2026年上海市闵行区初三上学期一模数学试卷和参考答案

这是一份2026年上海市闵行区初三上学期一模数学试卷和参考答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本场考试时间 100 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页．
作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．
所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
填涂选择题和作图用 2B 铅笔，作答其余题型用黑色字迹钢笔、签字笔或圆珠笔．
一、选择题（共 24 分，每小题 4 分，每小题只有一个正确选项）
下列各组图形中不一定是相似形的是
（A）两个等腰直角三角形；（B）两个等边三角形；
（C）两个正方形；（D）两个直角三角形．
下列函数中，二次函数是
（A） y  3 x ； （B） y  1 ； （C） y  x 2x  1 ； （D） y   x  42  x2 ．
4xA
下列说法中，一定正确的是

如果 a 、b 是非零向量，且b  2a ，那么 a ∥ b ；

DE l1
如果 e 是单位向量，那么 e =1；
FG l
2
向量 AB 与 BA 是相等向量；

BC
（第 4 题图）
如果 k  0 ， a 是非零向量，那么 ka  0 ．
如图，已知△ABC，直线 l1 与边 AB、AC 分别相交于点 D、E，直线 l2 与边 AB、AC 分别相交于点 F、G， l1//l2//BC，那么下列比例式一定正确的是
AD  DE ； （B） AD  AE ； （C） DE  FG ； （D） DF  GC ．
DFGF
BFGC
FGBC
BFEG
已知抛物线 y  ax2  bx  c （其中 a 、b 、 c 是常数，且 a  0 ）的对称轴是直线 x  1 ，且与 x 轴有两个交点，下列结论一定正确的是
（A） c  0 ； （B） b  0 ；（C） 2a  b  0 ；（D） a  b  c  0 ．
y
如图，已知抛物线 C1： y  x2  6x （0≤x≤6）与 x 轴交于 O、A1 两点．将抛物线 C1 向
A1A2A3
右平移得到抛物线 C2，交 x 轴于点 A1、A2；再将抛物线 C2 向右平移得到抛物线 C3，交 O x 轴于点 A2、A3．若直线 y  m （ 9 m0）与这 3 条抛物线交于点 B1、B2、B3、B4、 B5、B6，则这 6 个点的横坐标之和是
（A）6； （B）18； （C）30； （D）54．
二、填空题（共 48 分，每小题 4 分）
如果 a  2 ，那么 b  a 的值是 ▲．
B1 B2 B3 B4 B5 B6
C1C2C3
（第 6 题图）
x y=m
b3a

计算： 2 3a  b  3b  ▲．
如果两个相似三角形的面积之比为 16∶9，那么它们的周长之比是 ▲．
已知长方形的长是 x，宽是长的一半，面积是 y，那么 y 关于 x 的解析式是 ▲
（不要求写定义域）．
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC=12，∠B 的余弦值是 3 ，那么 AB 的长是 ▲．
4
B
传送带
1∶2
4
A
（第 12 题图）
如上图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1∶2，它把物体从地面送到离地面 4 米高的地方，那么物体所经过的路程是▲米（结果保留根号）．
在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的黄金分割点，且 AD>DB，AE>EC，BC=2，那么 DE 的长是▲（结果保留根号）．
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB=12，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出 AQ 的长是 ▲．
C
Q
B
A
手影
光源
（第 14 题图）
（图①）
（第 15 题图）
（图②）墙
如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁 3 米，光源与手的距离为 1 米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加 1 米，那么小狗手影的高度变为原来的 ▲ （填“几分之几”）．
如图，在△ABC 中，点 M、N 分别是 AB、BC 的中点，联结 AN、CM 交于点 G，GF∥AC 交 BC 于点 F，那么
S△NGF ∶ S△AGC = ▲ ．
如图，在△ABC 中，AB=AC，AC=10，cs B  4 ，点 D 是边 BC 上的一点，联结 AD，如果ADB  90  BAD ，
5
那么 AD= ▲ ．
如图，矩形 ABCD 中，联结 BD，点 E 是 BC 的中点，过点 E 作 EF//BD 交 CD 于点 F，将△CEF 沿直线 EF
翻折，点 C 落在平面内点 G 处，如果点 G 恰在 AE 上，那么 BG∶AE 的值是 ▲ ．
DC
A
M
G
A
BN FCBDCAB
（第 16 题图）
（第 17 题图）
（第 18 题图）
三、解答题（本大题共 7 题，共 78 分）
如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤．
19．（本题 10 分）
计算： sin 45  2sin 60 
2 ct 45 ．
tan 60  1
20．（本题 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）


