初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.1 四边形及多边形教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.1 四边形及多边形教学设计，共14页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本节课是人教版八年级下册“四边形”章节的重要内容，是三角形、四边形知识的延伸与拓展.它不仅为后续学习正多边形、圆内接多边形等内容奠定基础，还通过“从特殊到一般”的思想，培养学生的逻辑推理与归纳能力，在几何知识体系中起到承上启下的作用.
教材从生活中的多边形形象(如房屋、蜂巢、窗户)出发，激发学生兴趣，引出多边形的概念；
然后类比三角形、四边形，定义多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等核心概念，区分凸多边形与正多边形.通过“从一个顶点引对角线分割三角形”的方法，推导五边形、六边形的内角和，进而归纳出n边形内角和公式(n-2)×180°；再通过内角与外角的邻补关系，推导出多边形外角和恒为360°
通过典型例题(如内角和是外角和2倍的多边形边数问题)，示范公式的应用方法；设置角度计算、边数判断等习题，强化学生对公式的理解与运用.

二、学情分析
(1)已有基础
学生已掌握三角形、四边形的内角和与外角和知识，具备初步的几何推理能力；能够通过观察、操作(如分割图形)进行简单的归纳与猜想.
(2)存在困难
对“从n边形一个顶点引(n-3)条对角线，分割成(n-2)个三角形”的逻辑理解不透彻，易混淆对角线数量与三角形个数.对多边形外角和恒为360°的本质理解不足，容易机械记忆结论，忽略其与内角和的关联；在综合应用内角和、外角和公式解决问题时，容易出现公式混淆或计算错误.
(3)认知特点
八年级学生以具象思维为主，对直观操作(如分割图形、观察生活实例)的接受度较高；具备一定的抽象概括能力，但需要通过类比、归纳等方法逐步过渡到抽象的公式推导；对“为什么”的探究欲较强，适合通过问题链引导其主动建构知识.

三、教学目标
1.理解多边形的定义及相关概念(边、顶点、内角、外角、对角线)
2.掌握多边形内角和公式(n一2)×180°与任意多边形外角和为360°，并能灵活应用.
3.通过类比三角形、四边形的知识，培养迁移与归纳能力.
4.感受多边形在生活中的广泛应用，激发几何学习兴趣；在合作探究中培养严谨的推理习惯与表达能力.

四、教学重难点
重点：理解多边形的定义及相关概念(边、顶点、内角、外角、对角线)；
难点: 掌握多边形内角和公式(n-2)×180°与任意多边形外角和为360°，并能灵活应用.

