初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）认识有理数教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）认识有理数教案设计，共19页。教案主要包含了学情与教材分析，教学目标，教学重点，教法建议，教学设计等内容，欢迎下载使用。
1.学情分析
学生在小学已经学习过整数、分数、小数的概念及运算；对负数的概念有所了解，知道正数、负数和零的区别。并且在小学通过对温度计的认识活动，学习了用负数解决一些简单的比较大小的问题。那么，对于刚进入初中的学生来说，他们掌握正数、负数的概念程度参差不齐，因此，结合实际正确的表示具有相反意义的量，建立有理数的概念是学习的难点。
2.教材分析
“有理数”是初中数学学习的重要基础。本节课的内容是正、负数的概念和有理数的分类。通过和学生生活贴近的实例引入负数激发学生对数学学习的兴趣；通过让学生了解“中国是世界上最早使用负数的国家”，培养学生爱国主义情操，增强民族自豪感。通过本节课的学习，逐步培养学生的数感，并逐步渗透分类讨论的数学思想。
二、教学目标：
1.理解正负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.
2.会用正负数表示具有相反意义的量；有理数的分类及其分类的标准．
3.培养学生树立分类讨论的思想．
三、教学重点、难点：
重点：能理解正负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.
难点：会用正负数表示具有相反意义的量；有理数的分类及其分类的标准．
四、教法建议
观察归纳、讲练结合、自主学习与合作交流结合.
五、教学设计
（一）课前设计
1、预习任务
任务1：阅读课本内容，完成知识竞赛的表格，从中进一步认识负数.你还能找到生活中其他用负数表示的量吗？（不少于3种）
任务2：（1）生活中出现的“增长”与“减少”，“零上”和“零下”怎样用数来表示呢？对于0，你是怎么理解的？
（2）请举出生活中表示相反意义的量的例子（不少于3个），并自主完成例题.
任务3：（1）回忆一下，到目前为止都学过哪些数？如果让你对这些数进行分类，怎么分呢？
（2）_________、_________、_________统称为整数；
_________、_________统称为分数；
整数和分数一起统称为_________.
2、预习自测
一．选择题
1．下列各数是负数的是（ ）
A．0B．C．2.5D．﹣1
答案：D
解析：在正数的前面加上一个负号就表示一个负数．
﹣1是一个负数．
故选：D．
点拨：考查的是正负数的定义，掌握定义是解题的关键．
2．如果+50m表示向东走50m，那么向西走40m表示为（ ）
A．﹣50mB．﹣40mC．+40mD．+50m
答案：B
解析：根据题意，向东走为正，向西则为负，
+50m表示向东走50m，那么向西走40m表示为﹣40m，
故选：B．
点拨：根据正数与负数的意义，向东走为正，向西则为负，进而可得答案．
3．在，﹣1，0，﹣3.2这四个数中，属于负分数的是（ ）
A．B．﹣1C．0D．﹣3.2
答案：D
解析：根据小于0的分数是负分数，可得答案．
﹣3.2是负分数，
故选：D．
点拨：本题考查了有理数，小于0的分数是负分数．
4．下列说法正确的是（ ）
A．非负数包括零和整数B．正整数包括自然数和零
C．零是最小的整数 D．整数和分数统称为有理数
答案：D
解析：非负数包括零和正数，A错误；
正整数指大于0的整数，B错误；
没有最小的整数，C错误；
整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确．
故选D．
点拨：考查有理数的分类，易错点为：自然数中包括0，0既不是正数也不是负数，正整数指大于0的整数．
（二）课堂设计
1、情境引入
问题1：我们一起回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？
学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：整数、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的．
瓦罐没有东西了——有了0 二人分一只西瓜，用数如何表示半只西瓜——有了分数
货币购物，用数如何表示10元5角3分——有了小数
问题2：用小学学过的数能表示下列数吗？
零上5ºC
零下5ºC
处理方式：让学生回顾小学学过的数，通过多媒体展示发现出现新的需要表示的数，从而引入具有相反意义的量，继而引入本节课内容．
设计意图：通过提供学生熟悉的实际生活情景引导学生回顾小学有关数的知识，了解生活当中的数学知识，理解数学与生活息息相关，也为本章的学习做了铺垫．
问题3：同学们能举出类似的例子吗？
处理方式：通过交流讨论，积极发言，发现生活中的数学知识，教师适当点评．
设计意图：让学生发现生活中到处存在数学知识，提高学生学习的兴趣．
2、探究发现
活动1： 用正负数表示具有相反意义的量
问题1:
答对 答错 不回答
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分.两个队答题情况如下表:
如果答对题所得的分数用正数表示，那么能用正负数表示每个队答题得分情况吗？试完成下表：
学生探究并得出答案.
