七年级上册（2024）认识有理数学案

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知识目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20365" 【知识点1：正数与负数】 PAGEREF _Tc20365 \h 1
\l "_Tc21928" 【知识点2：特殊数“0”的多重意义】 PAGEREF _Tc21928 \h 2
\l "_Tc20966" 【知识点3：正负数的实际意义】 PAGEREF _Tc20966 \h 4
\l "_Tc6316" 【知识点4：有理数的定义与分类】 PAGEREF _Tc6316 \h 7
巩固与提升
【知识点1：正数与负数】
核心定义：正数是大于0的数，通常可在数字前加“+”表示，不过这个符号可省略，像+5、+3.2、+20%等，省略后写成5、3.2、20%依然是正数；负数是在正数前加上“-”（负号）的数，用来表示和对应正数意义相反的量，比如-3、-0.5、-15%等，这里的负号不能省略，否则就变成正数了。
关键注意点：负数和对应的正数在数值大小上可进行常规比较，且表示的实际意义完全相反。比如+8℃和-8℃，数值绝对值都是8，但一个表示零上温度，一个表示零下温度，意义截然相反。而且正数和负数的适用场景很广，只要有相反意义的数量关系，都能借助它们表示。
【练习加强：认识正负数】
下列数字中，−0.01，45%，2024，−π，−20%，0，−3.14，−1，是负有理数有（ ）个．
A．4个B．3个C．2个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的分类，根据小于0的有理数是负有理数，进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：依题意，−0.01，−20%，−3.14，−1都是负有理数，
∴负有理数有4个，
故选：A．
早在两千多年前，我国古人已经在生产和生活中使用正负数表示相反意义的量．如果将“原油价格较上月同期上涨0.3%”记作“+0.3%”，那么“原油价格较上月同期下降9.6%”记作（ ）
A．+9.6%B．−9.6%C．−0.4%D．−0.3%
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的意义．
根据正负数表示相反意义的量，上涨记为正，则下降记为负．
【详解】解：∵“上涨0.3%”记作“+0.3%”，
∴“下降9.6%”应记作“−9.6%”．
故选：B．
中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果存入银行1000元钱，记作“+1000”元，那么从银行提取600元钱，记作（ ）
A．−600元B．600元C．−400元D．400元
【答案】A
【分析】根据相反意义的量的应用解答即可．
本题考查了相反意义的量的应用，熟练掌握意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得存入银行1000元钱，记作“+1000”元，则从银行提取600元钱，记作−600元，
故选：A．
1．在−2，−1，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）
A．−2B．0C．−1D．1
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的定义，0的意义，根据大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、−2是负数，故该选项不符合题意；
B、0既不是正数也不是负数，故该选项符合题意；
C、−1是负数，故该选项不符合题意；
D、1是正数，故该选项不符合题意；
故选：B
【知识点2：特殊数“0”的多重意义】
分界意义：0是正数和负数的明确分界，大于0的数都是正数，小于0的数都是负数，它自身既不属于正数范畴，也不属于负数范畴。比如在温度计上，0℃就是零上温度和零下温度的分界点，0℃以上用正数表示，0℃以下用负数表示。
注意：0既不是正数也不是负数。
基准意义：在很多实际场景中，0常被当作基准量来衡量其他量。例如计算海拔高度时，以海平面为基准，规定海平面的高度为0米，珠穆朗玛峰高于海平面约8848.86米，就记作+8848.86米，吐鲁番盆地低于海平面约154.31米，就记作-154.31米；再比如竞赛中，常把初始分数设为0分，答对加分用正数表示，答错扣分用负数表示。
其他常规意义：除了上述特殊意义，0也保留着小学阶段所学的“没有”的含义，像空罐里金币的数量可表示为0，某个时间段内没有产生销售额，也可记为销售额为0。
【练习加强：“0”的多重意义】
下面关于0的说法，正确的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数。
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了0的意义、有理数的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键。
根据相关知识逐项判断即可。
【详解】解：
0既不是正数也不是负数，①正确；
自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，②正确；
正数大于0，0不是正数，③错误；
非负数包括0和正数，0是最小的非负数，④正确；
0能被2整除，属于偶数，⑤错误。
综上，正确说法为①、②、④，共3个。
故选：B。
在-2，-1，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）
A．-2 B．0 C．-1 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的定义、0的意义，根据大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数进行逐项分析，即可作答。
【详解】解：
A、-2是负数，故该选项不符合题意；
B、0既不是正数也不是负数，故该选项符合题意；
C、-1是负数，故该选项不符合题意；
D、1是正数，故该选项不符合题意；
故选：B。
0的发现被称为人类伟大的发现之一，0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（ ）
A．0℃是一个确定的温度
B．海拔0m表示没有海拔
C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻
D．在二进制中，0是基本的数字表示