如图，已知平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 DC 的中点，AE 与对角线 BD 交于点 G，设 AB  a ， AD  b ．

填空：向量 DB  ▲，向量 AG  ▲．
. .
(注：本题结果用含向量 a 、b 的式子表示）

作出向量 DG 分别在 a 、b 方向上的分向量．
(注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
DEC
G
AB
（第 20 题图）
21．（本题 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
求地面所受压强 p（Pa）关于接触面积 S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
若该机器人与地面的接触面积 S 保持不变，为了确保它在餐厅内不同材料的地面上工作时均不会对地面造成破坏，求该机器人与地面的接触面积至．少．为多少平方米？
地面所受压强 p（Pa）
……
4×104
6×104
8×104
1×105
……
接触面积 S（m2）
……
1.2×10-3
8×10-4
6×10-4
4.8×10-4
……
地面材质
玻璃
木地板
大理石
能承受的最大压强 p（Pa）
4.8×107
2.4×107
2.5×108
22．（本题 12 分，每小题 6 分）
C
A
E
F
如图，线段 AD、BC 相交于点 E，点 F 是线段 ED 的中点，联结 AB、BD、CD，分别延长 BA、FC 交于点 G．已知∠BAD = 90°，且 AE  BE ．
CEDE
求证：∠ABE=∠FCD；
如果 DA 平分∠BDC，求证： BG 
BD
G
BC ．
2CF
BD
（第 22 题图）
23．（本题 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 2 分）
探究活动：巧拼地砖外边．
装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料 MOBP 中 MO//PB，小条形边角料 NOAQ 中 ON//AQ，∠ MOB=∠NOA=135°），如图 1 拼接到直角地砖（∠MON = 90°）的外边上，发现点 A 与点 B 不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图 2——
图 9 的操作解决了问题，完成了拼接．
N
M
O
小 Q
大
P
A B
N
M
OQ
PA
C
N
M
O
P
C
N
MN＇
O
Q＇
PO＇
C
B(A)
N
MN＇
O D
PO＇
C B
图 1
图 2
图 3
图 4
图 5
【操作说明】
【操作说明】
【操作说明】
【操作说明】
【操作说明】
将一大一小两根
画出 QA 的延长
联结 OC．
延着射线 OB 方
画出 MO 的延
向，平移小条形
条形边角料拼在
线，交 BP 于点
边角料 NOAQ，
长线，交小条形
直角地砖的外
C．
使点 A 与点 B 重
边 角 料 的 边
边．
合，得到四边形
ON QB ．
O N  于点 D．
N
M
O
D
P
C B
N
M
N＇
O
D Q＇
PX
X
C B
X
N( N＇)
M
O(D)
Q
P
C(B)
图 6
图 7
图 8
图 9
【操作说明】
联结 BD．
【操作说明】
沿着 OC、BD 切割．
【操作说明】
拼接切割后的两根条形边角料．
＇
