2026年上海市黄埔区初三上学期一模数学试卷和参考答案

这是一份2026年上海市黄埔区初三上学期一模数学试卷和参考答案，共10页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150 分，考试时间：100 分钟）
考生注意：
本试卷含三个大题，共 23 题；
答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
（A）400 平方米；
（B）4000 平方米；
（C）8000 平方米；（D）80000 平方米．
．已知点 A 为抛物线 y  2x2 上一点，如果点 A 的横坐标为 a a  0 ，记 AO 与 x 轴的夹角为 ，那么tan  为
（ ▲ ）
1．在比例尺为 1∶200 的地图中，某广场的面积约为 20 平方分米，那么这个广场的实际面积约为（ ▲ ）
2
1
（A）2；（B）
2
；（C） 2a ；（D） 1 ．
2a
..
..
...
已知直角坐标平面内点 A1, 0 ， B 0,1 ，记向量OA  a ， OB  b ，如果OC  2a  3b ，那么点 C 的坐标是
y
O
x
（ ▲ ）
（A） 2,3；（B） 2, 3；（C） 2,3 ；（D） 2, 3 ．
如图，抛物线 y  ax2  bx  c 经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是
（ ▲ ）
（A） a  0 ；
（B） b  0 ；
（C） c  0 ；
（D） b2  4ac  0 ．
小明和小丽家在同一幢楼，小明住 8 楼，小丽住 9 楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部 A 处的仰角为1 ，看底部 B 处的俯角为 1 ；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部 A 处的仰角为2 ，看底部 B 处的俯角为 2 ，那么下列结论中，正确的是（ ▲ ）
（A）1  2 且 1  2 ；（B）1  2 且 1  2 ；
（C） 1  2 且 1  2 ；（D） 1  2 且 1  2 ．
如图，D、E 是△ABC 边 AB、AC 上的两点，在下列条件中，能够判定 DE∥BC 的是（ ▲ ）
（A） DB  1，CE  2，AD  3，AE  4 ；
（B） DB  1，CE  2，AB  3，AC  4 ；
（C） DB  1，CE  2，AD  3，AC  4 ；
（D） DB  1，CE  2，AB  3，AE  4 ．
二、填空题：（本大题共 10 题，每题 4 分，满分 40 分）
【各题答案，请填写在答题纸的相应题号位置中．】
已知： a  b  c  90 ，a∶b∶c=2∶3∶4，那么 a  b  c  ▲．
A
D
E
BC
我们知道抛物线 L : y  x2  2x  4 与 L : y  x2  4x  2 通过平移是可以重合的，那么要使这两 条抛物线平
12
移后重合，平移的距离至少是▲．
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E 是边 AB、AC 上的点，且 DE∥BC，将△ADE 沿 DE
1
C
E
4
B
G
F
D
A
翻折至△FDE，DF 与 BC 交于点 G．如果△FCG 的面积是△ADE 面积的 ，那么线段 DE 的长是▲．
D
G
F
C
E
A
B
（第 9 题）（第 11 题）
已知一个斜坡的坡比是 1∶2.4，如果某人从坡底沿这个斜坡走了 s 米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离
是▲．（用 s 的代数式表示）
..
.. .
如图，正方形ABCD 中，E、F 分别为边BC、CD 的中点，AE 与BF 交于点G．设 AB  a ， AD  b ，那么 AG 
..
▲．（用向量 a 、b 表示）
3
已知△ABC 与△DEF 相似，相似比为
2
，如果△DEF 的面积是 36，那么△ABC 的面积是▲．
已知 是锐角，且tan  = 3 ，那么sin  cs  的值为▲．
2
14 ． 如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半， 那么该三角形较小锐角的正弦值是
A
▲．
如图，在△ABC 中，∠B＝2∠C，AB＝4，AC＝6，那么边 BC 的长是▲．
BC
对于抛物线 y  ax2  bx  c 及其所在坐标平面内的点 P，当过点 P 垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点 P 的两侧时，我们把点 P 称为抛物线 y  ax2  bx  c 的内点．现有抛物线 L1：
2
12
y  x2  2x  2 和 L ： y  1 x2  3 x  1 ，如果点 M 既是抛物线 L 的内点，又是抛物线 L
的内点，那么点
442
M 的纵坐标 yM 的取值范围是▲．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 86 分）
17．（本题满分 10 分）
计算：
2
tan 60 1
 ct2 30  2sin 45cs 45 ．
18．（本题满分 10 分）
