高中复数的三角表示同步练习题

这是一份高中复数的三角表示同步练习题，文件包含人教A版必修第二册高一数学下学期同步精讲精练732复数乘除运算的三角表示及其几何意义精讲原卷版docx、人教A版必修第二册高一数学下学期同步精讲精练732复数乘除运算的三角表示及其几何意义精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 复数三角形式的乘法
题型2：复数三角形式的除法
题型3：复数乘法、除法的几何意义
一、必备知识分层透析
知识点1：复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
知识点2：复数乘法的几何意义
两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义.
知识点3：复数三角形式的除法及其几何意义
（1）复数三角形式的除法
设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
（2）复数除法的几何意义
几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是zz0．
知识点4：复数的乘方及其几何意义
利用复数的乘法不难得到.
这说明,复数的次方等于它模的次方,幅角的倍.
的几何意义是将向量的模变为原来的次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角,就得到对应的向量.
二、重点题型分类研究
题型1: 复数三角形式的乘法
典型例题
1．若复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：，，．故选：C．
2．计算的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为
所以，
所以，故选：B.
3．设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
【答案】
【详解】由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案为：.
4．计算：
(1)；
【答案】(1)；
【详解】（1）.
5．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(3)
(1)
(2)
6．关于x的不等式的解集为．
求实数a，b的值；
若，，且为纯虚数，求的值．
【答案】（1），（2）
【详解】解：(1)不等式即的解集为．
,b是方程的两个实数根,由，，
解得,．
(2)由(1)知,为纯虚数，
,,解得.
题型2：复数三角形式的除法
典型例题
1．计算(cs＋isin)÷＝________．
【答案】
【详解】由复数除法的几何意义知：(cs＋isin)÷＝.
故答案为：
2．计算________．
【答案】
【详解】
故答案为：.
3．计算：
(1)．
【答案】(2).
【详解】（2）
.
4．计算:4(cs 80°+isin 80°)÷[2(cs 320°+isin 320°)].
【答案】
【详解】解：
题型3：复数乘法、除法的几何意义
典型例题
1．在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，得当时，，，
∴．
∵，
∴，故选：D
2．（多选）在复平面内，复数z＝a＋bi对应向量为（O为坐标原点，）．设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则．数学家棣莫弗发现：设，则，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当r＝1，时，B．当r＝1，时，
C．D．当r＝1，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
【答案】BC
【详解】解：对于A，当，时，，故选项A错误；
对于B，当，时，，所以，故选项B正确；
对于C，，则，所以，
又，所以，故选项C正确；
对于D，当，时，，
取时，则为偶数，此时不是纯虚数，故选项D错误．故选：BC．
3．（多选）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Ppe，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A．
B．
C．
D．存在8个不同的复数，使
【答案】AD
【详解】解：根据题意，在，
令可得.
对于A，设，则有，
变形可得，
则，A正确；
对于B，设，则有，
变形可得，
则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，设，若，即，则有，，
则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；
故选：AD.
4．_____.
【答案】
【详解】原式
故答案为：
5．÷()=_____.
【答案】
【详解】解：原式
，
故答案为：
6．计算：．
【答案】
【详解】因为，
同理可得
，
以此类推可知，对任意的，，
因此.
7．求证:.
【详解】左边==
=右边.
8．著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
【答案】 2
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：；2.