2026年上海市静安区初三上学期一模数学试卷和参考答案

这是一份2026年上海市静安区初三上学期一模数学试卷和参考答案，共10页。试卷主要包含了01，52等内容，欢迎下载使用。
（满分 150 分，用卷时间 100 分钟）
考生注意：
本试卷含三个大题，共 25 题；
答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
下列各选项中的两个图形一定相似的是
（A）两个直角三角形；（B）两个矩形；
（C）两个等腰梯形；（D）两个正五边形．
如果将抛物线 y  ax 2  bx  c a  0 向下平移若干个单位，那么下列结论中错．误．的是
（A）顶点坐标不变；（B）开口方向不变；
对称轴不变；（D）与 y 轴交点个数不变．
已知在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，那么下列条件中能判定△ABC 与 △ADE 相似的是
（A） AD  AB ；（B） AD  AC ；（C） AD  AB ； （D） AD  AB ．
DEBC
DEBC
AEAC
AEBC
已知一个三角形三边之比为 3︰4︰5，与它相似的另一个三角形最短边的长为 6 cm，那么另一个三角形的周长为
（A）12 cm；（B）24 cm；（C）36 cm；（D）48 cm．
已知点 A(1, y ) ， B(4, y ) ， C(6, y ) 在抛物线 y  3x2 12x  m （其中，m 为常数）上，那么 y ， y ， y 的
123123
大小关系是
（A） y1  y2  y3 ； （B） y3  y1  y2 ； （C） y2  y1  y3 ； （D） y3  y2  y1 ．
如图，已知在矩形 ABCD 中， AB  6 ， BC  8 ，如果分别以 A 、C 为圆心的两圆相切，且点 D 在⊙C 内，点 B 在
⊙C 外，⊙A 的半径 r 的取值范围是
（A） 6  r  8 或10  r  18 ；AD
（B） 2  r  4 或10  r  18 ；
（C） 2  r  4 或16  r  18 ；
6  r  8 或16  r  18 ．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
BC
第 6 题图
已知 x  4 ，那么 x  y ▲．
y3y
二次函数 y  (x  2)2  2 的图像与 y 轴交点坐标是 ▲．
已知一个二次函数的图像最低点坐标为 0,1 ，那么该二次函数的解析式可以是 ▲．（写出一个即可）
已知二次函数 y  ax2  bx  c 的变量 x 与 y 部分对应值如下表所示：
请写出：当 x  2 时，对应的函数值 y  ▲．
如图，已知 AB∥CD∥EF，它们依次交直线l 、l 于点 A、D、F 和点 B、C、E．如果 AD  5 ， BE  18 ，那
x
…
-3
-2
-1
0
1
3
5
…
y
…
7
0
-5
-8
-9
-5
7
…
12
么线段 BC 的长是 ▲．
DF4
如图，已知在△ABC 中，点 D 在边 AB 上， AD  4 ， DB  5 ， ACD  B ，那么 CD 
BC
▲．
..
如图，已知点 G 是△ABC 的重心，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，线段 DE 经过点 G，且 DE∥BC，设 AB  a ，
.... .
AC  b ，那么用向量a 、b 表示向量 DE 为 ▲．
l1
l2
AB
C
D
EF
D•E
G
AA
第 11 题图
BC
D
第 12 题图
BC
第 13 题图
传送带和地面所成斜坡的坡度i  1: 2.4 ，如果它把某物体从地面送到离地面 2.5 米高的地方，那么该物体所经过的路程是 ▲米．
已知点 A 坐标为1, 3 ，如果半径为 r 的⊙A 与 x 轴无公共点，与 y 轴有公共点，那么 r 的取值范围是 ▲．
如图，已知平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上， AE  1 ED ，射线 CE 交 BD 于点 F，交射线 BA 于点 G，
2
那么 GE︰EF︰FC  ▲．（结果化为最简整数比）
如图， △ABC 中， AB  AC  13 ， BC  10 ， CD 是中线，那么tanBCD 的值是 ▲．
A
E
P
Q
A
D
A
E
F
G
D
BC
第 16 题图
BC
第 17 题图
BDC
第 18 题图
如图，等边△ABC 中，点 D 、E 分别在边 BC 、 AC 上， AE  CD ， AD 交 BE 于点 P ， BQ  AD 于点Q ．如果 PQ  3PE ，且 PE 的长为 a ，那么等边△ABC 的边长为 ▲ ．（结果用含 a 的代数式表示）
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
cs 45  12
19．（本题满分 10 分）
计算：
tan 45
ct 30cs 30
 sin 45 ．
20．（本题满分 10 分）