已知抛物线 y  x2  bx  c 经过点（1,2）和（0,4）．
求此抛物线的表达式；
指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况．
19．（本题满分 12 分）
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶AB∶BC＝1∶2∶4．
求证：AC⊥BD；AD
求ct ACD 的值．
BC
20．（本题满分 12 分）
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，OD 是△ABC 的中位线，P 是线段 OA 上一点，联结 PD 并延长交 BC 的延长线于点 Q．
如果 CQ＝OD，求证： PDO ＝ POD ；
过点 P 作 PT∥BC 交 AC 于点 T，联结 TO 并延长交 CB 的延长线于点 S，再联结 OQ，求证：OS＝OQ．
P
O
D
C
A
BQ
21．（本题满分 14 分）
已知二次函数 y  ax2  bx  c a  0 的图像经过点 A（ 5 ,0）、B（0,5）．
2
试用字母 a 的代数式表示 b；
如果二次函数 y  ax2  bx  c 图像上存在点 C，使得直线 AB 垂直平分线段 OC，求此二次函数的解析式；
y
O
x
试问：二次函数 y  ax2  bx  c 图像的对称轴是否可能平分线段 AB？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由．
22．（本题满分 14 分）
在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为 2:1（如图 1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）．
场景 1：如图 1-2，当遇到转角为直角的地面时（ MON  90 ），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿 OA
切割后拼接铺入该转角处；
场景 2：如图 1-3，当遇到转角为 60 度的地面时（ POQ  60 ），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿
OB 切割后拼接铺入该转角处．
图 1-1图 1-2图 1-3
在场景 1 中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴MON 的两边，再将乙种地板的长边紧贴MON 的一边 ON 推至紧靠甲种地板（如图 2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边 ON 上的端点即可标记为 A，此时 OA 即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图 2-2），也可在乙种地板上确定切割线 OA．
图 2-1图 2-2
在场景 1 中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即tan AON  ；
在场景 2 中（图 1-3），求乙种地板切割后产生的锐角BOQ 的正切值；
示意图
步骤
小明注意到，工人在场景 2 中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案：
请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景 2 的要求？请说明你的理由．
23．（本题满分 14 分）
如图，过菱形 ABCD 顶点 A 分别作边 BC、CD 的垂线，垂足为 E、F，交对角线 BD 于点 M、N．
求证：BM＝DN；
联结 EN，如果 EN∥AB，求 cs∠ABC 的值；
如果△ABM 与五边形 CFNME 的面积均为 1，求菱形 ABCD 的面积．
A
M
N
E
C
F
BD
1．将甲种地板的长边 CF 紧贴墙边 OP 推至其短边 CD 的一个顶点 D 落在 OQ 上为止；
2．将乙种地板的长边 GJ 紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边 DE 推至其短边 GH 的一个顶点 H 落在 OQ 上为止，标记此时该顶点 H 的位置；
3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边 KR 紧贴墙边 OQ 推至其短边 TK 的一个顶点 T 落在 OP 上为止，此时顶点 T 与前一步标记的点 H 的连线即为切割线．
T
数学参考答案
一、选择题：（本大题 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
1.C；2.C；3.B；4.B；5.B；6.D.
二、填空题：（本大题共 10 题，每题 4 分，满分 40 分）
7．10；8．
；9．4；10． 5 s ；
26
13
4 
11． a 
2 
b ；12．81；13．
3
13
；14． ；
55
15．5；16．
135
1  yM  3 .
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 86 分）
2
3+1
原式=
 ( 3)2  2
22

