球，则两次摸到的小球颜色为一红一黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：画出树状图，如下：
共9种等可能的情况，其中两次摸到的小球颜色为一红一黄的情况有4种，
∴；
故选：A．
9．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④=−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】证明△AHG≌△AHB（ASA），得出AF是线段BG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质和正方形的性质即可得出②正确；设OA=OB=OC=a，由菱形和正方形的性质得出OA=OB，证出∠OAE=∠OBG，由ASA证明△OAE≌△OBG，可得出①正确；求出OG=OE=a-b，由平行线分线段成比例定理可得出④正确；证明△EAB≌△GBC（ASA），得出BE=CG，可得出③正确；证明△FAB≌△PBC（ASA），得出BF=CP，则三角形的面积公式，可得出⑤错误；即可得出结论．
【详解】解：∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠GAH=∠BAH，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
在△AHG和△AHB中，
，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠CAF=×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，
∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BEGF是菱形；②正确；
设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，
∵四边形BEGF是菱形，
∴GF∥OB，
∴∠CGF=∠COB=90°，
∴∠GFC=∠GCF=45°，
∴CG=GF=b，∠CGF=90°，
∴CF=GF=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠OAE=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA），①正确；
∴OG=OE=a-b，
∴△GOE是等腰直角三角形，
∴GE=OG，
∴b=（a-b），
整理得a=b，
∴AC=2a=（2+）b，AG=AC-CG=（1+）b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PC∥AB，
∴=1+，
∵△OAE≌△OBG，
∴AE=BG，
∴=1+，
∴=-1，④正确；
∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°，
∴∠EAB=∠GBC，
在△EAB和△GBC中，
，
∴△EAB≌△GBC（ASA），
∴BE=CG，③正确；
在△FAB和△PBC中，
，
∴△FAB≌△PBC（ASA），
∴BF=CP，
∴，⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．已知线段的端点坐标分别为，，二次函数的图象与线段有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据题意在直线上，得到抛物线与直线的交点坐标分别为，，分两种情况讨论：（一）当在左边，（1）若M，N重合（即为抛物线顶点），则；（2）M在N的左边，即，时，；（3）若M在N的右边，即，时，，都在线段上，不符合题意；（二）当在的右边或A与B重合时，，，都不在线段上，不符合题意；得到的取值范围时或．
【详解】解：，可知在直线上，
由，解得：，，
抛物线与直线的交点坐标分别为，，
抛物线与线段有且仅有一个公共点，即，中有且仅有一个点在线段上，分类讨论如下：
（一）当在左边，，时
（1）若M，N重合（即为抛物线顶点），有，，此时，，点在线段上，符合要求；
（2）若M在N的左边，即，时
，B在N的右边，
如图：
则有，，解得：．
（3）若M在N的右边，即，时
此时，，，A在M的左边，B在N的右边，
如图：
即，都在线段上，不符合题意．
（二）当在的右边或A与B重合时，，，
如图：，都不在线段上，不符合题意．
的取值范围时或．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。
11．分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项：，
∴，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
故答案为：．
12．初三毕业班有10个同学聚会，其中有4名女生，如果每两个同学之间握手一次，则握手的两个同学为异性的概率为_________．
【答案】
【分析】本题考查了用概率公式计算概率，解决本题的关键是熟练掌握概率公式，先分别计算出10个同学每两人握手一次共握手的次数，4名女生之间握手的次数，6名男生之间握手的次数，再计算概率即可．
【详解】解：10个同学每两人握手一次共握手（次），
4名女生之间握手（次），
6名男生之间握手（次），
所以握手的两个同学为异性的概率为．
故答案为：
13．如图，在中，，点A，点C分别在直线a，b上，且．若，则的度数为_______．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得 ，然后利用平行线的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∵，，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米．
【答案】
【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可．
【详解】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：（千米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式．
15．如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则___．
【答案】或
【分析】设，则，由翻折得：．当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平分，可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
【详解】解：设，则，
由翻折得：，当时，，
∵为矩形，
∴∠B＝，
由勾股定理得：，
解得：；
当时，如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得 ，
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程是解题的关键，有一定难度．
三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
17．解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是
整数解为，0，1，2，3
18．如图，在菱形中，于点，于点，与、分别相交于点、．
求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
19．如图1是水平放置的手机支架，图2为其平面示意图，已知，，，，求手机支撑点到水平面的距离．（精确到）（参考数据：，，，，）
【答案】
【分析】先求出，再利用正弦求出，然后求出，用余弦求出，再求出即可．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
故手机支撑点到水平面的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，角的和差，线段的和差等知识点，解题关键是构造直三角形求解．
20．如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）连接、，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，推出是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，求得于是得到结论；
（2）在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
又∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
21．为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：
，，，，，
随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ；
(2) ，并补全图中的频数分布直方图；
