河北省衡水市2025-2026学年七年级人教版上册期末数学测试卷

这是一份河北省衡水市2025-2026学年七年级人教版上册期末数学测试卷，共22页。试卷主要包含了天干等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在试卷的相应位置．
3．考生须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚．
4．按照题号顺序在相应区域内作答，超出答案区域书写的答案无效．
一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 2025的相反数是（ ）
A. 2025B. C. D.
2. 中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到万辆．12866000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 将如图中的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 单项式次数是1B. 多项式的常数项是5
C. 单项式系数是D. 是三次三项式
5. 如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线所夹的角是，则的方向角是（ ）

A. 北偏西B. 北偏西C. 东偏北D. 东偏北
6. 线段，是直线上的一点，，则的长度为（ ）
A. B. C. 或D. 以上都不对
7. 如图，A，两点在数轴上表示的数分别是，．以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
8. 在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
9. 若，则（ ）
A. 0B. 0或3C. 3或6D. 0或6
10. 学科素养·应用天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2025年是乙巳年，可以推知2049年是什么年 （ ）
A. 乙巳B. 己巳C. 己酉D. 乙亥
11. 解方程时，小刚在去分母过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A. B. C. D.
12. 数学家欧拉最先用来表示关于x的多项式．如对于：当时，则，当时，则．若规定，下列结论中：①；②若时，则；③当时，的值为7；以上结论不正确的个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 把25.96精确到0.1，得到近似数是________．
14. 写出一个大于的数是______．
15. 如图，这是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的．第1个图案中有6个正三角形；第2个图案中有10个正三角形；第3个图案中有14个正三角形；……按此规律，第25个图案中有________个正三角形．
16. 在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．
19. 小明家买了8袋大米，以每袋10千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．小明称后的记录如下：．请回答下列问题：
（1）这8袋大米中最接近标准质量的那袋大米的实际质量是__________________千克；
（2）与标准质量比较，8袋大米总计超过或不足多少千克？
20. 某校七年级同学准备春节期间统一去观看电影《流浪地球2》，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，电影票价格每张元，人上的团体票有两种优惠方案可选择，方案一；全体人员打折；方案二有人可以免票，剩下的人员打折．
（1）若一班有人，他们应该选择哪种方案？
（2）二班无论选择哪种方案要付的钱同样多，二班有多少人？
21. 合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．
（1）如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？
（2）若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？
22. 归纳猜想
如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，5，且任意相邻四个台阶上数的积都相等．
（1）求：①前4个台阶上数的积；
②第5个台阶上的数a；
（2）求从下到上前2025个台阶上数的和；
（3）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数．
23. 如图，数轴上点A，B分别对应数a，b，其中a＜0，b＞0．
（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是 ；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m．
①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；
②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，请说明代数式3b﹣4m或2m﹣3b均有定值（不变的数值），并求出它们的定值．
24. 操作探究如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针转至图2的位置，使在的内部，且恰好平分．问直线是否平分? 请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3的位置，使在的内部，请探究：与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒 的速度逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好三等分锐角 则t的值为 ．天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
己巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…
河北省衡水市2025-2026七年级人教版上册期末数学测试卷
注意事项：
1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在试卷的相应位置．
3．考生须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚．
4．按照题号顺序在相应区域内作答，超出答案区域书写的答案无效．
一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 2025的相反数是（ ）
A. 2025B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
2. 中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到万辆．12866000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查是科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此即可解决．
【详解】解：．
故选：C．
3. 将如图中的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点、线、面、体 ，根据所给平面图形即可得到旋转后所得的立体图形．
【详解】解：将绕虚线旋转一周，形成的几何体是，
故选：B．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 单项式的次数是1B. 多项式的常数项是5
C. 单项式的系数是D. 是三次三项式
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式与单项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；由此逐项分析即可得解，熟练掌握同类项的概念及多项式的有关概念是解题的关键．
【详解】解：A、单项式的次数是2，故原说法错误，不符合题意；
B、多项式的常数项是，故原说法错误，不符合题意；
C、单项式的系数是，故原说法错误，不符合题意；
D、是三次三项式，故原说法正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线所夹的角是，则的方向角是（ ）

A. 北偏西B. 北偏西C. 东偏北D. 东偏北
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方向角的定义．由题中所给条件，利用互余定义求解出即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

是北偏东方向的一条射线，
，
若射线与射线所夹的角是，
，
，即的方向角是北偏西，
故选：A．
6. 线段，是直线上的一点，，则的长度为（ ）
A. B. C. 或D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了线段的计算，根据题意分类讨论，分点在点的左右两边，分别画出图形，即可求解．
【详解】解：当点在点的右边时，；
当点在点的左边时，；
故选：C．