处理方式：学生分小组活动，通过交流讨论，得出结论，组内成员畅所欲言，最后总结集体答案，公开展示，各个小组互相对比，教师给予评价．
设计意图：用趣味情景启发学生用正负数表示相反意义的量．初步让学生认识负数，知道负数的来源与生活的需要．
问题2:生活中你还见过哪些带有“－”号的数吗？与同伴进行交流．（可以出示实例图片）
温度计上零下5℃，记作﹣5℃；财富全球500强中的主要零售企业中大荣的利润下降了195.2百万美元，记作﹣195.2百万美元.高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作－155米.
总结：零上温度和零下温度，盈利额和亏损额等都是具有相反意义的量.为相反意义的量，规定：
其中一个量为正的，用正数来表示；与这个量意义相反的量为负的，用负数来表示.
例：利润率上涨3.5%，记作“＋3.5%”；利润率下跌3%，记作“﹣3%”.
思考：0表示什么？
0既不是正数，也不是负数，在这里“0”表示没有变化.例如：利润率既没有上涨，也没有下跌，记作”0”.
处理方式：让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量.教师引导学生认识0的位置．
设计意图：加深学生对正负数的理解，熟悉负数的运用．
例1（1）在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋ 0.02克，那么－0.03克表示什么？
处理方式：先让学生自己独立完成，教师巡视，点拨，然后分组交流，学生自己互相纠错，加深学生对正负数的理解，教师及时给予评价、点评．
设计意图：通过对实例的分析，让学生知道如何用正负数表示相反意义的量．
活动2：你能选定一个高度为标准，用正负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗？你是怎样表示的？与同伴交流．
处理方式：让学生分组交流讨论，说出自己的答案以及理由，教师适当引导学生发现其中的差异，分析找出存在差异的原因是标准不同．
设计意图：通过讨论让学生进一步认识负数，并了解0的意义及作用．
活动3：有理数概念及分类
1．新的整数、分数概念：引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括正整数和零，引进负数后，正整数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数.
整数和分数统称为有理数．
2．有理数的分类
问题：为了便于研究某些问题，常常需要将有理数进行分类，需要不同，分类的方法也常常不同，根据有理数的定义可将有理数分成两类：整数和分数．有理数还有没有其他的分类方法？
待学生思考后，请学生回答、评议、补充．
3.学习有理数概念的注意事项:
（1）正整数和0可称非负整数，也称自然数，负整数和0可称非正整数；正数和0叫非负数，负数和0叫非正数.
奇数、偶数的概念也扩展到了负数，例如：－1、－3等是奇数，－2、－4等是偶数.
π是正数，但不是有理数，也不是分数.
教师小结：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零，并指出，在有理数范围内，正数和零统称为非负数．并向学生强调：分类可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．
处理方式：教师引导学生探讨新出现的数的分类，引出有理数的概念，认清不同的分类方法．
设计意图：使学生在原有认知结构的基础上，将数扩充到了有理数的范围．通过练习使学生加深理解有理数的意义．
3、知识运用
即时练习1：
1．下列语句正确的是（ ）
A、“黑色”和“白色”是具有相反意义的量
B、“快”和“慢”是具有相反意义的量
C、“向北4.5米”和“向南4.5米”是具有相反意义的量
D、“+15米”就表示向东走了15米
2.（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作______________.
（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示___________，物体原地不动记作________．
（3）某仓库运进面粉7.5吨，那么运出3.8吨应记作_______________．
3.某商店出售三种品牌的面粉袋上，分别标有（25±0.1）kg、 （25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，质量最多相差（ ）
A、0.8kg B、0.6kg C、0.5kg D、0.4kg
处理方式：3个学生回答问题，并说明理由，其他学生给予补充，教师适当总结.