如图，在△ABC 中， B  90 ，通过尺规作图，小明作出了线段 AD 、射线 DE ，依据作图痕迹：
判断下列结论正确的是 ▲．
① △ABC∽△DEC ；② AD  DC ；
③ AB  EC  AC ．（请填写编号）
如果csC  0.8， AB  3 ，求 AD 的长．
第 20 题图
21．（本题满分 10 分）
如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点 A、B、C、D．
求证： AB  CD ；
•
O
B
C
联结 OA、OB，如果OAD  30， OBC  45 ， AB  2 ，求小圆半径 r 的值．
A
D
第 21 题图
22．（本题满分 10 分）
问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点 O 处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点 A 处的仰角为 15°，8 秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点 B 处，测得仰角为 75°，15 秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点 A、B、O 在同一个垂直于地面的平面内．
你能依据所提供数据，求出 A、B 两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为 340 米/秒）分析解决
建立模型：小海画出示意图，MN 表示地面（如图所示），他将雷声传播速度 340 米/秒记作 a ，得到OA  8a ，
OB  15a ，请根据他的思路，求出 AB 之间的距离是多少米．
反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点 A 、 B 的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出 AB 之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由．
B
A
MON
第 22 题图
MON
备用图
23．（本题满分 12 分）
探究活动：“奇异四边形”的特征值
如果一个四边形的四条边和两条对角线这 6 条线段中只有两种不同的长度，我们把这样的四边形叫做“奇异四边形”，其中较短线段与较长线段长度的比值称为特征值，记作 ．
例如，如图所示，四边形 ABCD 中， AB  AC  AD  BD ， BC  DC ，我们就可将它称为奇异四边形，它的特征值 为BC 与 AB 的比值．请解答：
正方形是奇异四边形吗？ ▲ ；如果是，它的特 征值 为 ▲；如果不是，请说明理由．
请构造一个符合奇异四边形特征的梯形，画出这个 梯形的草图，写出在四条边和两条对角线中相等的线段，并求出它的特征值 ．
A
24．（本题满分 12 分）
BD
C
第 23 题图
已知平面直角坐标系 xOy（如图所示），抛物线 y  kx2  2kx  k 1(k  0) 的顶点为 D，与 y 轴交于点 A，直线l : y  kx  k  1(k  0) ．
求证：抛物线的顶点 D 在直线 l 上．
y
1
O
1
x
如果抛物线与直线 l 除点 D 外，同时还经过另一点 C，已知点 E（0，1），联结 CE、AD 交于点 G，联结 CD．
①试说明： S△AEG  S△CDG ；
②当△ADC 为等边三角形时，求 k 的值及∠ECD 的正弦值．
第 24 题图
25．（本题满分 14 分）
在△ABC 中，∠BAC＝60°，已知射线 AP 在∠BAC 内部，射线 AQ 与射线 AP 在边 AB 的两侧，QAP  BAC ，点 E 、 D 分别在射线 AP 、 AQ 上， AD AC  AB AE ．
如图，联结 DB 、CE ，求证： ABC  AEC  BDE ；
2
如果 AP 平分BAC ，线段 AE 与边BC 的公共点为G ， AB  AG  6 ， AE  x ， DE  y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
如果 AP  BC ，垂足为点 K ，且 DE AC ， AC  6 ， EK ，求 DE 的长．
D
B C
第 25 题图
E
P
AA
B C
Q
备用图
九年级数学学科练习评分参考 2026.1
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．D ；2．A；3．C；4．B；5．B；6．C．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7． 7 ；8．（0,6）； 9． y  x2 1
3
2
等；10．-8 ；11．10； 12． ；
3
13． 2 b  2 a ； 14．6.5；15．1  r  3 ； 16．5:4:6； 17． 4 ； 18． 3
7a ．
335
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
解：原式=
1
3  3
2