7. 如图，A，两点在数轴上表示的数分别是，．以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】利用A，在数轴上的位置可以判断出，的大小，再利用有理数的运算即可求解．
【详解】解：由题意，得：，，
则，故正确；
∵，，
∴，
故错误；
故正确；
∵，，
∴，，
∴，
故正确；
故答案选：C．
本题主要考查数轴和绝对值的知识，解题的关键是判断出，的大小，以及与的大小．
8. 在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键．
【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文；
每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文．
列方程：
解得：
故买鸡的人数为9人，
故选：D．
9. 若，则（ ）
A. 0B. 0或3C. 3或6D. 0或6
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查绝对值的性质，已知字母的值求式子的值，有理数减法，根据绝对值的性质得到x的值，代入计算即可
【详解】∵，
∴，
当时，原式；
当时，原式
10. 学科素养·应用天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2025年是乙巳年，可以推知2049年是什么年 （ ）
A. 乙巳B. 己巳C. 己酉D. 乙亥
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给“天干”和“地支”，发现它们之间的循环规律是解题的关键．根据题意，先求出2049与2024的差，再根据天干和地支的循环规律，用所得差分别除以10和12，最后看余数即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为，
则余4．
又因为2025年对应的天干为“乙”，
所以2049年对应的天干为“己”．
因为余0，且2025年对应的地支为“己”，
所以2049年对应的地支为“巳”，
综上所述，2049年是己巳年．
故选：B．
11. 解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意按照小刚的解方程步骤解方程，再根据解为求出a的值，再按照正确的步骤解方程即可．
【详解】解：由题意得，小刚的解题过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵小刚的求解结果为，
∴，
∴，
正确过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
故选D．
本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意还原小刚的解题过程从而求出a的值是解题的关键．
12. 数学家欧拉最先用来表示关于x的多项式．如对于：当时，则，当时，则．若规定，下列结论中：①；②若时，则；③当时，的值为7；以上结论不正确的个数有（ ）
A 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，①将代入，可求解；②根据题意得到方程，解方程即可求解；③将代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴①，故①正确；
②若时，即，
整理得，
∴，故②正确；
③当时，，故③正确；
综上，①②③都正确，不正确的有0个．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 把25.96精确到0.1，得到近似数是________．
【答案】26.0
【解析】
【分析】本题主要考查了近似数的定义，根据四舍五入法可直接得到答案，熟练掌握近似数的定义是解决此题的关键．
【详解】解：（精确到0.1），
故答案为：．
14. 写出一个大于的数是______．
【答案】0(答案不唯一)
【解析】
【分析】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即可写出答案，答案不唯一．
【详解】解：比大的数如：0，
故答案为：0(答案不唯一)．
15. 如图，这是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的．第1个图案中有6个正三角形；第2个图案中有10个正三角形；第3个图案中有14个正三角形；……按此规律，第25个图案中有________个正三角形．
【答案】102
【解析】
【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据图形正确求得前几图形中正三角形的个数，总结出规律即可求解．先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解．
【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为，
第二个图形，正三角形的个数为
第三个图形，正三角形的个数为，
第四个图形，正三角形的个数为，
则第个图形，正三角形的个数为：，
当时，，
∴第25个图案中有个正三角形．
故答案为：
16. 在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可．
【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ，
，
又，
，
，
则第一次操作后，剩下矩形的宽为，
所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为 ，
另一边为： ，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴第二次操作后剩下矩形长是宽的2倍，
分以下两种情况进行讨论：
①当 ，即时 ，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
则由题意可知： ，
解得： ；
②当 ，即时，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
由题意得： ，
解得： ，
或者 ．
故答案为： 或 ．
本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数加减混合运算；
（1）先去括号，再进行有理数加减混合运算，即可求解；
（2）先进行乘方运算，同时去绝对值，再进行乘除运算，最后进行有理数加减混合运算，即可求解；
理解有理数运算法则，掌握有理数混合运算的步骤，能根据法则进行正确运算是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．
【答案】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）矩形中空白部分的面积为2；
【解析】
【分析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；
（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；
【详解】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；
（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；
本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．
19. 小明家买了8袋大米，以每袋10千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．小明称后的记录如下：．请回答下列问题：
（1）这8袋大米中最接近标准质量的那袋大米的实际质量是__________________千克；
（2）与标准质量比较，8袋大米总计超过或不足多少千克？
【答案】（1）
（2）8袋大米总计不足0.1千克
【解析】
【分析】（1）根据正负数的意义，绝对值的意义，求得每个数据的绝对值，求得绝对值的最小值即可求解；
（2）根据正负数的意义，将所有数据相加即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴记录为的那袋大米最接近标准质量，
∴最接近标准质量的那袋大米的实际质量是：（千克）．
故答案为：．
【小问2详解】
解：，
答：8袋大米总计不足0.1千克．
本题考查了绝对值的应用，正负数的意义，有理数的加法的应用，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
20. 某校七年级同学准备春节期间统一去观看电影《流浪地球2》，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，电影票价格每张元，人上的团体票有两种优惠方案可选择，方案一；全体人员打折；方案二有人可以免票，剩下的人员打折．
（1）若一班有人，他们应该选择哪种方案？
（2）二班无论选择哪种方案要付的钱同样多，二班有多少人？
【答案】（1）若一班有人，他们应该选择方案二
（2）二班有人
【解析】
【分析】（1）根据题意可到元以上的两种方案的表达式，再根据即可取得最省钱的方案；
（2）根据两种方案的钱数同样多即可得到方程进而得出结果．
【小问1详解】
解：设二班人数为：，
根据题意可知方案一：(元)；
根据题意可知方案二：(元)；
∵
∴方案一：（元）；
方案二：（元）；
∴方案二最省钱．
【小问2详解】
解：设二班有人，根据题意得，
解得．
答：二班有人．
本题考查了一元一次方程与方案选择问题的综合题，审清题意，找出数量关系和等量关系是解题的关键.