-（1+1+1+1=4 分）
22
3
=
1+3 1
（2+1+1=4 分）
= 3+1.
（2 分）
2=1+b  c

（1）由题意得4  c
b  3
，（2 分）

解得c  4
，（2 分）
所以表达式为 y  x2  3x  4（1 分）
抛物线开口向上，对称轴为直线 x  3 ，顶点 3 7  ，抛物线在直线 x  3 左侧是下降的，在直线 x  3
2 ， 22
 2 4 
右侧是上升的.（1+1+1+2=5 分）
解：（1）由 AD∥BC，∠ABC=90°，
得∠ABC =∠DAB.（1 分）
又 AD∶AB∶BC=1∶2∶4，
得 DA  AB ，（1 分）
ABBC
所以△DAB∽△ABC，（1 分）
得∠ABD =∠BCA.（1 分）
又∠ABD +∠DBC=90°，
所以∠ACB +∠DBC=90°，（1 分）
得∠BHC=90°，（记 AC 与 BD 的交点为 H）
即 AC⊥BD.（1 分）
CH
（2）由（1）可得△ABH∽△CBH，则
 BH
 BC  2 ,（2 分）
BHAHAB
BH
同理可得△ABH∽△DAH，则
 AH
 AB  2 ,（2 分）
AHDHDA
所以ct ACD =8.（2 分）
证：（1）联结 OC.（1 分）
由 OD 是中位线，得 OD∥BC，又 OD=CQ，
得四边形 OCQD 是平行四边形，（1 分）
可得∠PDO=∠PQC=∠OCB，∠POD=∠B（2 分）
由∠ACB=90°，O 是 AB 中点，得 OC=OB，得∠B=∠OCB.（1 分）
所以∠PDO=∠POD.（1 分）
（2）过点 O 作 OH⊥BC，垂足为 H.（1 分）
由 OB=OC，得 BH=CH.（1 分）
由 PT∥BC，得
PTPD

,
CQDQ
PT  PO（1 分）
BSOB
又 OD∥BC，得
PDPO

，得
DQOB
PTPT

,（1 分）
BSCQ
所以 BS=CQ，即 HS=HQ，（1 分）
又 OH⊥BC，得 OS=OQ.（1 分）

0= 25 a  5 b  c
21．解：（1）由题意得42
，（2 分）
5  c
解得b   5 a  2 .（2 分）
2
令C s,t  ，由题意可知 AC=AO,BC=BO，
 5

得 2
5 2
 s   t 2

2 

=

s  4
，解得
s2  t  52
t  2
s  0

，
t  0
（舍）.
5 
所以C 4, 2 .（3 分）
于是 2=16a   5 a  2  4  5 ，解得 a  5 ，（1 分）
 26

所以解析式为 y  5 x2  49 x  5（1 分）
612
假设能平分.（1 分）
由线段 AB 中点为 5 5  ，（1 分）
 ， 
 4 2 
5 a  2
则 2  5 ，得0  a  8 ，（2 分）
2a4
方程无解，所以不能平分.（1 分）
(另解：假设能平分.
由线段 AB 中点为 5 5  ，则对称轴为直线 x  5 ，由于 A 5 , 0 在函数图像上，则其对称点（0,0）
 ， 
4 
 4 2 
 2
也在函数图像上，与点 B（0,3）在函数图像上，相矛盾.)
1
22.（1）
2
.（4 分）
（2）过点 B 作直线 BX，使与直线 OP 的夹角∠BXO=60°，直线 BX 与 OQ 交于点 Y.
过点 B 作 BW⊥OP,BZ⊥OQ,垂足为 W、Z.（1 分）
易知△OXY 为等边三角形.令 BZ  k ，则 BW  2k ，
得 BY 
k ， BX 
2 3
3
k ,（1 分）
4 3
3
3
又YZ k ,
3
于是OY  2 3k ，得OZ 
k（2 分）
5 3
3
3
在△OBZ 中， tan BOQ （1 分）
5
此方案符合场景 2.（1 分）
在△HOT 中， OT 
k ， OH  2 3k ,∠O=60°，---（2 分）
2 3
3
3
解△HOT 可得tan OHT ，（2 分）
5
所以 TH 即为切割线.
（另外也可证明△OHT 与（2）中△OBY 全等）
23.（1）证△ABE≌△ADF，（2 分）
再证△MBE≌△NDF，（1 分）
得 BM=DN.（1 分）
BNBE
由 EN∥AB∥CD，得，（1 分）
BDBC
DNDF
由 AB∥CD，得，（1 分）
NBAB
DN
由（1）得 DF=BE，又 AB=BC，所以
 NB ，（1 分）
NBBD
即 N 为线段 BD 的黄金分割点.（1 分）
5 1
DFDN
于是cs ABC  cs ADC （1 分）
ADNB2
联结 AC.（1 分）
由△ABM 与五边形 CFNME 面积均为 1，
得△ABN 与四边形 AECF 面积相等.（1 分）
易知△ACE≌△ACF，所以 S
 ACE
 1 S
2
 ABN .
AE
由 AC⊥BD，易证△ACE∽△ABN，则
AB
，（1 分）
2
2
2
2
可知 BE=AE.

BMBE
于是
MDAD
2 ,则 S AMD 
，（1 分）
所以菱形 ABCD 的面积为2 2 +2（1 分）