1  2
2
2
2
= 2 
3
2 1 2
22
= 2 1 =  1
33
20．（1） ①③
（2）∵在△ABC 中，∠B=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AC 于 E，
∴BD=DE，∴Rt△ABD≌Rt△AED, ∵AB=3，∴AE=AB=3，
在 Rt△ABC 中，∵csC=0.8，即
BC  4 ，∴可设 BC  4k ， AC  5k ，
AC5
AC 2  BC 2
∴ AB  3k  3 ，∴ BC  4 ， AC  5 ，
设 DE  BD  x ，那么 DC  4  x ，
EC
在 Rt△DEC 中，∵csC=0.8， EC  5  3  2 ，∴
DC
 4 
5
2
4  x
，∴ x  3 ，
•O
A
H
B
CD
2
AE 2  DE 2
在 Rt△ADE 中， AD 

 3 5 ．
32  1.52
2
21．（1）证明: 过点 O 作 OH⊥BC，垂足为点 H，
由垂径定理，得 BH=CH，AH=DH，即 AB+BH=CD+CH，
∴AB=CD．
（2）解：联结 AO、BO，在 Rt△OBH 和 Rt△OAH 中,∠OAD =30°，∠OBC = 45°，
第 21 题图
AO2  OH 2
∴OH=BH，AO=2OH， AH 3OH ，
设 OH=x，则 BH=x， AH 
3x ，∵AB=2，∴ AH  BH 
3x  x  2 ，
3
∴ x 
1，在 Rt△OBH 中,
OB 
2x 
，
OH 2  BH 2
6
2
6
2
即小圆半径 r 的值为．
22．记 340 米/秒=a，则 OA=8a，OB=15a，由题意得：
OB 2  OA2
(8a)2  (15a)2
（1）情况一，∠BOM =75°，∠AON= 15°，∴∠AOB=180°-∠BOM-∠AON=90°，
在 Rt△AOB 中,
AB 

 17a ，
B
H
A
∴AB=17×340=5780（米）
答：此时 AB 之间的距离是 5780 米．
（2）情况二（如图），∠BON=75°，∠AON= 15°，
∴此时∠AOB=∠BON-∠AON=60°，作 AH⊥OB 于 H，
在 Rt△AOH 中 ，∠OAH=90°- 60°=30° ， ∴
∴ OH  4a ，∴ BH  BO  OH  11a ，
AO  2OH  8a ，
AH 
HA2  BH 2
AB 
 4
OA2  OH 2
(4 3a)2  (11a)2