21. 合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．
（1）如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？
（2）若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？
【答案】（1）到甲店购买更合算；（2）购买150本笔记本时，两家店的费用一样．
【解析】
【分析】（1）利用总价=单价×数量结合两家文具店的优惠方式，即可分别求出到甲、乙两家文具店购买所需费用，比较后即可得出结论；
（2）设购买x本笔记本时，两家店的费用一样，根据到两家文具店购买所需费用一样，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）到甲店购买所需费用为8×0.9×30+2×0.8×60=312（元），
到乙店购买所需费用为8×30+2×0.75×（60﹣30÷5）=321（元）．
∵312＜321，
∴到甲店购买更合算；
（2）30÷5=6（本）．
设购买x本笔记本时，两家店的费用一样，
依题意，得：8×0.9×30+2×0.8x=8×30+2×0.75（x﹣6），
解得：x=150．
答：购买150本笔记本时，两家店的费用一样．
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
22. 归纳猜想
如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，5，且任意相邻四个台阶上数的积都相等．
（1）求：①前4个台阶上数的积；
②第5个台阶上的数a；
（2）求从下到上前2025个台阶上数的和；
（3）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数．
【答案】（1）①30；②
（2）504 （3）（k为正整数）
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．
（1）①将前4个数字相乘可得；
②根据“相邻四个台阶上数的积都相等”列出方程求解可得；
（2）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；
（3）由循环规律即可知数“”所在的台阶数为．
【小问1详解】
解：①由题意得前4个台阶上数的和是：
（2）因为任意相邻四个台阶上数的积都相等，
所以
所以；
【小问2详解】
解：第5个台阶至第8个台阶上的数分别是，
可见台阶上的数呈循环的规律出现，循环节是，每个循环节的和是1．
因为 且，
所以从下到上前2025个台阶上数的和是504；
【小问3详解】
解：数“”所在的台阶数分别是2，6，10，14，18，…，其规律是：从第2个数起，后一个数比前一个数多4，
所以“”所在的台阶数可表示为 (k为正整数)．
23. 如图，数轴上点A，B分别对应数a，b，其中a＜0，b＞0．
（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是 ；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m．
①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；
②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，请说明代数式3b﹣4m或2m﹣3b均有定值（不变的数值），并求出它们的定值．
【答案】（1）2；（2）①26，②见解析，2
【解析】
【分析】（1）由点的对称性可得，AB的中点为2；
（2）①由已知可得2﹣a＝2（b﹣2），所以a+2b＝6即可求解；②由已知得|m+2|＝3|b﹣m|，分三种情况去掉绝对值可得：当m＜﹣2时，﹣m﹣2＝3（b﹣m），当﹣2≤m≤b时，m+2＝3（b﹣m），当m＞b时，m+2＝3（m﹣b），分别求解即可．
【详解】（1）由点的对称性可得，AB的中点为2，
故答案为2；
（2）①∵m＝2，b＞2，AM＝2BM，
∴2﹣a＝2（b﹣2），
∴a+2b＝6，
∴a+2b+20＝6+20＝26；
②∵a＝﹣2，且AM＝3BM，
∴|m+2|＝3|b﹣m|，
当m＜﹣2时，﹣m﹣2＝3（b﹣m），
∴3b+2＝2m，
∴2m﹣3b＝2；
当﹣2≤m≤b时，m+2＝3（b﹣m），
∴3b﹣2＝4m，
∴3b﹣4m＝2；
当m＞b时，m+2＝3（m﹣b），
∴3b+2＝2m，
∴2m﹣3b＝2；
∴3b﹣4m或2m﹣3b均有定值为2．
本题考查数轴；熟练掌握数轴的性质，结合绝对值的性质是解题的关键．
24. 操作探究如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针转至图2的位置，使在的内部，且恰好平分．问直线是否平分? 请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3的位置，使在的内部，请探究：与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒 的速度逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好三等分锐角 则t的值为 ．
【答案】（1）直线平分，理由见解析
（2），理由见解析
（3）5或7或23或25
【解析】
【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）求出，，即可得出结论；
（2）由角的和差关系可得答案；
（3）分四种情况分别列方程并解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：直线平分，理由如下：
延长至点D．
因为平分，
所以
因为，所以．
因为都与互补，
所以，
所以，
所以，
即直线平分；
【小问2详解】
解：，理由如下：
因为，
所以；
【小问3详解】
解：当射线与夹角为，与夹角为时，旋转了，
当射线的反向延长线与夹角为，与夹角为，旋转了，
当射线的反向延长线与夹角为20°，与夹角为40°，旋转了，
当射线的反向延长线与夹角为40°，与夹角为20°，旋转了，
综上所述，满足条件的t的值为：5、7、23、25．天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
己巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…