湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三下学期开学测试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用自然数集的含义描述集合 ，根据集合交集运算求解.
【详解】根据题意，集合 表示从 开始 奇数的集合，即 ，
.
故选：C.
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可得复数 ，进而可得 及 .
【详解】由题 ，故 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
3. 已知向量 满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据向量模的公式得 ，再求模即可.
【详解】解：因为 ， ， ，
所以， ，
所以， .
又 ，
所以 .
故选：C
4. 函数 的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数零点及函数在 时函数值的符号，利用排除法求解.
【详解】令 ，
解得 或 ，即函数有 2 个大于 0 的零点，排除 BD 选项；
又当 时， ，故可排除 A 选项.
故选：C
5. 记 为数列 的前 n 项积，已知 ，则 （ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】D
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【解析】
【分析】当 时，有 ，当 时，有 ，结合题目条件，即可求得本题答案.
【详解】1.当 时， ， ， ；
2.当 时，有 ，代入 ，得 ，
化简得： ，则 ， .
故选：D
6. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐，每个人从 这 5 种菜中任意选用 2 种，则 菜有 2 人选用、 菜
有 1 人选用的情形共有（ ）
A. 54 B. 81 C. 135 D. 162
【答案】C
【解析】
【分析】先选出选择 菜的两人，再分两人中有 1 人选用了 B 菜和都没有选择 B 菜两种情况讨论求解即可.
【详解】 菜有 2 人选用有 种，比如甲、乙选用了 菜，
①甲、乙之中有 1 人选用了 B 菜，有 种，比如甲用了 B 菜，则乙从 中任意选用 1 种，有 种，
丙从 C，D，E 中任意选用 2 种，有 种，故共有
②丙选用了 B 菜，丙再从 中任意选用 1 种，有 种，甲、乙再从 中各任
意选用 1 种，有 种，故共有
由①②可知所有情形是 .
故选：C
7. 过 作直线 交圆 于另一点 ，连接 和 的直线交椭圆 于另一点
，设直线 、 的斜率分别为 、 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】由题意可得 ，然后利用点 F 在椭圆上结合两点斜率公式求得 ，进而可得结
论.
【详解】设 的斜率为 ，因为 ， ，
所以 为圆 的直径，所以 ，
设 的坐标为 ，所以 ，
所以 ，故 .
故选：A.
8. 若函数 满足 ， ，设 的导函数为 ，当
时， ，则 （ ）
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的周期性和对称性求解.
【详解】由 ， ，知函数关于 ， 点对称，
结合当 时， ，作出函数图象如图，
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为向上攀爬的类周期函数，由图象可得 ，
由 可得 ，
，
由 可得 ，
，
所以 ，则有 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选:A.
二、多选题
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 不等式 的解集为 或
B. 不等式 的解集为
C. 不等式 的解集为
D. 设 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
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【分析】解出各选项中的不等式后可判断．
【详解】A 选项， 或 ，A 正确；
B 选项， ，B 正确；
C 选项， 或 ，即 或 ，C 错误；
D 选项， ， ，而 是
的真子集，D 正确．
故选：ABD．
10. 如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器一边 于地面上，再
将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）
A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面 所在四边形的面积为定值
C. 随着容器倾斜度的不同， 始终与水面所在平面平行
D. 当容器倾斜如图（3）所示时， 为定值
【答案】AD
【解析】
【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意 始终在桌面上），可得结论．
【详解】由于 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正
确；
图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；
图（3）中 与水面就不平行，C 错；
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图（3）中，水体积不变，因此 面积不变，从而 为定值，D 正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
11. 已知函数 的图像关于 对称，则（ ）
A. 在 上单调递减
B. 在 上有两个极值点
C. 直线 是 的对称轴
D. 直线 是 的切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用图像关于 对称，求得 ，进而求得解析式，利用余弦函数 单调性判断 A；结合极值
点的概念利用余弦函数性质判断 B；利用余弦函数的对称性判断 C；利用导数的几何意义求解切线方程判断
D.
【详解】因为函数 的图像关于 对称，
所以 即 ，又 ，所以 ，
所以 ，
令 ，又 ，所以 ，所以 不单调，故 A 错误；
因为 ，所以 ，所以 有两个极值点，故 B 正确；
因为 ，所以直线 是 的对称轴，故 C 正确；
因为 ，令 ，即 ，
所以 或 ，
解得 或 ，又
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所以 时的切线方程为 ，即 ，
所以直线 是 的切线，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12. 从 ， ， ，2，3，4，6，9 中任取两个不同的数，分别记为 ， ，记 “ ”，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.
【详解】因为 ，所以 或 ，
从 中任取两个不同的数，共可得到 取法，
其中对数值为负数的有 个，
所以
故答案为： .
13. 在三棱锥 中，对棱 ， ， ，则该三棱锥的外接
球体积为________，内切球表面积为________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】将三棱锥 补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥 的
外接球半径，计算出 的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的
体积和表面积公式可求得结果.
【详解】因为三棱锥 每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥 放入长方体中，
设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，如下图所示：
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则 ， ， ，解得 ， ，
外接球直径 ，其半径为 ，
三棱锥 的体积 ，
在 中， ， ，取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
则 ，且 ，所以， ，
因为三棱锥 的每个面的三边分别为 、 、 ，
所以，三棱锥 的表面积为 ，
设三棱锥 的内切球半径为 ，则 ，可得 ，
所以该三棱锥的外接球体积为 ，内切球表面积为 .
