初中数学16.3.2 完全平方公式习题

这是一份初中数学16.3.2 完全平方公式习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列等式成立的是（ ）．
A .x+3yx−3y=x2−9y2
B .a+b2=a2+b2
C .x+2x−1=x2+x−1
D .a−b2=a2−b2
2.将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A . （a+b）2=a2+2ab+b2
B . （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C . a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D . （a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
3.已知x 2+4y 2=13，xy=3，求x+2y的值，这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决，其中x＞y，能较为简单地解决这个问题是图形是（ ）
A .
B .
C .
D .
4.如图有三种不同的纸片，现选取4张拼成了图甲，你能根据面积关系得到下列等式成立的是（ ）
A .a(a+b)=a2+ab
B .a2−b2=(a+b)(a−b)
C .(a−b)2=a2−2ab+b2
D .(a+b)2=a2+2ab+b2
5.四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ）
A . a2−b2 B . 2ab C . a2+b2 D .4ab
6.若关于x的代数 x2−2(m−1)x+16 是完全平方式，则m=（ ）
A . 3或-1 B . 5 C . -3 D . 5或-3
二、填空题
1.在△ ABC中，如果∠ C=90°， ab =48， a－ b=2，那么△ ABC的周长为 ________ ．
2.若m为正实数，且m﹣ 1m=3，则m 2﹣ 1m2= ________
3.三角形的三边长为a，b，c满足等式 (a+b)2−c2=2ab ， 那么此三角形是 ________
4.如图，在△ABC中，AB =CB =9，∠B =90°，点O是△ABC内一点，过点O分别作边 AB、BC的垂线，垂足分别为点D、E，且OD 2＋OE 2 =36，连接OA、OC，则△AOC面积的最小值为 ________ ．
5.如图，点C是线段AB上的一点，分别以 AC、BC为边在 AB的同侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG ， 连接 EG、BG、BE ， 当 BC=1时， △BEG的面积记为 S1 ， 当 BC=2时， △BEG的面积记为 S2 ， …，以此类推，当 BC=n时， △BEG的面积记为 Sn ， 计算： S40−S39+S38−S37+⋯+S2−S1= ________ ．
三、计算题
1.小芬在解决问题：已知 a=12+3 ， 求 2a2-8a+1的值．她是这样解的．
∵a=12+3=2-3（2+3）（2-3）=2-3 ，
∴（a-2）2=3 ，
∴a2-4a+4=3 ，
∴a2-4a=-1；
∴2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1 ．
请你根据小芬的解答过程，解决如下问题：
（1） 计算： 13+1+15+3+17+5+⋯+1225+223；
（2） 若 a=12−1：
①求 4a2-8a-1的值；
②求 3a3-12a2+9a-12的值．
2.（1）已知 y=2x−4+4−2x+4 ， 则 xy的立方根值为 ．
（2）先化简，再求值： [(−x+2y)2−(x+2y)(x−2y)]÷(−2y) ， 其中 x,y的值与（1）问相同．
3.先化简代数式 a2−2a+1a2−4÷1−3a+2 ， 再从 2 ， -2 ， 1 ， -1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
四、综合题
1.若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x) 2+(x−9) 2 的值.
设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1） 若x满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x) 2+(x−2) 2 的值
（2） 已知正方形 ABCD 的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积.
2.图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：

（1） 如图1，求S 大正方形的方法有两种：S 大正方形=(x+y) 2 ， 同时，S 大正方形=S ①+S ②+S ③+S ④= ________ ．所以图1可以用来解释等式： ________ ；同理图2可以用来解释等式： ________ ．
（2） 已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a 2+b 2+c 2的值．
3.阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2 ， 就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2 ， 使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2 ， 整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1） 利用“配方法”分解因式：a 2﹣6a+8．
（2） 若a+b=5，ab=6，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值．
（3） 已知x是实数，当x为何值时，此多项式2x 2的最小值是多少．
五、解答题
1.我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算.在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
（1） 已知 a ， b ， c是 ΔABC的三边，且满足 a2+2b2=2b(a+c)−c2.
判断 ΔABC的形状；
（2） 两位同学将一个二次三项式 ax2+bx+c分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成 3(x−1)(x+2) ， 另一位同学因看错了常数项而分解成 3(x+2)(x−3) ， 请你求出原来的多项式并将原式分解因式.
2.用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．
（1）69×71； （2）992 ．
3.阅读与思考
如果两个正数 a、 b ， 即 a>0 ， b>0 ， 则有： a−b2≥0①
又 a−b2=a2−2⋅a⋅b+b2②
=a+b−2ab≥0③
∴ a+b2≥ab ，
当 a=b时， a−b2=0；当 a≠b时， a−b2>0；即：当且仅当 a=b时取到等号．我们把 a+b2叫做正数 a、 b的算术平均数，把 ab叫做正数 a、 b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，下面举一例子：
例：已知 x>0 ， 求 x+4x的最小值．
解：∵ x>0 ， ∴ 4x>0；∴x+4x≥2x⋅4x=4
即： x+4x的最小值为4．
根据上面回答下列问题
（1） 上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______；
（2） 已知 x>0 ， 则 x+2x的最小值为______，此时 x的值为______；
（3） 若 x