请根据图 2——图 6 的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母；
如果大条形边角料 MOBP 的宽度为 12cm，小条形边角料 NOAQ 的宽度为 9cm，大条形边角料 MOBP 裁剪后的锐角是∠OCP，那么 tan∠OCP= ▲；
请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由．
N
Q
小
O
N
Q
小
MO M
大大
AA
P
（第 23 题图①）
BPB
（第 23 题图②）
24．（本题 12 分，每小题 4 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1： y   1 x2  bx  c （b、c 是常数）经过点 A（5，－6），对
2
称轴为直线 x  1 ，顶点为 B．
求抛物线 C1 的函数表达式及点 B 的坐标．
点 M 为抛物线 C1 上的动点，过点 M 作直线 x=m．
①当点 M 在对称轴右侧时，抛物线在直线 x=m 右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为 2－m，求 m 的值；
②当点 M 不在坐标轴上时，直线 x=m 交抛物线 C2： y  x2  2x  3 于点 P，过点 P 作 y 轴垂线，垂足为点 D，在线段 PD 的延长线上截取 DQ=2PD，联结 MQ，当抛物线 C1 的顶点 B 在△ PQM 内部时，直接写出 m 的取值范围．
y
O
1
x
（第 24 题图）
25．（本题 14 分，第（1）①小题 4 分，第（1）②小题 5 分，第（2）小题 5 分）
如图，已知在△ABC 中，点 D 是边 AC 上的一点．
（1） 当∠ABC = 90° 时．
① 如图 1，BD 是边 AC 上的高，求证： BD2  AD  CD ；
② 如图 2，AD=AE，点 F 在边 BC 上，且 CF= CD，顺次联结 DE、EF、FD．如果 EF=DF，tan∠EFB= 1 ，求
2
ct C 的值．
（2） 如图 3，如果点 D 是边 AC 的中点，∠ABD =∠ACB，点 G 在线段 DB 延长线上，且 BG=BC，联结 CG，
取 CG 中点 H，分别延长 HB、CA 交于点 O，求 S△BOD
S△COH
的值．
A
D
A
D
D
A
BC
（第 25 题图 1）
E
BFC
（第 25 题图 2）
BC
（第 25 题图 3）
一、选择题：
2025 学年第一学期初三年级学业质量调研数学答案及评分标准
1．D； 2．C； 3．A； 4．B； 5．C； 6．D．
二、填空题：
7． 1 ； 8．
2
..
1 2
6a  b ； 9． 4 : 3 ； 10． y  x ； 11．16；12． 4
2
；13．
 1 ；
5
5
5
． ；
14．6； 15516． 1 ； 17． 3； 18． 2 3 ．
869
三、解答题：
解：原式
2  2 
3  1
3  2 1
22
2  1 ．
2
1 2 
解：（1） a  b ， a  b ．
33
作图略．
解：（1）根据表一，可得地面所受压强与接触面积之间存在反比例关系．
设解析式为： p  k (k  0) ；
S
k  4 104 1.2 103 ；
k  48 ；
p  48 ．
S
（2）把 p  2.4 107 带入解析式得： 2.4 107  48 ．
S
S  2 106 ．
答：机器人与地面的接触面积至少为 2 106
m2．
证明：（1）在△BAE 与△DCE 中，
 CEDE
 AE  BE

