2026年上海市嘉定区初三上学期一模数学试卷和参考答案

这是一份2026年上海市嘉定区初三上学期一模数学试卷和参考答案，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷含三个大题，共 25 题；
答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列 y 关于 x 的函数中二次函数是··································································（ ▲）
（A） y  ax2  bx  c(a  0) ；（B） y  2 ；
x
（C） y  (x  2)2  x2 ；（D） y  3x  9 ．
在 Rt△ ABC 中，已知C  90，AB  4，BC  2 ，那么下列各式中正确的是··· （ ▲）
（A） tan A  1 ；（B） ct A  1 ；（C） sin A  1 ；（D） cs A  1 .
2222
已知抛物线 y  ax2  bx  c(a  0) 如图 1 所示，那么下列各式中不成立的是········· （ ▲）
（A） a  0 ；
（B） b  0 ；
（C） c  0 ；
（D） a  b  c  0 .
（图 1）
在△ ABC 中，点 M、N 分别是边 AB、AC 上的点，那么下列条件中不能推得 MN // BC 的是（▲）
（A） AM  AN ； （B）
AB  AC ； （C） BM  CN ； （D） AM  MN ．
BMCN
AMAN
ABAC
ABBC
下列说法中不正确的是················································································· （▲）
如果 k 是一个实数， a 是向量，那么 ka 与 a 方向相同；
如果向量b 与非零向量 a 平行，那么存在唯一的实数 m ，使b  ma ；
如果e 是单位向量，那么 e  1；
（图 2）
如果 m 、 n 是实数，那么(m  n)a  ma  na ．
如图 2，正方形 DEFG 的边 EF 在△ ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知 BC  AH ．下列结论中不正确的是························································································（ ▲）
△ ABC ∽△ ADG ； （B） AD  AP
ABAH
； （C） S
△ ADG
 2 S
5
△ ABC
； （D） AP  PH ．
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
已知 x  5 ，那么 x  y ▲．
y2y
已知抛物线 y  (m 1)x2  4x  4 有最高点，那么 m 的取值范围是 ▲．
二次函数 y  3x2  2x 1的图像在其对称轴右侧的部分是 ▲的（填“上升”或“下降” ) ．
已知二次函数 y  ax2  bx  c(a  0) 的图像经过(1,1) 和(3,1) ，那么此二次函数图像的对称轴为直线 ▲．
把一个三角形放大，如果所得三角形的面积扩大为原来的9 倍，那么它的周长扩大为原来的 ▲倍．
如图 3，已知直线l1、l2、l3 分别与直线 m 交于点 A、B、C ，与直线 n 交于点 D 、E 、F ，如果l1 ∥ l2 ∥ l3 ，
3AB  2BC ， DE  6 ．那么 DF  ▲．
2
如图 4，点 P 是正方形 ABCD 边 BC 上一点，且 BP  3
， PC 
，点Q 是边 DC 的中点，那么 AQ
2
QP
的值为 ▲．
如图 5，传送带和地面所成斜坡的坡度为1: 2.4 ，它把物体从地面点 A 处送到离地面 5 米高的点 B 处，那么该物体在传送带上所经过的路程为 ▲米．
（图 3）（图 4）（图 5）
如图 6，在港口 P 的南偏东60 方向有一座小岛Q ，一艘船从港口 P 出发沿正东方向行驶 24 海里后到达 A 处，在 A 处测得小岛Q 恰在其西南方向，那么小岛Q 与港口 P 相距 ▲海里．（结果保留根号）
如图 7，点 G 是△ ABC 的重心，联结 AG 并延长交边 BC 于点 D ．如果 AB  a ， AC  b ，那么 AG 
▲．（用含向量 a 、b 的式子表示）
（图 6）（图 7）
在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点 P ，绕原点O 顺时针旋转 (0    360) 得到对应点 P1 ，点 P2 在射线OP1 上，且OP2  kOP1 (k  0) ，得到最终的对应点 P2 ，称点 P2 为点 P 经过[ , k ]变换