(3)在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分；
(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)，补全如图所示
(3)
(4)乙将获得“环保之星”称号
【分析】（）直接即可；
（）根据“”组即可；
（）根据中位数的概念即可；
（）根据的权重分别计算即可；
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答．
【详解】（1）“组”所对应的扇形的圆心角是:，
故答案为：；
（2），并补全频数分布直方图如图，
故答案为：；
（3）由（）得：，即抽取名学生，
即中位数排在第，位的平均数，为，
故答案为：；
（4）甲：，
乙：，
∵，
∴乙将获得“环保之星”称号．
22．某市扶贫组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输这批物资总费用不超过4600元．大货车最多能租多少辆？最多能运输多少件物质？
【答案】(1)1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资
(2)大货车最多能租8辆，最多能运输件物质
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的应用．
（1）假设出1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输的件数，列出二元一次方程组即可；
（2）设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆，总计运送货物y件，即有：，，先根据运输费用求出，问题即可得解．
【详解】（1）解：设1辆大货车一次满载运输件物资，1辆小货车一次满载运输件物资，
根据题意得，
解得，
1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资；
（2）解：设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆，总计运送货物y件，
即有：，，
总费用不超过4600元，
，
解得，
为整数，
大货车最多可以租8辆，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值：，
大货车最多能租8辆？最多能运输件物质．
23．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上．
(1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标；
(2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标；
(3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或
【分析】（1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得，求解即可得点F坐标．
（2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可．
（3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得：
∴
把代入，得，
解得：，
∴
联立两函数解析式，得
，解得：，，
∴．
（2）解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，
则四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∴
设直线为，
将点，代入中，
则解得，
所以直线的解析式为，
设点，过点P作轴交直线于点Q，则
∴
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴或，
解得或（其中，方程无解），
故点P的横坐标为或．
（3）解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图，
∵，，
又∵点M在x轴上，
∴点F向上平移3个单位，
∴点E向上平移3个单位，
∴点N纵坐标为9，把代入，得，
∴，
∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合，
∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合，
∴；
同理可得；
连接交于P，
∵，
∴点P为与的中点，
∴，
∴
∴，即，
∴，
把代入，得，
∴
∵，
∴
∴
∴
综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型．
24．如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值；
(3)如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N点坐标为或
【分析】（1）求出A，B两点的坐标，再由待定系数法即可求出函数表达式；
（2）设，先求出直线的解析式为，则与对称轴的交点为，可得，即可得出结论；
（3）求出平移以后得抛物线的解析式为，则，设，分；两种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时，，②当为平行四边形的对角线时，．
【详解】（1）令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴与对称轴的交点为，
∴，
∴当时，面积的最大值为；
（3）存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵直线的解析式为，
∴将该抛物线沿射线的方向平移个单位，即抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴，
由（2）知，，
∵轴，
∴，
设，
∵，
∴与一定是平行四边形的一组对边，
①当为平行四边形的对角线时，
∴，即，
解得，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
∴，即，
解得，
∴；
综上所述：N点坐标为或．
【点睛】本题综合考查二次函数和平行四边形的相关知识，属于压轴题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数图象的平移的性质是解题的关键．
25．在中，，，点是平面内一点．
(1)如图1，当点为中点时，连接，作的平分线交于点，，求线段的长；
(2)如图2，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是线段中点，连接交延长线于点，当时，求证：；
(3)如图3，点为线段中点，连接，为平面内一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．过作的平行线，交直线于点，连接．将沿翻折得到，当线段最短时，直接写出此时的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点B作于H，证明，则；设，则；由已知得，由，则可得x的值，由勾股定理求得结果；
（2）延长到M，且使，连接并延长交于N，过点D作于P，证明，得；由得A、F、D、B四点共圆，则得，从而；由易得；证明四边形为矩形，则；由，由即可求证；
（3）连接，由平行线性质得，则，则B，N，C，D四点共圆，得，即点N在以为直径的圆上；设此圆的圆心为H，连接，当点N在线段上时，最小；连接交于Q，过N作于K；设，利用相似三角形的性质及勾股定理可计算出，由对称性质得，；再在中由面积关系可计算出；由勾股定理可计算出，即可求得结果．
【详解】（1）解：点E作于H，
，
，
，
；
为中点，，，
，
；
设，则；
为的平分线，，
，
，
，
，
，
，
，
即；
由勾股定理得；
（2）证明：如图，延长到M，且使，连接并延长交于N，过点D作于P；
点是线段中点，
，
，
，
，
；
，
；
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
A、F、D、B四点共圆，
；
，
；
，
，
；
，
；
，
四边形为矩形，
；
，
，
；
；
；
（3）解：如图，连接，
，
，
，
，
，
B，N，C，D四点共圆；
为中点，且，
，
即点N在以为直径的圆上，设此圆的圆心为H，连接，如右图，
当点N在线段上时，最小；
连接交于Q，过N作于K；
则，
，
；
设，则，，
则；
，
；
由勾股定理，即；
，
即，；
；
在中，由勾股定理得，
由对称性质得，；
则；
在中，，
；
；
为圆的直径，
；
在中，由勾股定理得，
．
【点睛】本题是圆与三角形的综合，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆的性质，对称的性质，旋转的性质，矩形的判定与性质等知识，综合性强，涉及的知识点多，难度较大；对于前两问，证明相似与全等是关键；对于第三问，确定点N的轨迹是关键．