数学北师大版八年级下第一章三角形的证明及其应用整理与复习pptx

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第一章三角形的证明小结与复习八年级数学下（BS） 例1.如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数.解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)∵∠B=38°，∠C=62°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=40°，【知识点2等腰三角形】（1）定义：有_____相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个_____相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的___________、底边上_______的与底边上_____的互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.两边两角角平分线中线高线【题型1  利用等腰三角形的性质求角度】【例1】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°D【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（　　） A．45° B．50°C．55° D．60°D【题型2  利用等腰三角形的性质求线段长度】【例2】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　）A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cmB【题型3  等腰三角形的证明】【例3】如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形． 证明：过点D作DG∥AE于点G，∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中∴△GDF≌△CEF（ASA），∴DG＝CE又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．1.性质⑴等边三角形的三边都相等;⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________;⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.60°【知识点3 等边三角形】2.判定⑴三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=　BD．又∵BC= 　AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．例1:已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB．求证：∠BAC=30°．直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角______.互余直角三角形的判定定理1 有两个角______的三角形是直角三角形.互余【知识点4 直角三角形】 B逆定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．【知识点5 勾股定理与逆定理】1．互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　，那么这两个命题叫做互逆命题．2．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成　 　，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题．结论条件结论条件【知识点6 命题与逆命题】3．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理．[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．逆例1下列命题的逆命题是假命题的是（   ）A．在同一个三角形中，等边对等角B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等D．全等三角形的对应角相等D1.线段垂直平分线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.3．常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的　 　；(2)作已知线段的垂直　 　线．垂线平分4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.【知识点7 线段垂直平分线】【例1】已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝　　． 【题型1  线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】6【题型2  线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【例2】如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　） A．168°B．158°C．128°D．118°C【题型3  线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【例3】如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　） A．A处B．B处C．C处D．D处C【题型4  线段垂直平分线的性质的综合运用】【例4】如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数； 解：（1）∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长． （2）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，AE＝BE，∵△BCD的周长为18cm，∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．∵△ABC的周长为30cm，∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，∴BE＝12÷2＝6cm．1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.【知识点8 角平分线的性质与判定】例1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）又∵∠BAC=60 º∴∠BAD=30 º在Rt△ADE中，∠AED=90 º，AD=10∴DE= ½AD= ½×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 º.那么它所对的直角边等于斜边的一半）例2.如图，已知：BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF交于点D，若BD=CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=∠CED=90°，∵∠BDF=∠CDE,∵BD=CD,∴△BDF≌△CDE∴DF=DE又∵BE⊥AC， CF⊥AB∴AD平分∠BAC.例3 P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：(1)PE＝PF；证明：(1)连接AP.∵PE⊥ AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90 °.又∵AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP ≌Rt△AFP(HL)．∴PE＝PF.例3 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：(2)点P在∠BAC的平分线上．(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴点P在∠BAC的平分线上．课堂小结三角形的证明等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定勾股定理等边三角形的性质等边三角形的判定直角三角形直角三角形的性质两个直角三角形全等的判定（HL）直角三角形的判定等边三角形勾股定理的逆定理垂直平分线的性质角平分线的性质