后的对应点．例如，点 A(1,1) 经过[45, 2] 变换后的对应点为 A (2，0) ，那么点 A (2，0) 经过[30,3 ] 变换后
2
22
的对应点坐标为 ▲．
如图 8，Rt △ ABC 中，已知C  90 ，AC  2 ，BC  4 ，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 (0    90) 得到△ AB'C'，点 B、C 的对应点分别为 B'、C' ，联结 B'C ．如果直线 B'C 垂直于 AB ，联结 B' B ，那么此时△AB' B 的面积是 ▲ ．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
（本题满分 10 分）
tan 2 60  ct 45
计算：．
2 sin 2 60  cs 60
（图 8）
（本题满分 10 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y  x2 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后得到的新抛物线 L 与 x
轴交于点 A 和 B (点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点C ，新抛物线 L 的顶点为 D ，联结 BC ， CD ．
请求出平移后新抛物线 L 的表达式及点C 的坐标；
求BCD 的正切值．
（本题满分 10 分）
上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图 9，小海在 A 处用测角仪测得塔顶 M的仰角为37 ，再往塔的方向前进30 米至 B 处(点 N 为塔底中心，且点 A、B、N 在同一水平线上)，测得此时塔
顶 M 的仰角为60 ，已知测角仪的高度为1.5 米．请估算法华塔的高度．
(参考数据： sin 37  3 ， cs 37  4 ， tan 37  3 ，
3
 1.73 ，结果精确到 0.1 米)．
554
（图 9）
（本题满分 10 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材 54 页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并回答问题：
请写出图中
AP
的值是 ▲；
AB
我们把顶角为36 的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段 EF 为底边的黄金三角形 EFG （不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）．
（本题满分 12 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
如图 10，在△ ABC 中， ACB  90 ，点 D 是边 AB 上一点，满足 AC 2  AD  AB ，点 E 是 AC 的中点，联结 ED 并延长交CB 的延长线于点 F ．
求证：（1） CD  AB ；
（2） BC  CF  AC  DF ．
（图 10）
（本题满分 12 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）①题 4 分，第（2）②题 4 分）
如图 11，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y  x2  bx  c 与 x 轴交于点 A（1,0）和C ，与 y 轴交于点 B（0,3），顶点为 D ，联结 AB、BC ．
求抛物线的表达式；
点 P 是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点 P 在 x 轴上方时，联结 PB、PC ，如果 S
△PBC
 1 S
2
△ ABC
，求点 P 的坐标；
②如果点 E 在对称轴上，且使△PDE 与△AOB 相似，请直接写出点 P 的坐标．
（图 11）
（本题满分 14 分，其中第（1）小题 5 分，第（2）①题 5 分,第（2）②题 4 分）
如图 12，在△ABC 和△ADE 中，点 E 在△ ABC 内， BA  BC ， DA  DE ， ADE  ABC ，联结 EC ，
EB 和 BD ， DE 与 AB 相交于点O ．
求证： △DBA ∽△ECA ；
已知 AE  2 ， AC  4 ，如图 13，当 D、E、C 三点共线时，
OB
①求的值；
OD
②如果 EC  3，求ABC 的正弦值．
（图 12）
（图 13）
2025 学年第一学期九年级质量调研
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1. A；2. C；3. B；4. D；5. A；6.C .
