沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）22.3 勾股定理测试题

这是一份沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）22.3 勾股定理测试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A . b2=c2－a2
B . a∶b∶c=3∶4∶5
C . ∠C=∠A－∠B
D . ∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
2.如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C′处，若长方体的长AB=4cm，宽BC=3cm，高BB′=2cm，则蚂蚁爬行的最短路径是（ ）
A . 53cm B . 45cm C . 41cm D . 7cm
3.如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为 1m ， 高为 3m ． 如果要求彩带从柱子底端的 A处均匀地绕柱子 4圈后到达柱子顶端的 B处（线段 AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）

A . 54m B . 3m C . 4m D .5m
4.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
A . ①② B . ①③ C . ①④ D . ②④
5.以下各组数不能作为直角三角形的边长的是（ ）
A . 5，12，13
B . 13 ， 14 ，15
C . 7，24，25
D . 8，15，17
6.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ）
A . 12 B . 23 C . 24 D . 10
7.如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形 A、 B、 C、 D的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（ ）
A . 28 B . 25 C . 49 D . 40
8.如图，用5 块边长均为1的阴影正方形拼成一个大的正方形，且图中的点A，B，C，D分别是中间小正方形各边的中点，则图中空白部分的面积是（ ）
A . 322 B . 22−12 C . 8−42 D .22−1
9.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A . 3米 B . 4米 C . 5米 D . 7米
10.我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的边 AB在 x轴上，并且 A、 B两点的坐标分别为 −3,0和 4,0 ， 边 AD的长为5，若固定边 AB ， “推”矩形得到平行四边形 ABC'D' ， 并使点 D落在 y轴正半轴上的点 D'处，则点 C的对应点 C'的坐标为（ ）
A . 7,4 B . 7,5 C . 4,7 D .4,4
二、填空题
1.如图，把平面内一条数轴 x绕点 O逆时针旋转角 60°得到另一条数轴 y ， x轴和 y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点 P是平面斜坐标系中任意一点，过点 P作 y轴的平行线交 x轴于点 A ， 过点 P作 x轴的平行线交 y轴于点 B ， 若点 A在 x轴上对应的实数为 a ， 点 B在 y轴上对应的实数为 b ， 则称有序实数对 (a，b)为点 P的斜坐标．若点 P的斜坐标为 (1，4) ， 点 G的斜坐标为 (7，−4) ， 连接 PG ， 则线段 PG的长度为 ________ ．
2.点 P(−3,−4)到原点的距离为 ________ ．
3.已知点O（0，0），A（6，8），则线段AO的长度为 ________ .
4.如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点 M到点 N的所有路径中，最短路径的长是 ________ ．
5.王华在学习中遇到了这样的问题：如图所示的三角形纸片 △ABC中， ∠C=90° ， AC=6 ， BC=8 ， 将 △ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，王华发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助王华写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积为 ________ ．
6.在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为 4的等腰直角三角形硬纸片 ABC（其中 ∠A=90° ， D，E，F分别为 AB ， AC ， BC的中点， G，H分别为 DE，BF的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为 ________ ．
7.代数式 x2+4+x2−24x+153的最小值是 ________ ．
8.用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设 ________ ．
三、作图题
1.如图(1)，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1） 画出△ABC关于直线MN对称的△A 1B 1C 1；
（2） 写出AA 1的长度；
（3） 如图(2)，A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC最小．
2.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
3.如图，网格中有格点△ABC与△DEF．
（1） △ABC与△DEF是否全等？（不说理由．）
（2） △ABC与△DEF是否成轴对称？（不说理由．）
（3） 若△ABC与△DEF成轴对称，请画出它的对称轴l．并在直线l上画出点P，使PA+PC最小．
四、综合题
1.已知两个等腰 Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C， ∠ABC=∠CEF=90° ， 连接 AF ， M是 AF的中点，连接 MB、ME、CM ．
（1） 如图1，当C，B，E三点共线时，若 CE=10 ， B为 CE中点，求 CM的长；
（2） 如图1， 探索线段 BM与 EM的关系，并说明理由；
（3） 将图1中 △CEF绕点C顺时针旋转 45°至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1） 学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2） 若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
3.如图，海中有一小岛 P ， 它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 M处测得小岛 P在北偏东 60°方向上，航行16海里到 N处，这时测得小岛 P在北偏东 30°方向上．
（1） 试说明 △PMN是等腰三角形；
（2） 求 M点与小岛 P之间的距离；
（3） 如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
4.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为6 2+8 2＝4×5 2＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1） 若 △ABC 三边长分别是2， 5 和4，则此三角形 ________ 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2） 若 Rt△ABC 是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 ________ （请按从小到大排列）；
（3） 如图， Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°， BC＝6，AD=DB=DC，若 △BCD 是常态三角形，求 △ABC 的面积．
5.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.
（1） 着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2） 若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
五、解答题
1.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．
2. △ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的 14时，求线段EF的长．
3.近年来，我国近视发生率居高不下，近视已成为影响我国国民尤其是儿童青少年眼健康的重大公共卫生问题．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本的宽度 AC为 25cm ， 当顶部边缘A处离桌面的高度 AD为 15cm时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当顶部边缘离桌面的高度 A'E=24cm时，用眼舒适度较为理想．求调整前后顶部边缘移动的水平距离 DE的长．

六、阅读理解
1.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
2.阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务，
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ， 那么两点间的距离 MN=(x1−x2)2+(y1−y2)2 ， 例如：若点 M(4,1) ， N(3,2) ， 则 MN=(4−3)2+(1−2)2=2 ．
（1） 已知 A(3,5) ， B(−1,−3) ， 求 A,B两点间的距离；
（2） 已知 A(1,2) ， B(−3,4) ， C(−1,6) ， 判断 △ABC的形状；
（3） 代数式 (x−3)2+25+(4−x)2+9的最小值是．
3.一、阅读理解：
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；
（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；
（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．
二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．