设计意图：通过巩固练习加深对具有相反意义的量表示，进一步加强对负数的理解与应用．
即时练习2：
1、下列说法正确的是（ ）
A．非负数包括零和整数
B．正整数包括自然数和零
C．零是最小的整数
D．整数和分数统称为有理数
2、判断正误：
（1）整数分为正整数和负整数.（ ）
（2）带“—”号的数就是负数. （ ）
（3）分数包括 正分数和负分数.（ ）
（4）一个数不是正数就是负数. （ ）
3、下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是正数？哪些是负数？
7，-9.25，，-301，，31.25，，-3.5
正整数：（ ）
负整数：（ ）
正分数：（ ）
负分数：（ ）
正数：（ ）
负数：（ ）
处理方式：学生独立完成，互相纠错，教师适当点评．
设计意图：通过巩固练习加深对知识的理解与应用．
4、随堂检测
一．选择题
1．在0，﹣2，5，，﹣0.3中，负数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
解析：在0，﹣2，5，，﹣0.3中，﹣2，﹣0.3是负数，共有两个负数，
故选：B．
点拨：根据小于0的数是负数即可求解．注意0既不是正数也不是负数．
2．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）
A．亏损3%B．亏损8%C．盈利2%D．少赚3%
答案：A
解析：∵“盈利5%”记作+5%，
∴﹣3%表示表示亏损3%．
故选：A．
点拨：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
3．某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，则该药品在（ ）范围内保存才合适．
A．18℃～20℃B．20℃～22℃C．18℃～21℃D．18℃～22℃
答案：D
解析：药品的最低温度是（20﹣2）℃，最高温度是（20+2）℃，则该药品在18℃～22℃范围内．
故选：D．
点拨：本题考查了正负数表示相反意义的量，关键是正确理解标明保存温度是（20±2）℃的含义．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．有理数就是正数和负数的统称
B．零不是自然数，但是正数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．正分数、零、负分数统称分数
答案：C
解析：A、有理数包括正数、负数和0，故A错误；
B、零是自然数，但不是正数，故B错误；
C、整数和分数统称有理数，因此一个有理数不是整数就是分数，故C正确；
D、零是整数，不是分数，故D错误．
故选C．
点拨：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
二．填空题
5．在﹣1，0.2，，3，0，﹣0.3，中，负分数有 ，整数有 ．
答案：见解析
解析：负分数有﹣，﹣0.3；整数有﹣1，3，0．
点拨：按照有理数的分类填写：
有理数．
注意整数和正数的区别．0是整数，但不是正数．
6．有理数中，最大的负整数是 ．
答案：﹣1
解析：小于零的整数是负整数，有理数中，最大的负整数是﹣1，
故答案为：﹣1．
点拨：考查了有理数，根据定义解题是解题关键．
三．解答题
7．把下列各数填入相应的集合中：
﹣23，0.5，﹣，28，0，4，，﹣5.2．
整数集合：{ …}，
正数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}，
正整数集合：{ …}，
有理数集合：{ …}．
答案：见解析
解析：整数集合：{﹣23，28，0，4}．
正数集合：{0.5，28，4，}．
负分数集合：{﹣，﹣5.2}．
正整数集合：{28，4}．
有理数集合：{﹣23，0.5，﹣，28，0，4，，﹣5.2}．
点拨：按照有理数的分类填写：
有理数．
注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
5、课堂小结
小结：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？
1.正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量，例如…
2.（1）正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数，整数和分数统称有理数，即所有整数都是有理数，所有的分数也都是有理数.
（2）有理数分类的方法有两种：一是按整数和分数分类，二是按正负分类；
（3）奇数、偶数的概念也扩展到了负数，例如：－1、－3等是奇数，－2、－4等是偶数.
处理方式：学生自己结合本节所学知识，按教师引导先自己总结，在小组间交流讨论后，分小组展示，教师给予点评总结．
设计意图：通过小结整理，培养学生归纳、总结能力，形成知识体系．
布置作业：必做题：习题 基础练
选做题：习题 提升练．
设计意图：通过不同层次的作业，让各个层面的学生都能得到充分发展，进一步锻炼学生的综合能力．
6、分层作业
基础型：
一．选择题
1．在﹣2、+、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
解析：在﹣2、+、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有﹣2、﹣3、﹣1，共3个．
故选：C．
点拨：本题考查了负数的定义：小于0的数是负数．
2．下列说法正确的是（ ）
A．“黑色”和“白色”表示具有相反意义的量
B．“快”和“慢”表示具有相反意义的量
C．“向南100米”和“向北1000米”表示具有相反意义的量
D．“+15米”就表示向东走了15米
答案：C
解析：∵根据相反意义的量就是两个数字，它们的正负符号相反，代表着相对于基准点（0点）处于不同的方位，而它们的绝对值是不是相等没有关系，
∴选项A、B错误，选项C正确；
D中“+15米”就表示向东走了15米，没有规定向东走为正，故选项D错误，
故选C．
点拨：解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，明确什么是相反意义的量．
3．陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8844m，记为+8844m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415m，记为（ ）
A．+415mB．﹣415mC．±415mD．﹣8848m
答案：B
解析：根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法，可得：高出海平面8844m，记为+8844m；则低于海平面约415m，记为﹣415m，据此解答即可．
故选：B．
点拨：解答此题的关键是要明确：具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
4．下列说法：
①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；
②﹣22既是负数、整数，也是自然数；
③0既不是正数，也不是负数，但是整数；
④0是非负数．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
解析：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；
②﹣22既是负数、整数，但不是自然数，错误；
③0既不是正数，也不是负数，但是整数，正确；
④0是非负数，正确；
故选C．
点拨：按照有理数的分类，
即有理数，即可得出答案．
二．填空题
5．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“﹣20元”表示 ．
答案：支出20元
