高中复数的三角表示优质学案及答案

这是一份高中复数的三角表示优质学案及答案，共11页。学案主要包含了知识梳理，课堂达标等内容，欢迎下载使用。
【引入】 我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)也是一一对应的，你能用向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？
一、复数的三角表示式
探究1 我们知道复数z＝a＋bi可以由向量eq \(OZ,\s\up6(→))在两坐标轴方向上的投影a，b来确定，是否可以由其他元素来确定？





【知识梳理】
1.复数的三角形式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成________________的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的________，r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称________.为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称________.
2.辐角的主值
规定在________范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作________，即0≤arg z＜2π.
温馨提示 复数的三角形式需满足：
(1)模r≥0.
(2)括号内需满足：前余弦，后正弦，角相同.
(3)cs θ与isin θ之间用加号相连.
记忆口诀：“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”.不符合条件的都不是三角形式.
例1 (链接教材P84例1、P85例2)把下列复数的三角形式化成代数形式，或代数形式化为三角形式.
(1)z1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))；
(2)z2＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4,3)π＋isin \f(4,3)π))；
(3)z3＝5；(4)z4＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.









思维升华 1.代数形式化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模r＝|z|，(2)确定Z(a，b)所在的象限，(3)根据象限求出辐角，
(4)写出复数三角形式.
2.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值.
3.三角形式化为代数形式，直接计算三角函数值即可.
训练1 (1)复数z＝1＋i的三角形式为z＝________.
(2)复数6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))的代数形式为________.







二、复数三角形式的乘法法则与几何意义
探究2 根据复数乘法定义，两复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)和z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)相乘的结果是什么呢？




【知识梳理】
1.两复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数模的____，积的辐角等于各复数的辐角的____.
2.复数乘法的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ,\s\up6(→))1，eq \(OZ,\s\up6(→))2，然后把向量
eq \(OZ,\s\up6(→))1绕点O按逆时针方向旋转一个角________(如果θ2＜0，
就要把eq \(OZ,\s\up6(→))1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的________倍，得到向量eq \(OZ,\s\up6(→))，eq \(OZ,\s\up6(→))表示的复数就是积Z1Z2(如图).
温馨提示 复数三角形式的乘法法则成立的前提是两个复数都是三角形式，如果不是三角形式，要先化成三角形式再运算，辐角不要求一定是主值.
例2 (链接教材P87例3)计算下列各式的值：
(1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12)))·3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))；
(2)eq \f(1,2)(cs 15°＋isin 15°)·4(cs 135°－isin 135°)；
(3)[eq \r(2)(cs 15°＋isin 15°)]8.











思维升华 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角.若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后进行相乘.
训练2 (1)设复数2－i和3－i的辐角的主值分别为α和β，则α＋β等于( )
A.135° B.315° C.675° D.585°
(2)设向量eq \(OZ,\s\up6(→))对应复数z＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，把eq \(OZ,\s\up6(→))绕原点O逆时针旋转120°得到eq \(OZ′,\s\up6(→))，则eq \(OZ′,\s\up6(→))对应的复数为____________(用代数形式表示).
三、复数三角形式的除法法则与几何意义
探究3 根据复数除法定义，两复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)和z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)(z1≠0)相除的结果是什么呢？






【知识梳理】
1.两复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的________，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的________.
2.复数除法的几何意义
两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ,\s\up6(→))1，eq \(OZ,\s\up6(→))2，然后把向量eq \(OZ,\s\up6(→))1绕点O按顺时针方向旋转角________(如果θ2