沪科版（2024）七年级下册（2024）分式方程优质学案

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▉题型1 分式方程的解
【知识点的认识】
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
1．若整数a使得关于x的不等式组x≥−35x＜a+83至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程方程ay+1y−2−52−y=−1有整数解，则满足条件的整数a之和为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．4
2．已知关于x的分式方程k−1x−5=2−x5−x的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k＜﹣9C．k＞﹣9且k≠6D．k＞6且k≠9
3．如果关于x的分式方程xx−2+m+12−x=3有非负整数解，关于y的不等式组y2+1≥y+235(y−1)＜y−(m+3)有且只有2个整数解，则所有符合条件的m的和是（ ）
A．3B．5C．8D．10
4．关于x的方程：ax+1=1的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＜1且a≠0C．a≤1D．a≤1且a≠0
5．若关于x的不等式组12(3x−2)≤x+15x+3＞a−2x有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程xx−1−a−21−x=3有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和为 ．
▉题型2 解分式方程
【知识点的认识】
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
6．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）
A．1a−4B．1a+1C．14−aD．−1a+1
7．当x＝ 时，分式x−2x+1的值为2．
8．若1x2−6x+9＝0，那么2x= ．
9．解分式方程：2x2−4=1−xx−2．
10．解方程：
（1）1x−1=32x+1；
（2）2x2x+5+55x−2=1．
11．（1）计算：13×|−3|+(−6)0−2×(−14)−2；
（2）解方程：3x+4=2x−1．
12．计算：
（1）解方程：x2x−3+53−2x=4；
（2）解不等式组：5x−1＞3(3x+1)2x−13−x2≤1．
13．以下是某同学解分式方程2xx−2=1−x2−x−3的部分过程：
（1）该同学解法中第一步的依据是 ；
（2）将该同学的解答过程补充完整．
14．解方程：（1）1−xx−4=34−x+2；
（2）xx+1−4x2−1=1．
▉题型3 分式方程的增根
【知识点的认识】
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
15．若关于x的分式方程mx+5=m−15+x有增根，则m的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
▉题型4 由实际问题抽象出分式方程
【知识点的认识】
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
16．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A．1x+1x−2=1.2B．1x+1x+2=11.2
C．1x+1x−2=11.2D．x+（x﹣2）＝1.2
17．为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少10%，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（ ）
A．150000x=150000(1−10%)x−30
B．150000x=150000(1+10%)x−30
C．150000x=150000(1−10%)x+30
D．150000x=150000(1+10%)x+30
18．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要x小时，则根据题意，可列方程为（ ）
A．160x+4=120xB．160x=120x+4
C．160x=120x−4D．160x−4=120x
19．小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多0.5度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了20千米，且A款一共消耗了30度电，B款一共消耗了29度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（ ）
A．30x=29x+0.5+20B．30x=29x−0.5−20
C．30x=29x+0.5+0.2D．30x=29x−0.5−0.2
20．某鲜牛奶加工厂的生产车间原有38人，包装车间原有42人，因为某个业务的需要，从生产车间抽调x人到包装车间，要使包装车间的人数比生产车间的人数的2倍还多5人才能够顺利完成任务，依题意列出的方程是 ．
21．某校组织学生进行劳动实践活动，用500元购进甲种劳动工具，用1200元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具的数量是甲种的2倍，且单价贵了4元，设甲种劳动工具的单价为x元，则x满足的方程为 ．
22．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得 ．
23．李维家到学校的路程为38km，李维从家去学校总是先乘公交车，下车后再步行2km才能到学校，路途所用的时间共1h，已知公交车的速度是李维步行速度的9倍，求李维步行的速度．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下：
甲：38−2□+2x=1
乙：38−2□=9×2y
①理顺甲、乙两名同学所列方程的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义：
甲：x表示 ；
乙：y表示 ；
②补全甲、乙两人所列的方程；
（2）求李维步行的速度（写出完整的解答过程）．
▉题型5 分式方程的应用
【知识点的认识】
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
24．甲、乙两位打字员承担一项打字任务，已知有如下信息：
信息一：甲单独完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4小时；
信息二：甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等．
根据以上信息可知，乙单独完成这项任务需要（ ）
A．10小时B．12小时C．14小时D．16小时
25．爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是（ ）
A．11岁B．12岁C．13岁D．14岁
26．某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
（2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
27．我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若又甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工1天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，求甲、乙两队最多合作多少天？
28．近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的98倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元．
（1）求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？
（2）根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨a%，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调12a%，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值．
29．“安庆是我家，创建靠大家”．在去年争创全国文明城市的活动中，我市“青年志愿团”决定义务清除重达120吨的垃圾．开工后，附近居民主动参加到义务活动中，使得清除垃圾的速度是原计划的2.5倍，结果提前4小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时清除多少吨垃圾．
30．为了开展“红色教育”主题学习活动，提高学生的爱国主义意识，某校周末组织学生去太原解放纪念馆研学，已知该校到纪念馆全程共140km，由于天气原因，校车的平均速度比平时正常行驶的平均速度少20km/h，而所用时间是平时正常行驶所用时间的75，求校车平时正常行驶的速度．
31．某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：
信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；
信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
32．甲、乙两辆客车分别从相距40千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了25千米，如果乙车每小时比甲车多走2千米，求甲乙两车速度．
33．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？题型1 分式方程的解
题型2 解分式方程
题型3 分式方程的增根
题型4 由实际问题抽象出分式方程
题型5 分式方程的应用

解：整理，得2xx−2=x−1x−2−3⋯第一步
去分母，得…