3a ，在 Rt△ABH 中，
 13a ，
MON
第 22 题图
∴AB=13×340=4420（米）
答：此时 AB 之间的距离是 4420 米．
因此，依据所提供数据，可得 AB 之间距离是 5780 米或 4420 米．
23．（1）是，  2 ；AD
O
2
（2）如图所示，等腰梯形 ABCD 符合奇异四边形特征，其中，AD//BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC．
∵AD//BC，∴∠ADO=∠OBC，
又∵AB=AD，∴∠ADO=∠ABO，∴∠OBC=∠ABO，
∵AD//BC，∴ OB  OC ，∵AC=BD，∴OB=OC，
BC
第 23 题图
BDAC
∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABO =∠OCB， 又∵∠BAO =∠CAB，∴△ABO∽△ACB，
∴ AB  AO ，即 AB2  AO  AC ，设 AB  a, AC  b,
ACAB
则 a2  (b  a)  b ，即 a2  ab  b2  0 ，解得 a 
5 1 b ，即 a 
5  1
，
2b2
∴  
AB  a .
5  1
ACb2
(1)证明：由题意得 y  kx2  2kx  k 1  k(x 1)2 1， D(1,1) .
由 y  kx  k  1 得，当 x  1 时， y  k  k 1  1， 抛物线的顶点 D 一定在直线 l 上.
H
G
AC
(2)①由题意得，当 kx2  2kx  k 1  kx  k 1 时，得 kx2  3kx  2k  0 ，
即 k  x2  3x  2  0 ， k  0 ， x2  3x  2  0 ，解得 x  1 ， x  2 ，
12
ED
当 x  2 时， y  2k  k  1  k  1 ，∵抛物线与直线 l 除点 D 外，同时还经过另一点 C，
C (2, k  1) .
在 y  kx2  2kx  k 1中，令 x  0 ，则 y  k  1， A(0, k 1) ，
联结 AC，ED， D(1,1) ， E (0,1) ， AC//DE ， 如图，因为同底等高，所以 S△EAC  S△DAC ，
 S△EAC  S△AGC  S△DAC  S △AGC ，即 S△ AEG  S△CDG .
②由题意可知 A0, k 1 ， C 2, k 1 ， AC  2 ， AC//x 轴.
 D(1,1) ， 点 D 到直线 AC 的距离为| k  1 1 || k | .
△ACD 为等边三角形，
| k |
3 AC ， k  .
3
3
2
当 k 
3 时，如图， AE 
3, AC  2,
∴在 Rt△AEC 中,
EC 
，
AE 2  AC 2
7
7
过点 D 作 DH⊥EC 于 H，∵△EDC 面积一定， ED  AE  EC  DH ，
3
 1

 DH ， DH 
21 ，∴在 Rt△CDH 中,
7
sin EDC  DH 21 ，
3
DC14
当 k  
3 时，梯形 AEDC 与 k 
时构成的图形关于 ED 呈轴对称关系，
此时∠ECD 大小不变， sin EDC 21 ；
14
21
A
所以， k 的值为
3 ，∠ECD 的正弦值为.
D
B
第 25 题图 1
E
P
14
解：（1）∵∠QAP=∠BAC， AD  AC  AB  AE ，即 AB  AC ,C
∴△BAC∽△DAE，∴∠ABC=∠ADE， AB 
AD
AC , 即 AB 
AE
Q
AD ,
ADAE
又∵∠QAP－∠BAE=∠BAC－∠BAE，即∠DAB=∠EAC,
∴△ADB∽△AEC，∠ADB=∠AEC,
ACAE
∵∠ADE－∠ADB=∠BDE，
∴∠ABC－∠AEC=∠BDE.
∵AP 平分∠BAC，线段 AE 与边 BC 的公共点为 G，AB=AG=6，
∴∠BAG=30°, ∵∠BAG+∠ABG+∠AGB=180°,
∴∠ABG=∠AGB=75°,A
H
B
G
E
P
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°, ∴∠C=45°,
作 BH⊥AC 于点 H, ∠ABH=90°－60°=30°, AB= 6，
3
∴AH=3，BH=CH= 3,
BH 2  CH 2
6
DC
3
AC= 3  3
，BC=
 3，
∵△BAC∽△DAE，∴ DE 
BC
AE
，AE=x，DE=y，
AC
3 6
3 3  3
∴ yx
,得 y  3 2 
2
6 x ,（ x  6 ）.图 2
H
B
K
E
图 3
∵DE//AC，∴∠CAE=∠AED,A
又∵△BAC∽△DAE，∴∠C=∠AED，∴∠CAE=∠C
∵AP⊥BC, ∠AKC=90°,∴∠CAK=∠C=45°,D
在 Rt△AKC 中,∵ AK 2  KC 2  AC 2 , AC=6，
C
2
∴AK=CK= 3
设 AH=x，则 AC=AH+HC= x 
3x  6 ，
P
3
3
2
得 x  3(1) ，
2
BC 
2CH 
6x  3
6(
1) ，∵EK=，
2
当 AE=AK+KE= 3

 4
时，由 DE  AE ，DE
2
3 6 ( 3  1)
BCAC
 4 2 ， DE  12  4.
3
3
6
2
当 AE= AK—KE= 3

 2
时，同理可得 DE  6  2.
2
2
3
综上，DE 的长为12  4 3 或6  2.