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键。
【详解】A、0℃是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意；
B、海拔0m表示与海平面一样的高度，原选项说法错误，符合题意；
C、24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意；
D、在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意；
故选：B。
【知识点3：正负数的实际意义】
核心意义：表示相反意义的量
正负数的核心作用是描述生活中一对意义相反的量，通常可将其中一种意义的量规定为正，对应的相反意义的量就规定为负。
适用场景：生活中存在大量具有相反意义的量，比如收入与支出、上升与下降、盈利与亏损、向东与向西等，这些量都需满足“意义相反且为同类数量”的条件，此时用正负数表示会非常清晰。
常见应用场景如下：
【练习加强：正负数的实际意义】
一弹簧固定在水平桌面上，若在初始位置向右拉伸2cm，记作+2cm，则在初始位置将其向左压缩1cm，记作（ ）
A．+1cmB．−1cmC．+2cmD．−2cm
【答案】B
【分析】本题主要考查正负数的意义，即正负数可以用来表示具有相反意义的量，解题关键在于理解 “正” 和 “负” 所代表的实际意义．
以初始位置为原点，向右为正方向记作“+”，向左为负方向“−”，据此解答即可．
【详解】解：已知在初始位置向右拉伸2cm，记作+2cm，
因为 “向左压缩” 与 “向右拉伸” 是一对具有相反意义的量，且规定了向右拉伸为正，
所以向左压缩就为负．
那么弹簧在初始位置将其向左压缩1cm应记作−1cm．
故选 ：B．
在移动支付普及的当下，小明使用某支付软件记录个人资金变动情况．若规定收入50元记为+50，那么账单中出现的“−80”表示的实际含义是（ ）
A．获得额外奖励80元B．账户余额增长了80元
C．消费支出了80元D．投资收益增加80元
【答案】C
【分析】本题考查了相反数，具有相反意义的量，用正负数表示具有相反意义的量是解题的关键．根据题干规定，收入记为正值，则支出应记为负值，“−80”表示支出80元，对应选项中的消费支出．
【详解】解：∵收入50元记为+50，
∴支出应记为负值．
∴“−80”表示消费支出了80元．
故选：C．
如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5．再顺时针旋转2个小格记为“−2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，−2，+3．此时标记线对准的数是6．如果一组开锁密码为“−15，+10，−5”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（ ）
A．10B．0C．30D．25
【答案】C
【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键．
【详解】解：∵按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5．再顺时针旋转2个小格记为“−2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，−2，+3，此时标记线对准的数是6，
∴开锁密码为“−15，+10，−5”，表示先按顺时针方向转15格，再按逆时针方向转10格，再按顺时针方向转5格，
所以标记线按顺时针转了10格，
则锁打开时标记线对准的刻度线表示为30，
故选：C．
如果零上5°C记作+5°C，那么零下3°C可记为（ ）
A．−3°CB．+3°CC．−2°CD．2°C
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数的应用，正数表示零上，负数表示零下，这是解题的关键．
根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
【详解】解：如果零上5°C记作+5°C，那么零下3°C记作−3°C．
故选：A．
5．山西作为中国面食文化发源地，人们多以面食为主，现有一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉质量合格的是（ ）
A．25.30千克B．24.70千克
C．24.80千克D．25.51千克
【答案】C
【分析】本题考查有理数的加减法运算及正数和负数的实际应用，根据正数和负数的实际意义求得质量合格的范围，然后进行判断即可．
【详解】解：“25±0.25千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格，
因为24.80在24.75到25.25之间，
故只有24.80千克合格．
故选：C．
【知识点4：有理数的定义与分类】
核心定义：整数和分数合称为有理数。这里要注意，有限小数和无限循环小数都属于有理数，因为它们都能转化为分数形式。比如0.25是有限小数，可转化为1/4；0.3是无限循环小数，可转化为1/3，所以它们都属于有理数范畴。而无限不循环小数，像π，无法化成分数，就不属于有理数。
【练习加强：有理数的分类】
下列说法正确的是（）
A．所有的整数都是正数B．−1是最大的负整数
C．0是最小的有理数D．整数、0和分数统称为有理数
【答案】B
【分析】本题考查有理数的基本概念，需熟练掌握整数的分类和有理数的定义．
根据有理数的定义和性质，逐一判断选项的正误．
【详解】解：∵整数包括正整数、负整数和0，故A错误；
∵−1是最大的负整数，故B正确；
∵有理数包括负数，负数小于0，故C错误；
∵有理数是整数和分数的统称，整数已包含0，故D错误．
故选：B．
下列数字中，−0.01，45%，2024，−π，−20%，0，−3.14，−1，是负有理数有（ ）个．
A．4个B．3个C．2个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的分类，根据小于0的有理数是负有理数，进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：依题意，−0.01，−20%，−3.14，−1都是负有理数，
∴负有理数有4个，
故选：A．
下列各数中，既是正数又是分数的是（ ）
A．0.3B．5C．−3D．−12
【答案】A
【分析】本题考查了正数的定义，分数的定义．
根据正数（大于零）和分数（非整数的有理数）的定义，判断各选项是否符合条件．
【详解】解：正数要求大于零，分数要求是非整数的有理数．
A．0.3>0，且可化为分数310，是分数；
B．5>0，但为整数，不是分数；
C．−3