数学成对数据的相关关系图文课件ppt

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从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势
两个变量呈正相关或负相关，且散点图落在一条直线附近
核心问题：散点图虽然直观，但只能大致描述，如何准确量化成对样本数据的相关程度？
问题1：三个散点图中两个变量的相关程度一样吗？
问题2：哪一组的线性相关性更强？
问题3：如何准确描述这种差异？
解决方案：散点图虽然直观，但只能大致描述，无法准确量化成对样本数据的相关程度。需要引入一个恰当的 "数字特征" ，对成对样本数据的相关程度进行定量分析。
数据预处理方法：中心化
数据预处理的常用方法：中心化（零均值化）
将每个数据减去其均值，使得新数据的均值为0。即：x'ᵢ = xᵢ - x̄，y'ᵢ = yᵢ - ȳ
数据平移后的散点图分布
中心化后，数据点分布在以原点为中心的区域，便于观察数据的正负特征和分布规律。
基于中心化后的数据，我们可以进一步分析不同相关类型的坐标特征。
不同相关类型的坐标特征
特征：数据点主要分布在第一、第三象限，(x', y') 基本同号
特征：数据点主要分布在第二、第四象限，(x', y') 基本异号
特征：数据点均匀分布在四个象限，(x', y') 正负无明显规律
特征：数据点呈现曲线趋势，线性相关系数 r ≈ 0
核心发现：通过观察中心化后数据的坐标符号特征，可以初步判断两个变量的相关类型！
正负相关的坐标特征详解
(x', y') 基本同号
第一象限：x'>0, y'>0
第三象限：x'0, y' 0 时
表明成对样本数据正相关
（同号的乘积之和占主导）
当 Lxy < 0 时
表明成对样本数据负相关
（异号的乘积之和占主导）
思考问题：Lxy 的大小与数据的度量单位有关吗？能否直接用它度量相关程度？
体重单位：kg（不变）
身高单位：cm（×100）
Lxy = 15000
关键发现：单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度，但 Lxy 的大小变为原来的 100倍 ！
Lxy 的大小与数据的度量单位有关，不能直接用它度量成对样本数据相关程度的大小。
为了消除单位的影响，需要进一步做"标准化"处理！
消除单位影响的标准化方法
为了消除单位的影响，对数据进行标准化处理：
x"i = (xi - x̄) / sx
y"i = (yi - ȳ) / sy
其中 sx、sy 分别为 x、y 的标准差
标准化后的数据均值为 0，标准差为 1
仿照 Lxy 的构造，使用标准化后的数据
仿照 Lxy = Σ(x'i · y'i) 的形式，用标准化后的数据构造新的统计量...
我们称 r 为变量 x 和变量 y 的 样本线性相关系数 ，简称 样本相关系数 ：
r = Σ(x"i · y"i) / n
= Σ(xi - x̄)(yi - ȳ) / √[Σ(xi - x̄)² · Σ(yi - ȳ)²]
r = Lxy / √(Lxx · Lyy)
其中：Lxx = Σ(xi - x̄)²Lyy = Σ(yi - ȳ)²Lxy = Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)
消除了数据的度量单位影响
取值范围固定，便于比较
能够准确反映线性相关程度
接下来我们来考察样本相关系数 r 的合理性和性质
样本相关系数的正负意义
样本相关系数 r 的正负能反映出成对变量的什么关系？
当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大
当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常变大
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常变小
r > 0 → 同向变化
r < 0 → 反向变化
样本相关系数的取值范围（一）
样本相关系数 r 的取值与成对样本数据的相关程度有什么内在联系？
首先我们来考察 r 的取值范围
从向量数量积得到的启发
观察 r 的结构，联想到二维(平面)向量、三维(空间)向量数量积的坐标表示：
二维向量： a·b = x₁x₂ + y₁y₂
三维向量： a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