AEB  CED
∴△BAE∽△DCE．
∴∠BAE=∠DCE=90°，∠ABE=∠CDF；）
∵点 F 是△ECD 边 DE 的中点．
∴ CF  EF  FD  1 ED ．
2
∴∠FCD=∠CDF，∠FCE=∠FEC；
∴∠ABE=∠FCD．
（2）∵∠BED+∠FEC=180°，∠BCG+∠FCE=180°，
又∵∠FCE=∠FEC，
∴∠BED=∠BCG；
∵DA 平分∠BDC．
∴∠CDF=∠EDB；
∵∠ABE=∠CDF，
∴∠ABE=∠EDB；
在△BCG 与△DEB 中，
BED  BCG

ABE  EDB
∴△BCG∽△DEB．
∴ BG  BC BDDE
∵ CF  1 ED ，∴ DE  2CF ，
2
23.解：（1）
∴ BG 
BD
BC ．
2CF
NN＇
Q＇
Q
小
M
P
（2）tan∠OCP= 4 ．
3
OD
大O＇
A
C
（第 23 题图①）
B（A＇）
N
Q
小
（3）
将两条条形边角料都沿 OA＂切割．
MO
大 （E）
O＂
P
（第 23 题图①）
A
A＂ B
24.（本题共 3 小题，每小题 4 分，满分 12 分）
解： （1）∵抛物线 C1： y   1 x2  bx  c 对称轴为直线 x  1 ，
2
∴  b  b
a2 1
 1 ， b  1， y   1 x2  x  c ，
2
（- ）
2
∵抛物线 C1 经过点 A（5，－6），
∴ c  3 ．
2
∴抛物线 C1 的表达式为 y   1 x2  x  3 ．
22
∴顶点 B 的坐标为（1，2）．
∵点 M 在抛物线 C1 上，设 M 的坐标为（m， 1 m2  m  3），
22
∵点 M 在抛物线的右侧 y 随着 x 的增大而减小，
3
∴最高点为点 M，  1 m2  m  3  2-m ，解得： m  2 ．
22
∵点 M 在抛物线的右侧，
3
∴ m  1 ，∴ m  2 ．
6
6
3  m  1或 m  1．
25．（1）解：∵BD 是边 AC 上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ABD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
∴ AD  BD ，
BDCD
∴ BD2  AD  CD ．
（2） ∵AE =AD，∴∠AED =∠ADE．
∵∠A+∠AED+∠ADE =180°，∴ ADE 
180  C
180  A
，
2
同理可证CDF ．
2
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴ EDF  180  ADE  CDF  45 ．
∵EF =DF，∴∠FED =∠FDE=45°，
∵∠EFD+∠FED+∠EDF =180°，
∴∠EFD=90°．
过点 D 作 DH⊥BC，垂足为点 H，
∴∠DHB=∠DHC=90°．
∵∠BFD=∠DHB+∠FDH，即∠EFB+∠EFD=∠DHB+∠FDH ，
∵∠EFD=90°，∠DHB=90°．
∴∠EFB=∠FDH ．
∵EF =DF，
∴△EBF≌△FHD，
∴FH=EB，DH=BF ．
∵在 Rt△EBF 中，∠ABC=90°， tan EFB  1 ，
2
∴设 EB=a，BF=2a．
∵在 Rt△DCH 中，∠DHC=90°， DH 2  CH 2  CD2 ，设 CH=b，∴ 2a2  b2  a  b 2 ，
∴ b  3 a ，
2
∴ ct C  CH
DH
 3 ．
4
ABD  ACB

在△ABD 与△ACB 中， A  A
∴△ABD∽△ACB，
∴ AB  AD  BD ．
ACABCB
∵点 D 是边 AC 的中点，O
∴设 AD=CD=k，AC=2k．
A
D
B
H
∴AB= 2k ．
2
∴ BD  1 ．
BC
∴设 BD=m，BC= 2m ．
∵点 H 是边 GC 的中点，BG=BC，
∴BH⊥GC，∠BGC=∠BCG．
∵点 O 在 HB 的延长线上，
∴OH 是线段 GC 的垂直平分线．联结 OG，
∴OG=OC．
∴∠OGC=∠OCG，
∴∠OGC－∠BGC=∠OCG－∠BCG．
C
G
即∠OGB=∠ACB．
∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD=∠OGB，
∴AB//OG，
2
∴ AD  BD  BD  1 ，
OABGBC
∴OA= 2k ．
∵△BCD 与△BCO 同高，△BCD 与△BCG 同高，△BCD 与△OBD 同高，
∴ SBCD 
SBCO
1， SBCD 
2  2
SBCG
1 ， SBCD 1
2
2  1
SOBD
设 SBCD  a ，
2
∴ SBCO  2  2 a ， SBCG  2a ， SBOD   1a ．
∵点 H 是边 GC 的中点，
∴ SBCH
 1 S
2
2
BCG 
2 a ，
2
∴ S
a  2 
2 a  4  3 2 a ，
OCH
∴ SBOD
SCOH
22
2
 2 ．