第一章 三角形的证明及其应用【章末复习】--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件章末复习第一章 三角形的证明及其应用授课教师： . 班 级： . 时 间： . 知识框架三角形的证明及其应用三角形内角和定理三角形的内角和、全等三角形三角形的外角多边形的内角和、外角和等腰三角形等腰三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定反证法含30°角的直角三角形的性质知识框架直角三角形的性质与判定直角三角形全等的判定线段垂直平分线的性质与判定三角形三边的垂直平分线角平分线的性质与判定三角形内角的平分线直角三角形线段的垂直平分线角平分线三角形的证明及其应用知识梳理三角形三个内角的和等于180°。1.三角形内角和定理2.三角形内角和定理的推论三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。n边形的内角和等于(n-2)·180°。1.多边形的内角和与外角和2.正多边形多边形的外角和等于360°。性质全等三角形的对应边相等、对应角相等边边边(SSS)角边角(ASA)角角边(AAS)边角边(SAS)等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）1.等腰三角形的性质等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）2.等腰三角形的判定有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）D3.等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。4.等边三角形的判定三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。5.含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。6.反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。1.直角三角形的性质与判定几何语言：在△ABC中， ∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。几何语言：在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。几何语言：在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°2.勾股定理的逆定理3.逆命题、逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。3.直角三角形全等判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。1.线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2.线段垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3.三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。1.角平分线的性质与判定OP 平分∠AOBPD⊥OA 于 DPE⊥OB 于 EPD = PEOP 平分∠AOBPD = PEPD⊥OA 于 DPE⊥OB 于 E1．某品牌椅子的侧面图如图所示，DE与地面AB平行。若∠DEF＝120°，∠ABD＝60°，则∠ACB的度数为(　　)A．50°B．60°C．65°D．70°B 返回2．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变。若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　)A．30°B．40°C．60°D．70°D 返回3．(8分)如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C。(1)求证：∠EAD＝∠EDA；证明：∵∠B＝∠AED，∴180°－∠B＝180°－∠AED，即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED。(2)若∠C＝60°，DE＝4，则△AED的面积为________。 返回4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列结论可能错误的是(　　)A．∠ADC＝90° B．DE＝DFC．AD＝BC D．BD＝CDC 返回5．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于(　　)A．15° B．20° C．25° D．30°A 返回6．如图①，衣架杆OA＝OB＝16 cm(O为衣架的固定点)；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是(　　)A．8 cm B．16 cm C．12 cm D．6 cmB 返回7．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论。 解：△APQ是等腰三角形。证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°。∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°。∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC。又∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P。∴AP＝AQ，∴△APQ为等腰三角形。 返回8．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，顶点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的度数为(　　)A．40° B．45° C．50° D．55°C 返回9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)A．∠C－∠B＝∠AB．c2＝b2－a2C．∠A∠B∠C＝522D．a∶b∶c＝3∶4∶5C 返回10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝________。 3 返回11．(4分)如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积。 返回12．[湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　)A．6 B．9 C．12 D．18C 返回13．[咸阳期中]如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为(　　)A．110° B．120° C．130° D．140°D 返回14．如图，等边三角形ABC的三条边的垂直平分线交于点O，写出△AOB，△BOC和△AOC周长的数量关系：______________________。 C△AOB＝C△BOC＝C△AOC 返回15．(4分)[陕西师大附中模拟]如图，在△ABC中，AB>AC。尺规作图：作∠BAC的平分线，在平分线上确定点D，使得DB＝DC。(不写作法，保留痕迹) 解：如图，AD和点D即为所求。 返回16．(8分)[西安西咸新区期末]如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，过点A作AF∥BC交CD于点F，延长AB，DC交于点E，已知BD所在的直线是线段AC的垂直平分线。(1)AC是否平分∠EAF？请说明理由； 解：AC平分∠EAF，理由如下：∵BD所在的直线是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA。∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF。 返回17．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设(　　)A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0B 返回18．下列定理中，没有逆定理的是(　　)A．有两个角相等的三角形是等腰三角形B．直角三角形的两锐角互余C．全等三角形的对应角相等D．内错角相等，两直线平行C 返回19．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的有________个。 3 返回2.三角形内角的平分线比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理