数学八年级上册（2024）22.3 勾股定理练习题

这是一份数学八年级上册（2024）22.3 勾股定理练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A . 7，8，9 B . 4，5，6 C . 5，12，13 D . 8，9，10
2.根据所给条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A . 三边为 41 ， 4，5
B . 三边之比为5:12:13
C .∠A=2∠B=3∠C
D . 三角形一边上的中线等于这一边的一半
3.今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为 20cm ，高为 10cm 的圆柱粮仓模型．如图 BC 是底面直径， AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过 A ， C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A . 20π cm B . 40π cm C . 102cm D .202cm
4.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是（ ）
A . 5，9，12 B . 5，12，13 C . 5，9，13 D . 9，12，13
5.三角形各边长度如下，其中不是直角三角形的是（ ）
A . 3 ， 4 ，5
B . 0.6 ， 0.8 ，1
C . 5 ， 11 ，12
D . 8 ， 15 ，17
6.有一题目：“在 △ABC中， AB=2 ， BC=2 ， ∠C=30° ， 求 ∠BAC ． ”嘉嘉的解答为：画 ∠C=30° ， 截取 BC=2 ， AB=2 ， 过点 B作 BD⊥AC于 D ， 如图，由于 ∠C=30° ， 易得 BD=1 ， 在 Rt△ABD中， BD=1 ， 由勾股定理可得 AD=1 ， 得 ∠BAC=45° ， 而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， ∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A . 淇淇说的不对， ∠BAC就得45°
B . 嘉嘉的结果不对， ∠BAC不是45°
C . 淇淇说的对， ∠BAC的另一个值是135°
D . 两人都不对， ∠BAC应有 3个不同值
7.如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（ ）尺
A . 14 B . 142 C . 287 D . 16
8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（ ）
A . 5 B . 17 C . 3 5 D .35
二、填空题
1.如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西 45°方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东 60°方向，则此时船与小岛P的距离 BP的长为 ________ 海里．（结果保留根号）．
2.点A（-2，3）关于y轴，原点O对称的点的坐标分别是 ________ ．线段AO= ________ .
3.勾股数，①3，4，5；②5， 12 ， 13；③7， 24 ， 25；④9， 40 ， 41；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ________ ．
4.如图，点C与点D是直线 y=kx+4kk≠0与两坐标轴的交点，点A与点B是直线 y=2x+4与两坐标轴的交点，将 △OAB沿直线 AB翻折得到 △PAB ， 则点 P到直线 y=kx+4kk≠0的距离的最大值是 ________ ．
5.已知点 M的坐标为 (2,−4) ， 线段 MN=5 ， MN∥x轴，则点 N的坐标为 ________ .
6.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形 ABCD的对角线 AC ， BD交于点 D ， 若 AB=5 ， CD=4 ， 则 AD2+BC2＝ ________ ．
7.边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在 E1F1上，且 E1P=13E1F1 ， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ________ cm．
三、作图题
1.如图(1)，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1） 画出△ABC关于直线MN对称的△A 1B 1C 1；
（2） 写出AA 1的长度；
（3） 如图(2)，A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC最小．
2.如图，方格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．
（1） 请在方格中找一个格点 B ，使得 AB=5 ．
（2） 求 S△ABC 的面积．
（3） 若点 D 是直线 l 一动点，请画出 D 点，使得 △ABD 周长最小，并求出该周长．
3.确定合适的数轴，在数轴上画出表示 −10−1 的点 A 和表示 13 的点 B ．
四、综合题
1.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1） 求修建的公路CD的长；
（2） 若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
2.为了把“广安民用运输机场选址岳池普安”宣传到各村，普安镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为800米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1） 请问村庄能否听到宣传，并说明理由；
（2） 如果能听到，已知宣讲车的速度是每分钟300米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
3.如图

（1） 如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°， ABBC=ADDE=12 ，连接BD，CE.求证： BDCE=55 .
（2） 如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且 ABAD=12 ，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D.点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系.
（3） 拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且 ABBC=CEEF=12 ，AB＝5，连接BE，BF.求BE+ 55 BF的最小值.
4.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1） 已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2） 已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.
五、解答题
1.数学中有一个定理叫做直角三角形斜边中线定理，它的内容是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请同学们运用这个定理探究下面的数学问题：已知 △ABC和 △ADE都是等腰直角三角形，其中 ∠ACB=∠ADE=90° ， F为 BE的中点，连接 DF、 CF ．
（1） 如图1，当 D在 AB上， E在 AC上时，线段 CF ， DF的数量关系是 ________ ；并且可以得到 ∠CFD= ________ （填度数）．
（2） 在图1的基础之上，将 △ADE绕点 A顺时针旋转 45°得到图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由：
（3） 在图1的基础之上，将 △ADE绕点 A顺时针旋转 90°得到图3，若 AD=2,AC=4 ， 求此时线段 CF的长．
2.将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
3.每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯 AC长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙 OC上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
（1） 求云梯顶端C与墙角O的距离 CO的长；
（2） 现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离 AB为多少米．
六、阅读理解
1.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
2.阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点 Ax1,0、 Bx2,0的距离记作 AB=x1−x2 ， 如果 Ax1,y1、 Bx2,y2是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线 AM1、 AN1和 BM2、 BN2 ， 垂足分别是 M1、 N1、 M2、 N2 ， 直线 AN1交 BM2于点Q，在 Rt△ABQ中， AQ=x1−x2 ， BQ=y1−y2 ，
∴ AB2=AQ2+BQ2=x1−x22+y1−y2=x1−x22+y1−y22 ． 由此可以得到平面直角坐标系内任意两点 Ax1,y1、 Bx2,y2间的距离公式．

利用上面公式解决下列问题：
（1） 直接应用平面内两点间距离公式计算点 A1,−3 ， B−2,1之间的距离；
（2） 在平面直角坐标系中的两点 A0,3 ， B4,1 ， P为x轴上任一点，求 PA+PB的最小值和此时点P的坐标；
（3） 应用平面内两点间的距离公式，求代数式 x2+y−22+x−32+y−12的最小值（直接写出答案）．