解析：“正”和“负”相对，
如果将“收入50元”记作“+50元”，
那么“﹣20元”表示支出20元．
故答案为：支出20元．
点拨：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
6．在﹣，1，0，8.9，﹣6、在这些有理数中，正数有 ，整数有 ，非正数有 ．
答案：见解析
解析：正数有：1，8.9；
整数有：1，0，﹣6；
非正数有：﹣，0，﹣6．
点拨：根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据分母为一的数是整数，可得整数集合；根据小于或等于零的数是非正数，可得非正数集合．
三．解答题
7．请把下列各数填入相应的集合中
，5.2，0，，，﹣22，，2005，﹣0.030030003…
正数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
非负整数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}．
答案：见解析
解析：正数集合：{，5.2，，，2005，…}
分数集合：{，5.2，，﹣，…}
非负整数集合：{0，2005，…}
有理数集合{，5.2，0，，﹣22，，2005，…}，
点拨：根据正数的意义，分数包括分数、有限小数、无限循环小数，非负整数包括正整数和0，有理数是指有限小数和无限循环小数，根据以上内容判断即可.
能力型：
一．选择题
1．仔细思考以下各对量：
①胜二局与负三局；
②气温上升3℃与气温下降3℃；
③盈利5万元与支出5万元；
④增加10%与减少20%．
其中具有相反意义的量有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
答案：C
解析：胜负、上升和下降、增加和减少都有相反意义，盈利和亏损有相反意义，
故①②④具有相反意义．
故选C．
点拨：解答此题的关键是要明确：具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克B．25.30千克C．24.80千克D．25.51千克
答案：C
解析：“25±0.25千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格，
故只有24.80千克合格．
故选：C．
点拨：此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
3．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期几水位最低（ ）
A．星期二B．星期四C．星期六D．星期五
答案：C
解析：由于用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数，由图表可知，周一水位比上周末上升0.12米，从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
故选C．
点拨：此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分内容时一定要联系实际，不能死学．
二．填空题
4．某班5名学生在一次数学测验中的成绩以90分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下：﹣4，+9，0，﹣1，+6，则他们的平均成绩是
分．
答案：92
解析：∵（﹣4+9+0﹣1+6）÷5=2，
∴他们的平均成绩=2+90=92（分），
故答案为：92．
点拨：先求得这组新数的平均数，然后再加上90，即为他们的平均成绩．
5．某粮店出售三种品牌的大米，袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，其中任意拿出两袋，它们最多相差 kg．
答案：0.6
解析：这几种大米的质量标准都为25千克，误差的最值分别为：±0.1，±0.2，±0.3．
根据题意其中任意拿出两袋，
它们最多相差（25+0.3）﹣（25﹣0.3）=0.6kg．
点拨：题考查正负数在实际生活中的应用，需注意应理解最值的含义．注意“任意拿出两袋”．
三．解答题
6．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
答案：见解析
解析：解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14﹣9=5千米；
14﹣9+8=13千米；
14﹣9+8﹣7=6千米；
14﹣9+8﹣7+13=19千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6=13千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12=25千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37﹣28=9（升）
点拨：本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．
探究型：
一．解答题
1．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2016﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2016}就是一个黄金集合，
（1）集合{2016} 黄金集合，集合{﹣1，2017} 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）
（2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
（3）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
答案：见解析
解析：解：（1）根据题意可得，2016﹣2016=0，而集合{2016}中没有元素0，故{2016}不是黄金集合；
∵2016﹣2017=﹣1，
∴集合{﹣1，2017}是黄金集合．
故答案为：不是，是．
（2）一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是﹣2000．
∵2016﹣a中a的值越大，则2016﹣a的值越小，
∴一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则最小的元素为：2016﹣4016=﹣2000．
（3）该集合共有24个元素．
理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2016﹣a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个．
∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2016﹣a=2016，2016×12=24192，2016×13=26208，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，
∴这个黄金集合中的元素个数为：12×2=24（个）．
点拨：（1）根据有理数a是集合的元素时，2016﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为黄金集合，从而可以解答本题；
（2）根据2016﹣a，如果a的值越大，则2016﹣a的值越小，从而可以解答本题；
（3）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2016，然后通过估算即可解答本题．
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/米
0.12
﹣0.02
﹣0.13
﹣0.20
﹣0.08
﹣0.02
0.32