a·b = |a||b|cs θ
其中 θ 为向量 a, b 的夹角
将向量的维数推广到 n 维，n 维向量的数量积仍然定义为：
利用 n 维向量的数量积，我们可以推导出样本相关系数 r 的取值范围
样本相关系数的向量表示
类似于平面或空间向量的坐标表示，对于向量：
a = (a₁, a₂, ..., aₙ)
b = (b₁, b₂, ..., bₙ)
a·b = Σaᵢbᵢ
设"标准化"处理后的成对数据：
第一分量构成 n 维向量：
x' = (x"₁, x"₂, ..., x"ₙ)
第二分量构成 n 维向量：
y' = (y"₁, y"₂, ..., y"ₙ)
样本相关系数与向量夹角的关系
x'·y' = |x'||y'|cs θ
样本相关系数与向量夹角
样本相关系数等于标准化后向量夹角的余弦值：
θ 是向量 x' 与 y' 的夹角
当 |r| = 1 时，即 |cs θ| = 1 时，成对样本数据之间有怎样的关系？
|r| = 1 时的特殊情况
当 |r| = 1 时，即 |cs θ| = 1，意味着：
向量 x' 与 y' 共线
y' = kx' （k 为常数）
(yᵢ - ȳ)/sᵧ = k(xᵢ - x̄)/sₓ
这表明成对样本数据 (xᵢ, yᵢ) 都落在直线上：
y = ȳ + k(sᵧ/sₓ)(x - x̄)
令 b = k(sᵧ/sₓ)
y = ȳ + b(x - x̄)
结论：成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系
所有数据点完全落在一条斜率为正的直线上
所有数据点完全落在一条斜率为负的直线上
样本相关系数的取值范围（二）
由此可见，样本相关系数 r 的取值范围为：
r ∈ [-1, 1]
样本相关系数 r 的绝对值大小可以反映成对数据之间线性相关的程度：
当 |r| 越接近 1 时，成对数据的线性相关程度越强
当 |r| 越接近 0 时，成对数据的线性相关程度越弱
样本相关系数的几何意义
不同 r 值对应的数据分布特征
关键提示：|r| 的大小反映的是线性相关的程度，r 接近 0 并不意味着变量间没有关系，可能只是不存在线性关系。
r = 0 时的特殊情况
样本相关系数 r = 0 时，样本一定是无相关关系吗？
r = 0 时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系。
例如：抛物线关系（r ≈ 0）
利用相关系数 r 来检验线性相关显著性水平时，通常与 0.75 作比较：
注意：这个标准不是绝对的，实际应用中需结合具体情况判断。
脂肪含量与年龄的相关性分析
根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度。
先画出散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关。
可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强。脂肪含量与年龄变化趋势相同。
|r| = 0.97 > 0.75，线性相关显著
年龄与脂肪含量之间存在显著的正线性相关关系，随着年龄增长，脂肪含量呈现上升趋势，相关系数 r ≈ 0.97。
年龄与脂肪含量的散点图
观察要点：散点图中的样本点明显呈现从左下角到右上角的趋势，且点与点之间较为集中，说明两个变量之间存在较强的正线性相关关系。
样本相关系数的计算步骤
x̄ = (23 + 27 + ... + 61) / 14 = 48.2
ȳ = (9.5 + 17.8 + ... + 34.6) / 14 = 27.0
第二步：计算离差乘积和
Lxy = Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)
= (23-48.2)(9.5-27.0) + (27-48.2)(17.8-27.0) + ...
同理可计算 Lxx 和 Lyy
Lxy = 1548.6
Lxx = 2365.4
Lyy = 1028.3
= 1548.6 / √(2365.4 × 1028.3)
= 1548.6 / √2432426.82
= 1548.6 / 1559.6
成对样本数据的关系类型
r = Lxy/√(LxxLyy)
r > 0 正相关；r < 0 负相关
|r|→1 相关强；|r|→0 相关弱
|r| > 0.75 显著