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7. 7 ；8. m  1；9.上升；10. x  1 ；11. 3 ；12.15 ；
2
3
6
13. 2 ；14.13 ；15. 24(1) ；16. 1 a  1 b ；17. ( 3 ,3 ) ；18. 4
3322
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19.解：原式 
(
2  (
3)2 1
3 )2  1
22
 3 1
3  1
22
 2
20.（1）解：抛物线 y  x2 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后得到的新抛物线 L ： y （x  2）2 1
令 x  0 ，得 y  3 ，点C(0,3)
（2）解：由 y （x  2）2 1 得顶点 D(2,1)
1
由 y （x  2）2 1  0 解得 x  1, x  3
2
点 A 在点 B 左侧 B(3,0)
OB2  OC 2
2
 BC  3
(3  2)2 [0  (1)]2
2
BD 
(2  0)2  (1 3)2
5
CD  2
CD2  BC 2  BD2
△ BCD 是直角三角形， CBD  90
tan BCD  BD  1
BC3
21.解：联结 MN ，延长CD 交 MN 于点 H
由题意知： MN  AN ， CD ∥ AB ， CH  MN ， AB  CD  30 ， CA  BD  HN  1.5 ， MDH  60 ，
MCH  37
在 Rt△MDH 中， tan MDH  MH
HD
 tan 60
即 HD 
MH
tan 60
3 MH
3
同理 HC 
MH
tan 37
 4 MH
3
CD  HC  HD
 4 MH 
3
3 MH  30
3
4  3
 MH 90
 39.65
 MN  MH  HN  39.65 1.5  41.2
答：法华塔的高度约为 41.2 米．
22.（1）
5 1
2
（2）△EFG 即为所要求作的黄金三角形．
23.（1） AC 2  AD  AB
 AC  AB ADAC
A  A
△ACD ∽△ABC
ACB  ADC
ACB  90
ADC  90
CD  AB
（2）点 E 是 AC 的中点， ACB  90
 ED  1 AC  EC
2
ECD  EDC
EDC  CDB  BDF  180 ， CDB  90
EDC  BDF  90
ECD  DCB  90
BDF  DCB
又F  F
△FBD ∽△FDC
 DB  DF
CDCF
ct ABC  BD  BC
CDAC
 DF  BC
CFAC
 BC  CF  AC  DF
24.（1）解：抛物线 y  x2  bx  c 经过点 A（1,0）和点 B（0,3），


1 b  c  0 解得b  2
c  3c  3
抛物线的表达式为 y  x2  2x  3
1
（2）解：①令 y  x2  2x  3  0 得 x
 1, x2
 3 ，得C(3,0)
 S 1  AC  OB  1  4  3  6
△ ABC
 S△PBC
2
 1 S
2
2
△ ABC  3
过点 P 作 PH  x 轴，垂足记为点 H
设点 P(m,m2  2m  3)
 PH  m2  2m  3，OH  m，CH  3  m
可知 S
 1 OB  OC  9
△OBC22
S梯形PHOB 
(PH  OB)  OH
2
 (m2  2m  3  3)  m
2
S 1 PH  HC  1 (m2  2m  3)  (3  m)
△PHC22
由图可知， S四边形PBOC  S梯形PHOB  S△PHC  S△PBC  S△OBC
 1 (m2  2m  3  3)  m  1 (m2  2m  3)  (3  m)  9  3
222
解得： m1  1, m2  2
点 P 是抛物线上对称轴 l 右侧且在 x 轴上方的动点
1  m  3
 P(2,3)
4
② P1 (4,5) P2 ( 3
, 35 )
9
25.（1）证明： BA  BC ， DA  DE
 BA  DA  1
BCDE
 BA  BC
DADE
ADE  ABC
△ABC ∽△ADE
 BAC  DAE
 BAC  BAE  DAE  BAE
即DAB  EAC
 AD  AE ABAC
 AD
AE
 AB AC
△DBA ∽△ECA
（2）解：① DA  DE
DAE  DEA
DAB  BAE  EAC  ECA
DAB  EAC
BAE  ECA
AOE  COA
△AOE ∽△COA
 OA  AC  OC
OEAEOA
 AE  2 ， AC  4
 OA  2
OE
由（1）知△DBA ∽△ECA
DBA  ECA
BAE  DBA
 AE ∥ DB
 OE  OA
ODOB
即 OB  OA  2
ODOE
②：由①已证 OA  OC  2
OEOA
设OE  m ，则OA  2m ， OC  4m
 EC  3  OC  OE
 4m  m  3，m  1
即OA  2  AE
△DBA ∽△ECA
令 AB  BD  k
ACCE
则 AB  BC  4k，BD  3k
得 BO  4k  2
 AE ∥ DB
 OA  AE
OBBD
 4k  2  3k
解得： k  2
 AB  BC  8
过点 B 作 BG  AC 垂足为点G ，过点 A 作 AH  BC 垂足为点 H
 AB  BC，BG  AC
 AG  1 AC  2
2
在 Rt△ AGB 中， AGB  90
AB2  AG 2
15
 BG  2
 S 1 AC  BG  1 BC  AH
△ ABC22
15
 AH 
在 Rt△ BAH 中， AHB  90
sin ABC  AH 15
AB8