五、教学过程
情境导入
法国的建筑事务所 atelierd 将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“蜂窝”.这座小房子为昆虫和人类提供了一个小小避难所.
在自然界中，蜜蜂用六边形构筑蜂巢，用最少的材料获得了最大的空间和最强的结构.
今天，我们就从这座神奇的“蜂窝”建筑出发，一起探索多边形的奥秘.
师生活动：教师展示蜂巢建筑图片，提问：“为什么蜜蜂选择六边形筑巢?”，学生观察图片，结合生活经验讨论，初步感知六边形的结构优势.教师引导学生从“材料、空间、结构”三个角度思考，引出多边形的学习主题
设计意图：从生活实例出发，激发学生好奇心与探究欲，让学生感受多边形在自然界与建筑中的应用，体会数学的实用性与美感，自然导入新课.
探究新知
活动一：探究多边形的定义及组成元素
问题1：多边形在生活中也很常见，观察图片，你能从中找出一些多边形的形象吗?
师生活动：教师展示生活中的多边形图片，引导学生观察并说出图形名称；追问学生类比四边形定义多边形，再让学生类比说出边、顶点等概念，教师补充纠正并总结定义要素.
答：
追问：你能依照四边形的概念给这些图形命名吗?
多边形：在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
总结：多边形定义的要素：
①在同一平面内；②若干条线段；③首尾顺次连接；④封闭图形.
注意：不是多边形.
问题2：能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行分类呢？
三角形是最简单的多边形
总结：多边形有几条边就叫作几边形.
问题3：请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
边：组成多边形的各条线段.
顶点：每相邻两条线段的公共端点.
内角：多边形相邻两边组成的角.
外角：多边形角的一边与另一边的延长线组成的角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
设计意图：从生活实例出发，通过类比迁移建构多边形概念，让学生感受“从特殊到一般”的思想，培养观察、归纳与表达能力，为后续学习奠定基础.
问题4：探究多边形对角线的条数.
（互动探究）
师生活动：教师引导学生探究对角线，引导学生推导n边形对角线数量公式；结合公式确定边数的两种方法，组织学生完成六边形画图练习，标注边、顶点等要素并画出全部对角线，教师巡视指导.
总结：多边形中的数量关系：
(1)顶点、边数、内角和外角：一个 n 边形有 n 个顶点，n 个内角，2n 个外角；
(2)对角线条数：n 边形从一个顶点出发，能画出(n－3)条对角线，共有nn−32条对角线．
由对角线条数，确定多边形边数的两种方法:
(1)已知过一个顶点的对角线条数 m，可根据 n－3＝m 求得多边形的边数；
(2)已知所有对角线的条数 x ，可利用 nn−32=x 建立等式，尝试给 n 取不同的值，让上面的等式成立．
练一练：指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线.
六边形的边：AB，BC，CD，DE，EF，FA.
顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F.
内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE， ∠DEF，∠AFE
外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6
对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF.
设计意图：借助互动探究突破公式推导难点，通过“推导——应用——实操”的环节，落实对角线相关知识，培养学生的数形结合能力与逻辑推理能力，巩固多边形核心概念.
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的五边形，记作“五边形ABCDE”
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形，今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
师生活动：教师展示凸、凹多边形图例，示范用顶点字母表示多边形；引导学生对比并归纳凸多边形特征，让学生观察图形判断是否为凸多边形，教师点评纠错.
设计意图：通过直观对比与辨析，让学生精准掌握凸多边形的定义与表示方法，强化几何图形的分类意识，培养观察分析与抽象概括能力，为后续内角和学习奠定基础.
问题5：正方形的边、角有什么特点？
师生活动：教师先提问正方形边、角特点，再出示反例引导学生辨析；接着展示正三角形、正方形等图形，让学生归纳共性，尝试定义正多边形，教师补充强调“角相等、边相等”需同时满足.
答：各个角都相等；各条边都相等
（同时满足）
这个图形各个角都相等，但各条边不都相等，不是正方形
这个图形各条边都相等，但各个角不都相等，不是正方形
问题6：观察下图的多边形，它们的边、角有什么特点？你能给这样的多边形下个定义吗？
答：它们的各个角都相等、各条边都相等
总结：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
注意：各个角都相等、各条边都相等必须同时满足.
设计意图：从学生熟悉的正方形出发，通过正反例对比，引导学生自主建构正多边形概念，渗透“定义需同时满足条件”的严谨性，培养归纳与辨析能力.
活动二：探究多边形的内角和
问题7：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗?
师生活动：教师引导学生类比四边形，从五边形、六边形入手，通过画对角线分割三角形，推导内角和；再组织学生探究其他分法，归纳出n边形内角和公式，最后总结正多边形内角的计算方法.
分析：从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于 180°×____．
从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于 180°×____．

