数学八年级上册（2024）22.3 勾股定理集体备课ppt课件

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勾股定理的逆定理及其证明
我们来研究股定理的逆命题勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 下面我们证明这个逆定理
如图22-3-6，已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a²+b²=c²。求证：△ABC是直角三角形。分析 构造一个直角边长为a、b的直角三角形，证明它与△ABC全等。证明 如图22-3-7，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，由勾股定理，可得A'B'²=B'C'²+A'C'²=a²+b²。又因为a²+b²=c²，所以A'B'²=c²，即A'B'=c。因此，△ABC与△A'B'C'的三边对应相等，从而△ABC≌△A'B'C'。由“全等三角形的对应角相等”，可得∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形。
例2 在△ABC中，BC=8，AC=15，AB=17。试判断△ABC是不是直角三角形。解： ∵ BC²+AC²=8²+15²=289，AB²=17²=289， ∴ BC²+AC²=AB²。∴ △ABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）。我们已经知道，3²+4²=5²，8²+15²=17²。如果正整数a、b、c满足a²+b²=c²，那么a、b、c称为一组勾股数。以勾股数中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形。
关于勾股数的口诀：奇数平方对半分，偶数半方加减一例如：找与3配的勾股数：3的平方是9，对半分成两个整数，一个是4，一个5，所以3、4、5是一组勾股数；找与5配的勾股数：5的平方是25，对半分成两个整数，一个是12，一个13，所以5、12、13是一组勾股数；找与6配的勾股数：6的一半的平方是9，9加一是10,9减一是8，所以6、8、10是一组勾股数；
例3 图22-3-8是一块四边形绿地的示意图，其中AB长24 m，BC长7 m，CD长20 m，DA长15 m，∠C=90°。求绿地ABCD的面积。解：如图22-3-9，连接BD。在△BCD中，∠C=90°，∴ BD²=BC²+CD² (勾股定理)， ∴ BD²=15²+20²=225+400=625，∴ BD=25.在△ABD中，AD=15，AB=24，∴ AD²+AB²=7²+24²=49+576=625， ∴ BD²=AD²+AB²。∴ ∠A=90°(勾股定理的逆定理)。∴ S绿地△BCD=S△BCD+S△ABD=½BC·CD+½AD·AB =½×7×20+½×15×24 =150+84=234.答：绿地ABCD的面积是234 m²。
课堂练习 22.3(2)1、判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”:以0.3, 0.4, 0.5为三边长的三角形不是直角三角形. ( ) (2) 以50, 120, 130为三边长的三角形是直角三角形. ( )只要是3、4、5的倍数组成的都是勾股数。只要是已知勾股数的倍数组成的都是勾股数。
课堂练习 22.3(2)2、以下列a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪个角是直角? a=8, b=13, c=11; (2) a=6.5, b=2.5, c=6; （3） a=40, b=41, c=7分析：首先需要确定三条边中的最长边，然后计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方进行比较。若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；否则不是直角三角形。这里用到勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、6、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形解：（1）因为8