2025-2026学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）-自定义类型

这是一份2025-2026学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果a、b满足，那么下列各式正确的是（ ）
A. a+b=7B. 2a=5bC. D.
2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c,AC=b,BC=a,那么下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（m,8）和B（2，8），那么m的值是（ ）
A. 2B. -2C. 8D. -8
4.如果、都是非零向量，且，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，E是边BC的中点，联结DF、AG.如果DF⊥AG，BC=4，那么AB的值为（ ）
A. 1B. C. D.
6.一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm,工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（ ）
A. 80cmB. 67.5cmC. 60cmD. 52.5cm
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算：= .
8.已知抛物线y=2（x+1）2与抛物线y=a（x+1）2关于x轴对称，那么a的值是 .
9.如果二次函数y=（m+3）x2-1的图象有最低点，那么m的取值范围是 .
10.某汽车的紧急刹车距离s（米）与车速v（千米/小时）的关系是.如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过 千米/小时.
11.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC.如果AD：BD=2，那么DE：BC的值是 .
12.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.已知DE=4，DF=10，BC=5，那么线段AC的长是 .
13.小华在某游乐园APP的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是1：1000，那么排队区域的实际长度约 米.
14.景区新建了一条通往山顶观景台的缓坡步道，设计要求是坡度为1：2.4，施工方测得观景台距离地面的垂直高度为10米，为满足设计要求，这段缓坡步道的长度应为 米.
15.如果一个等腰三角形腰上的高与底边的高的比为2：3，那么这个等腰三角形底角的余弦值是 .
16.小海操控一辆遥控玩具车从A处沿北偏东60°方向走了6米到B处，再从B处向正南方向走了9米到达C处，此时这辆遥控玩具车离A处的距离是 米.
17.如图，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O.如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是 .
18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，，将△ABC绕点A旋转，B的对应点为点D，联结AD交边BC于点E.如果AE=3ED，那么CE的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：.
20.(本小题10分)
数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它：
甲：这条抛物线的对称轴是直线x=2；
乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点；
丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的.
（1）如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标；
（2）请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论.（与三位同学的描述不一样）
21.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD上，AE=EF=FD，BE与AC交于点G，BE的延长线与CF的延长线交于点Q.
（1）求BG：EG：QE；
（2）设，，那么=______，=______.（用向量、表示）
22.(本小题10分)
如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫作“内邻值”.
（1）如图1，正方形BEFG是正方形ABCD的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”；
（2）请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图2和3的正方形ABCD中分别作出它的“内邻值”为的“内邻正方形”.（写出结论，并保留作图痕迹）
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE相交于点F，且CD=BD，AE=AC.
（1）求证：△ADF∽△CDA；
（2）联结DE.如果，求证：AD•AE=DC•DE.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中（如图）.抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D（1，m）.
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）将抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）沿射线BC方向平移，得到新抛物线的顶点为E.
①如果四边形ABDE是梯形，求点E的坐标；
②如果∠EAC=∠CBD，求平移后新抛物线的表达式.
25.(本小题14分)
如图，在▱ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC，垂足为E，对角线AC垂直平分线MN交AD于点M，交AE的延长线于点N，交AC于点P.已知AD=8，CD=5.
（1）在△ABE、△AEC、△APN中.
①写出与△AMN一定相似的三角形，并选一对说明理由；
②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比；
（2）如果AE=EN，求∠B的正弦值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】-2
9.【答案】m＞-3
10.【答案】50
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】25
14.【答案】26
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】4
18.【答案】6.25或1.75
19.【答案】．
20.【答案】抛物线的表达式为y=-x2+4x+2，顶点坐标为（2，6）（答案不唯一） 抛物线经过点（4，2）（答案不唯一）
21.【答案】∵四边形ABC都是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥CB，
∵AE=EF=FD，
∴AE：BC=1：3，EF：BC=1：3，
∵AD∥CB，
∴△AGE∽△CGB，△QEF∽△QBC，
∴EG：GB=AE：BC=1：3，QE：AB=EF：BC=1：3，
∴BG：EG：EQ=3：1：2 -+;-
22.【答案】 方法一：①连接BD，
②以点B为圆心，以BC的长为半径画弧交BD于点F，
③作线段BF的垂直平分线交AB于点G，交BC于点F，交BF于点P，
⑤连接FG，FE，则四边形BEFG为所求，如图2所示：

由作图可知：BG=FG，BE=FE，∠BPG=∠BPE=90°，BC=BF，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠GBP=∠EBP=45°，∠GBE=90°，
在△BGP和△BEP中，
，
∴△BGP≌△BEP（ASA），
∴BG=BE，
∴BG=FG=BE=FE，
∴四边形BEFG是菱形，
又∵∠GBE=90°，
∴菱形BEFG是正方形，
∴正方形BEFG是正方形ABCD的“内邻正方形”，
∴设BG=FG=BE=FE=a，∠BEF=90°，
∴正方形BEFG的面积S1=BG2=a2，
在Rt△BEF中：由勾股定理得：BF==，
∴BC=BF=，
∴正方形ABCD的面积S2=BC2==2a2，
∴1==，
∴正方形BEFG和正方形ABCD的“内邻值”为；方法二：①连接BD，
②作∠CBD的平分线交CD于点H，
③过点H作FH⊥BD，垂足为F，
④作线段BF的垂直平分线交AB于点G，交BC于点F，
④连接FG，FE，则四边形BEFG为所求，如图3所示：

由作图可知：BG=FG，BE=FE，∠BPG=∠BPE=90°，∠BFH=∠DFH=90°，
BH是∠CBD的平分线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴△AFH和△BCH都是直角三角形，
根据角平分线的性质得：FH=CH，
同理方法一可证明四边形BEFG是正方形，
∴正方形BEFG是正方形ABCD的“内邻正方形”，
在Rt△BFH和Rt△BCH中，
，
∴Rt△BFH≌Rt△BCH（HL），
∴BF=BC，
同方法一得正方形BEFG和正方形ABCD的“内邻值”为
23.【答案】∵DB=DC，AC=AE，
∴∠B=∠DCB，∠AEC=∠ACE，
∴∠B+∠BAE=∠DCB+∠ACD，
∴∠BAE=∠ACD，
∵∠ADF=∠ADC，
∴△ADF∽△CDA 如图，连接DE．

∵，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠CAF，
∵∠DAE=∠ACF，AE=AC，
∴△ADE≌△CFA（ASA），
∴DE=AF，
∵△ADF∽△CDA，
∴，
∵AC=AE，
∴=，
∴AD•AE=DC•DE
24.【答案】B（3，0），m=4 ①（-7，12）；②y=-x2-2x+5
25.【答案】①△AEC∽△MAN，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AE⊥BC，AE⊥AD，
又∵MN⊥AC，
∴∠N+∠NMA=90°，∠N+∠CAE=90°，∠NMA=∠CAE，
∵∠AEC=∠MAN=90°，
∵△AEC∽△MAN，
△APN∽△MAN，理由如下：
∵∠N+∠CAE=90°，∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠N=∠ACE，
∴∠NPA=∠CEA=90°，
∴△APN∽△AEC；②△ABE与△MAN不一定相似，相似比为25：32或24：25