故答案为： ； .
14. 在四边形 ABCD 中，已知 ， ， ， ，若 C，D 两点关于
y 轴对称，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，依题意可得 ，即 ，整理即可得到
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的顶点 C 的轨迹方程，由 ，设 ，求出 的轨迹方程，再将 D 的轨迹方程沿 y
轴翻折得到 ，与双曲线求交点坐标，即可得解；
【详解】解：设 ， ，由 得 ，
当点 C 在 x 轴上方时， ，故有
当点 C 在 x 轴下方时， ，故有
两者都有 ，所以
则 ，化简得
的顶点 C 的轨迹方程为
由 ，设 ，得点 D 的轨迹方程为
，把圆 沿 y 轴翻折得到 ，与
联立消元 ，得到
解得 或 （舍去），所以
故答案为：
四、解答题
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知
（1）求证： ；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到 ，再利用正弦定理将边化角得到
，即可得到 ，从而得证；
（2）解法 1：由（1）可知 ，再根据三角形为锐角三角形，得到角 的取值范围，则
，即可求出 的取值范围；解法二： 利用 ，边化角可求其范围.
【小问 1 详解】
由余弦定理 ，
代入 得 ，则 ，
由正弦定理得
所以 ，
所以 ,
得
由 知 ，故 ，
所以 或 （舍去）
所以
小问 2 详解】
解法 1： ，由 得 ，
所以 ，
.
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，
由 ，得 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ；
解法 2：由 得 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以 .
16. 如图，三棱柱 中，底面 是边长为 2 的正三角形， ， ，
为 的中点.
（1）求证： ⊥平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
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【分析】（1）由已知利用勾股定理的逆定理可得 ，可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，又因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
【小问 2 详解】
以 为原点， 直线为 轴，在平面 内过点 与 垂直的直线为 轴，直线 为 轴建立空间直
角坐标系，如图所示，
则 ，
所以 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
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则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 进行独立重复试验，设每次成功的概率为 ，则失败的概率为 ，将试验进行到恰好出
现 次成功时结束试验，以 表示试验次数，则称 服从以 ， 为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记
为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ， ， ．
①求 ；
②要使得在 次内结束试验的概率不小于 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得；
（2）①依题意可得 ， ，再利用裂项相消法求和即可；
②①可知 ，即 ，令 ，判断 的单调性，再由特殊值即可求出 的
取值范围，即可得解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
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①因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以
；
②由①可知 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 单调递减，又 ， ，
所以当 时 ，则 的最小值为 .
18. 设双曲线 的右焦点为 ， 到其中一条渐近线的距离为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过 的直线交曲线 于 两点（其中 在第一象限），交直线 于点 ，
（i）求 的值；
（ii）过 平行于 的直线分别交直线 、 轴于 、 ，记 ，求实数 的值．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）结合点 F 到其中一条渐近线的距离为 2 和 ，即可求得双曲线 的方程；
（2）（i）设 AB 直线方程为 ， ，得 ，直线方程与双曲线方程联
立消 ，然后由韦达定理得 ，把 逐步化简，即可求得本题答案；
（ii）把 和 的直线方程分别求出，联立可求得 ，进而计算可得结论.
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【小问 1 详解】
因为 到其中一条渐近线的距离为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以双曲线 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设 直线方程为 ，则
代入双曲线方程得： .
设 ，则 ，
（i） ，
而
，
所以 ，则 ，
所以 ；
（ii）过 平行于 的直线方程为 ，
直线 方程为 与 联立
得 ，
即 ，
则 ，
所以 ，
由 两式相除得
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，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故 为线段 的中点，即 ，
所以 ．
19. 设 ， ， .已知函数 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）当 时，不等式 是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出
反例.
（3）证明：若正实数 满足 ， ，则必有 ．
【答案】（1）
（2）恒成立，证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义导数值等于切线的斜率即可求解.
（2） 时，将不等式 恒成立，转化为
恒成立，构造函数 和 分别证
明不等式两侧恒成立即可.
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（3）利用（2）的结论当 时，不等式 恒成立，则当 时，
由 可证明 ，再由 可证明所以 即可求解.
【小问 1 详解】
设 ，
，
则函数 在 处的切线方程为
即
与 对照，知 且
所以
【小问 2 详解】
由（1）知
结论：当 时，不等式 恒成立
证明：由
推得 ， .
设 ，则 ，
令 ，当 时，
所以 在 上单调递增，又
故 ， 所以 .
所以 在 上单调递增，又
所以
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而
设 ，
则 ，令
所以 在 上递增，又
即 ，
所以 在 上递增，又
所以 ，即
所以 ，
【小问 3 详解】
因为 上递增，
故当 时，必有
由（2）知当 时，
所以
当 时，有 ，即
设 ，对称轴
欲证 ，只需证
即证 ，
即证 ，即证 ，成立，所以
又由（2）知
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所以
当 时，有 ，即
设 ， 在 递增
欲证 ，只需证
即证 ，
即证
即证 ，即证
即证 ，即证 成立，所以 .
综上， ，