答:2；3；3； 3；4；4
问题8：由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗?
答：
总结：一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
问题9：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗?
n个三角形
内角和n180°360°
(n2)180°
(n1)个三角形
内角和(n1)180°180°
(n2)180°
总结：由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍.
多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°.
多边形内角和问题常通过添加辅助线将其转化为三角形的内角和问题.
方法总结：
正多边形的内角和可以用每个内角的度数乘正多边形内角的个数(或正多边形的边数)来表示.
因为正多边形的每个内角相等，所以正n边形的每个内角的度数为(n－2)×180°n.
设计意图：让学生经历“特殊到一般”的推导过程，体会转化思想，自主建构内角和公式，培养逻辑推理与归纳能力，同时通过多种分法深化对公式本质的理解.
问题10：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度?
师生活动：教师引导学生类比四边形，通过“内角与外角互补”推导外角和；播放运动视角的视频，让学生直观理解外角和为360°；再总结其在正多边形中的应用，强调外角和与边数无关.
分析：多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.
n 边形的内角和与外角和的总和等于__________.
n 边形的内角和等于_____________.
∴n 边形的外角和等于： .
答：邻补角；n × 180°；(n－2)×180°；n×180°－(n－2)×180°= 360°
问题11：你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？
（互动探究）
总结：多边形的外角和等于 360°.
多边形的外角和在正多边形中的应用：
(1)正n边形的每一个外角都是360n；
(2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为360°α.
注意：1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.
2. 多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
设计意图：从代数推导和直观运动两个维度，帮助学生理解外角和的本质，突破”与边数无关”的认知难点，培养多角度思考和数形结合的能力.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示例题，引导学生明确已知条件与所求问题；师生共同分析，找出内角和与外角和的数量关系，列方程求解；教师规范解题步骤，强调公式应用与书写格式.
例1 一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？
分析：多边形内角和等于(n－2)× 180°，外角和等于 360°，利用内角和与外角和公式列方程求解边数.
解：设这个多边形的边数为 n.
因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°，
所以 (n－2)× 180° = 2 × 360°.
解得 n = 6.
因此这个多边形是六边形.
设计意图：通过典型例题，巩固内角和与外角和公式的综合应用，强化“方程思想”在几何解题中的运用，规范解题流程，帮助学生实现知识从理论到实践的转化.
【经典例题】
师生活动：教师出示两道例题，引导学生用比例法和分类讨论法分析；师生共同完成例2的方程求解，例3的三种截角情况讨论，教师板书规范步骤，强调分类思想.
例2 两个正多边形，它们的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数.
分析：设两个正多边形的边数分别为k和2k(k为正整数)，根据内角和公式分别表示出它们的内角和，再根据内角和之比为3:8列出方程求解k，从而得到两个多边形的边数.
解：设这两个正多边形的边数分别为k，2k，
则其内角和分别为(k－2)×180°，(2k－2)×180°.
根据题意列方程得(k－2)×180°∶(2k－2)×180°＝3∶8，解得k＝5，则2k＝10.
因此，这两个正多边形的边数分别为5和10.
例3 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2 880°，则原多边形的边数是多少？
分析：
解：设原多边形的边数为n，
将一个多边形截去一个角后图形有以下三种情况：
①当边数增加1时，则有(n＋1－2)×180°＝2 880°，解得n＝17；
②当边数不变时，则有(n－2)×180°＝2 880°，解得n＝18；
③当边数减小1时，则有(n－1－2)×180°＝2 880°，解得n＝19.
综上可知，原多边形的边数是17 或18 或19.
特别提醒:
一个多边形(除三角形外)截去一个角后，按不同的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增加1，边数不变，边数减少1.以五边形为例，如图所示.
设计意图：通过典型例题，深化内角和公式的应用，培养学生的方程思想与分类讨论能力，提升几何问题的综合分析与严谨推理水平.
课堂练习
【教材练习】
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图①中，∵五边形的内角和等于(5－2)×180°= 540°，
∴150 + 120 + 90 + x + 2x = 540.
∴x = 60.
图②中，∵六边形的内角和等于(6－2)×180°= 720°，
∴x + x + x + x + 90 + 90 =720.
∴ x = 135.
图③中，∵AB∥ CD，∴∠B +∠C = 180°.
∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D +∠E = (5－2)×180°= 540°，
即 135 + 180 + 150 + x = 540，
∴x = 75.
2.（1）一个多边形的内角和等于 1080°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的每一个内角都等于 120°，这个多边形是几边形？
（3）一个多边形的每一个外角都等于 72°，这个多边形是几边形？
解：（1）设这个多边形的边数为 n.
则有 (n－2)×180°= 1080°. ∴ n = 8.
因此这个多边形是八边形.
（2）由题意，得每一个外角都等于 180°－120°= 60°.
∵360°÷ 60°= 6，∴这个多边形是六边形.
（3）∵360°÷ 72°= 5，∴这个多边形是五边形.
师生活动：教师布置教材练习，学生独立完成角度计算与边数求解；教师巡视点拨易错点，邀请学生板演并讲解思路，师生共同订正，梳理不同题型的解题方法.
设计意图：通过分层练习，巩固内角和、外角和公式的灵活运用，强化数形结合与方程思想，检测学生知识掌握情况，实现从例题到实战的迁移，提升解题熟练度.
【限时训练】
1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是( )
A. 十边形B. 十一边形 C. 十二边形 D. 十三边形
分析：解：设这个多边形是n边形．依题意，得n−3=10，
∴n=13．
故这个多边形是十三边形．
答：D
2.若一个正多边形有5条对角线，则这个多边形每个外角的度数是( )
A. 30∘B. 45∘C. 72∘D. 90∘
分析：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形共有5条对角线，
∴n(n−3)2=5，解得n=5，
∴此正多边形的每个外角度数为360∘÷5=72∘，
故选：C．
答：C．
3.如图，在由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数为( )
A. 72°B. 82°C. 84°D. 94°
分析：如图，
正六边形一个内角为120°，正五边形一个内角为108°，
由题意得：∠3=360°÷6=60°，∠4=360°÷5=72°，
则∠2=180°−60°−72°=48°，
所以∠1=360°−48°−120°−108°=84°．
答：C
4.如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215∘，则∠BOD的度数为( )
A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘
分析：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，
∵五边形OAGFE内角和=(5−2)×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°−505°=35°．
故选B
答：B
5.在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600∘．
(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数．
(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在，请求出边数及这个外角的度数;如果不存在，请说明理由．
解：(1)设这个外角的度数是x∘，则(5−2)×180−(180−x)+x=600，
解得x=120.故这个外角的度数是120∘．
(2)存在.设边数为n，这个外角的度数是x∘，
则(n−2)×180−(180−x)+x=600，整理，得x=570−90n．
∵0